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第6章 基本的几何图形
6.6 余角和补角
1. 理解余角、补角的概念，会求一个角的余角和补角；
2. 掌握余角、补角的性质，会用余角、补角的性质进行简单的计算和推理.
学习目标
观察图中的一副三角板，每块三角板中两个锐角的和是多少
60°＋30°＝90°
45°＋45°＝90°
观察与发现
活动探究
如果两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角.
1
2
如图，∠1与∠2的和为90°，则∠1与∠2互为余角.
概括与表达
如果两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角.
4
3
如图，∠1与∠2的和为180°，则∠1与∠2互为补角.
例1 求下列各角的余角和补角：
(1) 15°； (2) 53°； (3) 46°30'.
解：(1) 余角：90°－15°＝75°，补角：180°－15°＝165°；
(2) 余角：90°－53°＝37°，补角：180°－53°＝127°；
(3) 余角：90°－46°30'＝43°30'，补角：180°－46°30'＝133°30'.
锐角的补角比它的余角大_____.
90°
例题讲解
想一想：所有的角都有余角或补角吗？
任何一个小于平角的角都有补角，但只有锐角才有余角.
思考与交流
1. 判断下列说法的正误:
(1) 两个锐角能互补；
(2) 两个钝角能互补；
(3) 如果两个角互补，其中一定有一个角是钝角，另一个角是锐角.
(4) 如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角.
练一练
2. 下列图形中，互为补角的是________，互为余角
的是________.
①和③
①和④
150°
④
30°
①
90°
②
60°
③
(1) 如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，指出图中互余的角.图中除直角外还有相等的角吗
A
B
O
C
D
∠BOC与∠COD互余，
∠AOD与∠COD互余，
∠AOD与∠BOC相等.
思考与交流
(2) 如果∠1＝∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互余，那么∠3与∠4有什么关系 为什么
由∠1与∠3互余，可得∠1＋∠3＝90°，因此∠3＝90°－∠1.类似地，可知∠4＝90°－∠2.
由于∠1＝∠2，所以∠3＝∠4.
(3) 如果把上面的互余改成互补，结论仍然成立吗？为什么？
由∠1与∠3互补，
可得∠1＋∠3＝180°，
因此∠3＝180°－∠1.
类似地，可知∠4＝180°－∠2.
由于∠1＝∠2，
所以∠3＝∠4.
3
1
2
4
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.
符号语言：
∵∠1与∠ 2互余(补)， ∠1与∠3互余(补)，
∴∠2＝∠3.
∵∠1与∠ 2互余(补)， ∠3与∠4互余(补)，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠4.
概括与表达
解：设这个角是x°，那么它的补角是(180－x)°，余角是(90－x)°.
由题意，得 180－x＝3(90－x).
解方程，得 x＝45.
所以，这个角是45°.
例2 一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数.
在解决余角、补角的关系等问题时，常设出未知数，利用方程解答.
例题讲解
例3 如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，指出图中与∠COD互余的角、互补的角和相等的角.
A
B
O
C
D
E
解：(1) 因为∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝90°，
∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°，
即∠AOD和∠COE都与∠COD互余，
所以根据同角的余角相等，得∠AOD＝∠COE.
同理可得出∠BOE＝∠COD.
因为∠BOE＋∠AOE＝180°，
所以∠BOE与∠AOE互补.
因为∠BOE＝∠COD，
所以∠COD与∠AOE互补.
∠COD＋∠AOE＝180°
(1)“互余”与“互补”是两个角之间的数量关系，只与两个角的度数有关，与角的位置无关.
(2)若两个以上的角的和为90°或180°，则它们不能称为“互余”或“互补”.
(3)互余的两个角均为锐角，但不能同时小于45°.
(4)在某个图形中，一个角可能没有余(补)角，也可能有一个或多个余(补)角.
(5)在解决余角、补角的关系等问题时，常设出未知数，利用方程解答.
归纳总结
1. 两个角互余，那么它们一定是 ( )
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定
2. 一个锐角的补角一定是 ( )
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定
A
B
当堂检测
3. 若一个角的补角比它的余角的6倍还多40°，求这个角的大小.
解：设这个角是x°，则它的余角为(90－x)°，补角为(180－x)°.
根据题意，得180－x＝6(90－x)＋40.
解这个方程，得x＝80.
答：这个角是80°.
4. (1) 如图，∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∵ ∠A＋∠B＝90°，∴ ∠A与∠B_______.
∴ _____＝_____
互余
∵ ∠A＋∠2＝90°，∴ ∠A与∠2_______.
互余
∠B
∠2
（同角的余角相等）
A
C
D
1
2
B
(2) 图中一共有几对互余的角？是哪几对？
(2) 共有4对互余的角，分别为∠A与∠B， ∠A与∠2，∠1与∠B， ∠1与∠2.
(3)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
∠A＝∠1(同角的余角相等)
∠B＝∠2(同角的余角相等)
A
C
D
1
2
B
课堂总结
余角
余角和补角
定义：如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角.
性质：同角 (等角) 的余角相等.
补角
定义：如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角.
性质：同角 (等角) 的补角相等.

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