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怀仁大地高中学校2025-2026学年度上学期第二次月考
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
2．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．不论为何实数，直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．求点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量满足，则
B．任意向量，满足
C．若为空间一个基底，且，则四点共面
D．直线的方向向量平面的法向量，则
11．已知曲线与圆，则（ ）
A．曲线为半个圆
B．当时，曲线与圆有两个公共点
C．当曲线与圆相切时，
D．当时，曲线在圆的内部
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若直线与直线垂直，则的值为 .
13．过，，三点的圆的标准方程为 .
14．已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示）
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知两点，直线.
(1)求线段AB的垂直平分线方程；
(2)若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.
16．（15分）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，.
(1)用，，表示和.
(2)求直线与夹角的余弦值.
17．（15分）已知圆．
(1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
(2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
18．（17分）如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正切值；
19．（17分）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆公切线段的长度；
(3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程．
数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C C C C D ABC ABC
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】由题可得：直线的斜率大于0，截距小于0，即k>0，b<0．
故答案选B．
2．B
【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果.
【详解】因为，，三点共线，则，又向量，，
所以，解得，
故选：B.
3．A
【分析】判断两圆的位置关系，即可求解.
【详解】将圆化为标准方程为，则圆心和半径分别为
圆的圆心和半径为，
此时圆心距，可知两圆内含，无公切线，故公切线条数为0.
故选：A.
4．C
【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.
【详解】根据题意,将直线方程变形为
因为位任意实数,则,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.
5．C
【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为为直线的一个方向向量，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C.
6．C
【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可.
【详解】因为空间向量，，
若与的夹角是锐角，则且不成立，
所以或.
故选：C.
7．C
【分析】直线的方程化为一般式，利用平行的条件求得，进而利用两平行线间的距离为公式求解即可.
【详解】直线的方程化为一般式为，
又因为， ，所以，解得，
所以的方程为，即，
所以与间的距离为.
故选：C.
8．D
【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果.
【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点，

所以直线表示过定点的斜率存在的直线，
如图，当时，表示点到直线的距离，
当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然，
所以点到直线距离的最大值为,
所以点到直线距离的最大值为.
故选：D
9．ABC
【分析】直接由斜率的定义判断即可.
【详解】由斜率的定义可知，.
故选：ABC.
10．ABC
【分析】对于A根据共线向量定理即可判断，对于B根据数量积的运算律即可判断，对于C得即可判断，对于D先验算即可判断.
【详解】对于A：因为非零向量，，所以存在实数，使得，故A正确；
对于B：根据数列积运算律有，故B正确；
对于C：若为空间一个基底，，
即，所以四点共面，故C正确；
对于D：因为，所以或，故D错误，
故选：ABC.
11．ACD
【分析】利用圆的方程求解选项A，结合两圆的位置关系求解选项B和选项C，利用离圆心最远的是点，求解选项D即可.
【详解】由，得，
所以曲线表示圆的上半部分，A正确.
易知圆的圆心为坐标原点，半径为1，
圆的圆心为，半径为.
当时，曲线与圆只有1个公共点，B错误.
因为曲线与圆相切，所以，则，得，C正确.
因为在曲线的所有点中，离圆心最远的是点，
所以当时，曲线在圆的内部，D正确
故选：ACD.
12．
【分析】根据直线垂直的计算公式即可求解.
【详解】∵直线与直线垂直，
∴，解得.
故答案为：.
13．.
【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可.
【详解】不妨设圆的标准方程为，由，
可解得于是圆的标准方程为.
故答案为：.
14．
【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可.
【详解】设，则，得，，
而线段的中点坐标为，
故边上的中线的斜率，
故中线所在的直线的方程为，即.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据条件先求出线段AB的中点坐标和斜率，利用垂直求出其中垂线的斜率，利用点斜式即可求得其方程；
（2）设圆心坐标为，利用（1）的结论和圆心在直线上，联立成方程组，求解即得圆心坐标，求出圆的半径，即得圆的方程.
【详解】（1）因线段的斜率为，中点为，即，
则线段AB的垂直平分线的斜率，故其方程为，即；
（2）设圆心坐标为，因为圆心在直线上，则① ，
又圆过两点，则线段AB的垂直平分线必过圆心，由（1）可得②，
将①与②联立，解得，则圆心为，圆的半径为，
故圆的标准方程为.
16．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用平行六面体的性质及空间向量基本定理求解.
（2）利用空间向量数量积及空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）在平行六面体中，，
由M为与的交点，得是的中点，
则，
.
（2）依题意，，，则，
于是，
，
因此，
所以直线AB与的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)面积最大值为8，直线方程为或
【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长；
法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案；
法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案；
（2）设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程.
【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径，
圆心C到直线的距离.
则截得的弦长；
法2：设，联立方程组得，
消得，
；
法3：设，联立方程组得，
消得，解得，
则，
.
（2）圆C的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去，
设直线的方程为，即，
则圆心C到直线的距离为，
又的面积，
所以当时取最大值8，
由，得，
解得，，
所以直线的方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；（2）设平面ABCD的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；（3）由题得，由点到平面的距离为解决即可．
【详解】（1）根据题意，建立以D为原点，
分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系，
因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，
所以，，，，
因为E是棱BC的中点，
所以，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，得，
所以，
因为，所以，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）得平面的一个法向量为，
由题可设平面ABCD的一个法向量为，
所以，
所以，
所以，
所以平面与平面ABCD的夹角的正切值为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可；
（2）首先得两圆相交，进一步得所求为；
（3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解.
【详解】（1）由题意，设．
圆过点，且与直线相切，
，．
圆的半径小于5，
，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为．
圆与圆关于直线对称，圆的方程为．
（2）由（1）知圆，圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线．
又公切线段的长度等于．
（3）圆的半径，
则四边形的面积．
设，
，
当时，，此时四边形的面积最小，为．
在以为直径的圆上，圆的方程为，
又圆的方程为，
两个方程相减，可得直线CD的方程为．怀仁大地高中学校2025-2026学年上学期第二次月考
(
姓 名：
_________________
)高二数学·答题卡
(
班
级
：
_________________
)
(
考生禁填
：
缺考标记
违纪标记
以上标记由监考人员用
2B
铅笔
填涂
) (
贴条形码区
)
(
注意事项
)
(
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．正确填涂
，
错误填涂
[
×
] [
√
] [／]
)
(
一、选择题（共
58
分）
1
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
9
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
1
0
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
1
1
．
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
)
(
二、填空题（每小题
5
分，共
15
分）
1
2
.
1
3
.
1
4
.
三、解答题（
共7
7
分，
解答应写出文字说明
、
证明过程或演算步骤
）
1
5
. （1
3
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
1
6
. （1
5
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
1
7
. （1
5
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
18
. （1
7
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
19
. （1
7
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
本
区
域
禁
止
作
答
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）

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