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吉林省长春市部分学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为（ ）
A．3.5 B．7 C．14 D．21
3．当时，下列二次根式有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=4，c=6，d=8
5．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ）
A． B． C． D．
7．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为 ．
11．如图，，若，，则 ．

12．若，，则 ．
13．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ．
14．如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 （填序号）．
三、解答题
15．计算：
16．用适当的方法解方程：．
17．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：．
18．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？
19．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为．

(1)画出关于轴对称的；
(2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为；
20．对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下：，如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)计算：______，______．
(2)若，求的值．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图．
(1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；
(2)在图②中的线段上找一个点，使．
22．如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程；
例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：． 证明：连结．
【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点．
（1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______；
（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______．
24．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点运动，运动时间为秒（），连结．
(1)_____cm；
(2)若与相似，求的值；
(3)连结、，若，求的值；
(4)直接写出当为何值时，是等腰三角形．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C B B B D
1．A
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程化简为，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
2．C
【详解】解：∵在，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故选： C．
3．D
【详解】解：A中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意；
B中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意；
C中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意；
D中，当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故选项符合题意；
故选：D．
4．C
【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例，
∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例，
∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例，
∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例，
故选C．
5．B
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．B
【详解】解：如图所示，
将题中条件转化到上图中，，
即，求的长度，
，（对顶角），
，
，即，解得，
∴长臂端点升高，
故选：B．
7．B
【详解】解：由表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，画出平面直角坐标系，如图所示：
∴表示乾清门的点的坐标是，
故选：B
8．D
【详解】解：由题意可得方程为；
故选D．
9．
【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴它们的对应高之比为，
故答案为：．
10．
【详解】由题意可知，，
关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，，即实数的值为．
故答案为：．
11．6
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
12．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
13．
【详解】解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影面积为，
故答案为：．
14．①③④
【详解】解：①∵，
∴，，
平分，
，
．故①正确；
②，，
∴，
∴
∵平分交于点，
∴
则，
∵
∴
∵
∴，
∵与不一定相等，
∴与不一定相等，
故与不一定相等，
故②不正确；
③由①知，
∴，
，
又，
，
故③正确；
④如图，连接，
在，为斜边的中线，
则．
，
，
由得；
由得，
有，
．故④正确．
综上所述，①③④符合题意，
故答案为： ①③④．
15．
【详解】解：原式，
，
．
16．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
整理得，
解得．
17．见解析
【详解】证明：，，
，
又∵为公共角，
．
18．全班有名同学
【详解】解：设此班有x名同学，
则，
解得:， (舍去)，
答：此班有名同学．
19．(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【详解】（1）如图，为所作；

（2）如图，为所作．

20．(1)；
(2)，
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；；
（2）∵，
∴，
整理得：，
解得：，．
21．(1)见详解
(2)见详解
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
由（1）知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
23．【教材呈现】见解析；【结论应用】（1）；（2）6
【教材呈现】根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可解答；
【结论应用】（1）由【教材呈现】可得 ，然后由勾股定理可得，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得点O为的中点，，再由【教材呈现】可得，，从而得到，即可求解．
【详解】【教材呈现】证明：连结，
∵、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
【结论应用】（1）∵为矩形，
∴，
∵点为边的中点，
由【教材呈现】得：，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴点O为的中点，，
∵点为边的中点，
由【教材呈现】得：，，即，，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴．
24．(1)10
(2)或
(3)
(4)或或
【详解】（1）在中，，，，根据勾股定理：
（2）由题意，，，则．
分两种情况讨论：
情况一：
此时，即，
，
解得．
情况二：
此时，即，
，
解得．
综上，t的值为或1．
（3）过P作于D，则．
，
即，
解得，，则．
因为，，所以，，故．
又，所以．
则，即，
，
，
解得．
（4）分三种情况讨论：
情况一：
即，
，
解得．
情况二：
过P作于E，则．
由，，即，
，
解得．
情况三：
过Q作于F，则．
由，，即，
，
解得．
综上，t的值为、或．

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