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河北省邯郸市武安市伯延镇中学、冶陶镇中学联考2025-2026学年八年级上学期10月期中数学试题
一、单选题
1．二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　）
A．） B．
C． D．
2．等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ）
A． B． C． D．
3．绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，表示两根长度相同的木条，，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（）
A． B． C． D．
5．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
7．图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
9．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
下列说法正确的是（　　）
A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行
二、填空题
10．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
11．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ．
12．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为 ．

13．设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是 ．
三、解答题
14．计算
(1)
(2)
15．在平面直角坐标系中，已知点，点．
(1)若A、B关于轴对称，求的值；
(2)若A、B关于轴对称，求的值．
16．如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且．
(1)求证:;
(2)求的度数．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是，．
(1)在图中作出关于轴对称的;
(2)求的面积;
(3)在轴上有一动点，使的距离最小，直接写出点的坐标．
18．如图，在中，是的垂直平分线，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点．
(1)求证：；
(2)分别求出的度数．
20．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)______________；当点在边上运动时，_____________；（用含的式子表示）
(2)当点在边上运动时，某时刻是等腰三角形，请计算运动时间;
(3)当点在边上运动时，出发_____________秒后，是以或为底的等腰三角形．
21．【数材呈现】
活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形．
【性质探究】
（2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，，．
求证：．
证明：
（3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程．
已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点．
求证：垂直平分．
证明：
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B A B B A C D C
1．D
【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．B
【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是，
其底角为．
故选：B．
3．A
【详解】解：由构成三角形的条件可知，，
∵，
∴，即，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选：A．
4．B
【详解】解：∵点是的中点，
，，
在和中
，
，
，
故选：B．
5．B
【详解】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：，
解得：．
即这个多边形是四边形．
故选：B．
6．A
【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
故选：A
7．C
【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，
，，
，
同理可得：，
．
故选：C ．
8．D
【详解】解：如图：
当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为四点，则是等腰三角形，
当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为两点，则是等腰三角形，
当时， 作的垂直平分线，交坐标轴为两点，则是等腰三角形，
综上，使得是等腰三角形的点共有个，
故选：D．
9．C
【详解】解：甲方案：在和中，
，
，
；
乙方案：∵，
，
在和中，
，
，
，
∴甲、乙的方案均可行．
故选：C．
10．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是
故答案为：
11．2
【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．
【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°，
∴，
∴在等腰中，，
∴，
故答案为．
13． 2
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当时，这样的小棒最多摆放2根；
如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，
∵最多能摆放5根小棒，
∴，，
∴．
故答案为：2，．
14．(1)3
(2)
【详解】（1）
；
（2），
解①得，
解②得，
∴．
15．(1)6
(2)1
【详解】（1）由题意得
解得
（2）由题意得
解得
16．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：
在和中
（2）
平分
17．(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：；
（3）解：由图形可知，．
18．(1)见解析
(2)3
【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)；
【详解】（1）证明:是等边三角形
在和中
（2）解：
20．(1)，
(2)
(3)11或12
【详解】（1）解：由题意得，,
∴,
故答案为：，；
（2）由题意可知，,
当为等腰三角形时，则有，即,
解得，
∴出发秒钟，能形成等腰三角形；
（3）当点Q在上时，，
∴，
∵是以或为底的等腰三角形
∴有和两种情况，
当时，则，
解得；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
综上可知，当点Q在边上运动时，出发12秒或11秒后，是以或为底的等腰三角形．
故答案为：11或12．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）或
【详解】解：（1）如图，四边形为所求．
（2）如图，连接，
在和中，
，
，
．
（3）由（2）得，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
垂直平分．
（4）根据题意，可分两种情况：
①如图，当筝形中，，，
由（2）得：，
；
②当筝形中，，，
，
在中，，
，
是的一个外角，
，
．
综上所述，当四边形为筝形时， 的度数为或．

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