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15.4 等腰三角形
15.4.3 等腰三角形的判定
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论.
2.掌握含30°角的直角三角形的性质定理.
学习目标
任务一：探索等腰三角形的判定定理及其推论.
活动1：画△ABC ，使∠B=∠C，量一量线段AB与AC的长度.你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？
测量后发现AB=AC
猜想：如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等.
怎样证明呢？
活动探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C，求证：AB=AC.
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
验证结论:
活动小结
等腰三角形的判定方法：
应用格式：
在△ABC中，∵∠B=∠C,（已知）
∴ AC=AB.（等角对等边）
即△ABC为等腰三角形.
B
C
A
(
(
有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称“等角对等边”）
练一练
如图,下列推理正确吗
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 ,∴ BD=DC
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
解：都不正确，因为图中∠1，∠2都不是在同一个三角形中.
（等角对等边）.
活动2：和同伴一起交流，回答下列问题.
问题1：我们知道，如果一个三角形有三条边相等，那么它是等边三角形，如果一个三角形有三个角相等，这个三角形是什么三角形？
类比探究：
等腰三角形等边对等角
等边三角形三个角都相等
等腰三角形等角对等边
三个角都相等的三角形是等边三角形
问题解决：已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.
证明：∵∠A=∠B，
A
B
C
∴AC=BC,（等腰三角形等角对等边）
同理：∵∠A=∠C，∠B=∠C.
∴AB=BC、AB=AC，
∴AB=AC=BC.
∴ △ABC是等边三角形.
等腰三角形判定定理的推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
应用格式：
A
B
C
∴AB=AC=BC,
∵∠A=∠B=∠C．
∴ △ABC是等边三角形.
活动小结
问题2：请大家结合类比探究的方法，判断在一个等腰三角形中，当它有一个角等于60°时，这个三角形是否是等边三角形，请说明理由.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形.
当底角为60°时，同理可证.
∴∠A=∠B=∠C=60°
应用格式：
A
B
C
∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°)，
∴△ABC是等边三角形.
等腰三角形判定定理的推论2:
活动小结
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
任务二：掌握含30°角的直角三角形的性质．
活动：如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？组内交流自己的想法.
A
B
C
D
猜想:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
BC = AB
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠BCA =90°，∠BAC =30°. 求证：BC = AB．
证明：在△ABC 中，
∵∠BCA =90°，∠BAC =30°, ∴∠B=60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
∴BC=CD= AB.
验证猜想：
A
B
C
D
活动小结
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，∴BC = AB．
A
B
C
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是 .
解:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，∴∠ACD=∠B=30°,
在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm.
∴AB的长度是12cm.
12cm
注意: 运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形．
练一练
B
1.如图，∠A=36°，∠C=72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ 　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
当堂检测
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE=AF．
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠AFB=∠BED，又∠BED= ∠AEF，
∴AE=AF．(等角对等边）
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABF=∠CBF，
说说本节课你学到了什么？
课堂总结

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