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15.4 等腰三角形
15.4.2 等腰三角形性质的应用
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
1.能用等腰三角形的性质解决简单的几何问题；
2.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程，
掌握用等腰三角形的性质进行论证的方法.
学习目标
等腰△ABC沿折痕AD对折，其中重合的线段和角，如下表：
重合的线段 重合的角
AB与AC ∠B与∠C
BD与CD ∠BAD与∠CAD
AD与AD ∠ADB与∠ADC
A
C
B
D
线段AD有什么特点？
中线
角平分线
高
课堂导入
A
B
C
D
定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.
简称“三线合一”.
任务一：用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.
活动：小组合作讨论，完成下列问题.
问题1：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，那么∠C与∠A有怎样的数量关系？请你求出△ABC中各角的度数.
A
B
C
D
x
2x
解:∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °,
解得x=36°，∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
活动探究
等腰三角形中求角度问题
1.先确定等边所对应的底角.
3.当等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，
设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
2. 计算内角大小.
方法总结
问题2：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．
求证：∠CAD=∠BCE．
证明：∵AB=AC，BD=CD（已知），
∴∠B=∠ACB（等边对等角），AD⊥BC（“三线合一”），
又∵CE⊥AB（已知），∴∠CAD+∠ACB=90°，∠BCE+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠CAD=∠BCE（等角的余角相等）．
技巧：利用等腰三角形“三线合一”的性质，将底边中线，底边的高和顶角平分线相互转化.
任务二：用等腰三角形的性质证明“HL”定理.
活动：求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知，如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°,
AB=A'B'，AC=A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
B'
C
B
A
A’
C'
证明:如图所示，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C',
使点A和点A'、点C和点C'重合，点B和点B'在AC的两侧.
∵∠BCB'=90°+90°=180°,（等式性质）
∴B,C,B'三点在一条直线上.（平角的定义）
在△ABB'中,AB=AB',∴∠B=∠B'（等边对等角）
=
=
=
=
“HL”定理
B
B'
C(C')
A(A’)
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∠ACB=∠A'C'B'（已知）,
∠B=∠B'（已证）,
AB= A‘B’(已知），
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（AAS）
B
B'
C(C')
A(A’)
已知，如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°,
AB=A'B'，AC=A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
1.如图所示，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80 .
则∠B的度数为 .
25°
当堂检测
2.如图所示，在△ABC中，∠A=70°，AB=AC，CD平分∠ACB，
求∠ADC的度数.
解：∵在△ABC中，∠A=70°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=55°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠ACD=27.5°,
∵∠ADC为△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴BE⊥AC．
说说本节课你学到了什么？
课堂总结

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