资源简介

(共25张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第一节　一次方程(组)及其应用
章前复习导图
转化思想
化整
化归思想
解法
应用
解决问题
方程(组)与不等式(组)
一元一次
不等式(组)
方程与方程组
方程(组)与不等式的实际应用
整式方程
消元
降次
一元一次方程
二元一次方程
一元二次方程
分式方程
模型观念
节前复习导图
一次方程(组)
及其应用
等式的
基本性质
性质 1
性质 2
一元一次方程
及解法
概念
一般形式
解题步骤
二元一次
方程(组)及
其解法
二元一次方程(组)的概念
二元一次方
程组的解法
二元一次方程(组)解的运用
一次方程(组)
的实际应用
常见类型及关系式
教材知识逐点过
考点
1
等式的基本性质
性质
1 等式的两边都加上(或减去)同一个数
(或同一个整式)，结果仍相等.即如
果a＝b，那么a±c＝ 应用：解方程中的移项
性质
2 等式两边都乘同一个数，或除以同一
个不为零的数，结果仍相等.即如果
a＝b，那么 ＝bc；如果a＝
b，那么 ＝ (c≠0) 应用：解方程中去分母或系数化为1
b±c
ac
考点
2
一元一次方程及解法(2024.20)
概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程
一般 形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
解题 步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1(注：具体顺序依据具体题
而定)
1
考点
3
二元一次方程(组)及其解法
1. 二元一次方程(组)的概念
二元一 次方程 含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方
程，形如ax＋by＝c(a≠0，b≠0，a，b，c是常数)
二元一次 方程组 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组
两个
1
2. 二元一次方程组的解法
基本 思想 消元，即把二元一次方程组转化为一元一次方程
消元
方法 代入消元法，加减消元法
【温馨提示】(1)当方程组中有一个方程的未知数的系数为1或－1时，常用代入消元
法；(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，常用加减消
元法 3. 二元一次方程(组)解的运用
二元一 次方程 例：若 是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝8的解，则2a
－b＝8
二元一 次方程 组 例：若 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则
考点
4
一次方程(组)的实际应用(6年4考)★重点
常见类型及关系式：
购买问题 总价＝单价×数量
打折、销售问题 售价＝标价× (打8折即“标价×0.8”)
销售额＝售价×销量　利润＝售价－进价　利润率＝ ×100％
工程问题 工作量＝工作效率×工作时间
行程问 题(匀速运动) 基本关系：s＝vt
(1)相遇问题(同时出发)：s甲＋s乙＝ ，t甲＝t乙；
(2)追及问题：同时不同地：s甲＝s乙＋ ，t甲＝t乙；
同地不同时：甲出发t小时后乙出发，在B处乙追上甲，s甲＝s乙，t甲
＝ ；
sAB
sAC
t乙＋t
基础题对点练
1. [冀教七上习题改编]若a＝b，则下列结论中正确的是(　C　)
A. a－b＝1 B. a－3＝3－b
C. 2a＝b＋b D. ＝
C
2. [人教七上例题改编]解方程： ＝ ＋1.
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
2x＝3(x－1)＋6　
2x＝3x－3＋6　
2x－3x＝－3＋6　
－x＝3　
x＝－3　
3. [北师八上习题改编]用合适的方法解方程组：
(1) ；
答题规范
得分要点
当其中有一个未知数的系数为1或-1时，可利用代入消元法消去未知数x
回代，解得另一个未知数
作答，得出方程的解
解：(1)令 ，
由①，得y＝2x－3③，
把③代入②，得3x＋2(2x－3)＝8，
7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入③，得y＝2×2－3＝1，
∴方程组的解是 ；
(2) .
解：(2)令 ，
②－①，得3x＝6，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得2＋3y＝－1，
解得y＝－1，
∴方程组的解是 .
4. [冀教七下习题改编]已知 是方程组 的解，则a＋b
的值为 .
1　
5. [冀教七下习题改编]某班组织学生去看演出，甲种票每张26元，乙种票
每张20元，如果38名同学购票恰好用去952元.
(1)设甲种票买了x张，则可列方程为 ；
(2)设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则可列方程组
为 .
26x＋20(38－x)＝952　
　
河北中考真题精选
等式的基本性质
命题点
1
1. (2025衡水模拟)观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，
则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的(　C　)
A. 8倍 B. 6倍
C. 4倍 D. 2倍
C
解一元一次方程(2024.20)
命题点
2
2. (2019河北18题)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共
同指向的数.
示例： 即4＋3＝7.
则(1)用含x的式子表示m＝ ；
3x　
(2)当y＝－2时，n的值为 ；
拓展设问
(3)若图中n的值为5，此时y的值为 .
1　
8　
一次方程(组)的实际应用(6年4考)
命题点
3
3. (2022河北15题)“曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的方法：先将
象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20
块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.
如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标
记位置 .已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正
确的是(　B　)
B
A. 依题意3×120＝x－120
B. 依题意20x＋3×120＝(20＋1)x＋120
C. 该象的重量是5 040斤
D. 每块条形石的重量是260斤
【解析】∵第一次船里有20块条形石和3个搬运工，第二次船里有21
块条形石和1个搬运工，且两次水位在同一位置，∴20x＋3×120＝
(20＋1)x＋120，解得x＝240，∴该象的重量为20×240＋3×120＝5
160斤，故选B.
4. (2025河北15题)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如
图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则a＋
b＝ .
99　
【解析】由题意可知，重叠部分为 a
＝ b，设重叠部分的长度为k，则a＝3k，b＝ k，重叠后的总长度为a－k＋(b－k)＋k＝81，即a＋b－k＝81，代入a＝3k，b＝ k，得3k＋ k－k＝81，解得k＝18，∴a＝3×18＝54，b＝ ×18＝45，∴a＋b＝99.
5. 解方程： ＋1＝ .
答题规范
得分要点
给方程每一项乘分母的最小公倍数
去括号时，若括号前是负号，去括号时每一项都要变号
解：去分母，得2(2x－1)＋6＝3(x－2)，
去括号，得4x－2＋6＝3x－6，
移项，得4x－3x＝－6＋2－6，
合并同类项，得x＝－10，
∴原方程的解为x＝－10.
6. 解方程组： .
解：令 ，
①－②，得 y＝1，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得x＋2＝7，
解得x＝5，
∴原方程组的解为 .
7. (2023河北20题)某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10
次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分(分) 3 1 －2
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分；
解：(1)3×4＋1×2＋(－2)×4
　　＝12＋2＋(－8)
　　＝6，
答：珍珍第一局的得分为6分；
珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第
一局提高了13分，求k的值.
解：(2)根据题意，得3k＋1×3－2(10－k－3)＝6＋13，
解得k＝6，
∴k的值为6.
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分(分) 3 1 －2(共31张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第三节　一元二次方程及其应用
节前复习导图
一元二次方
程及其应用
一元二次
方程的概念
及一般形式
概念
一般形式
一元二次方程
根的判别式及
根与系数的关系
一元二次方程
根的判别式
一元二次方程根
与系数的关系
一元二次
方程的解法
直接开平方法
因式分解法
公式法
配方法
一元二次
方程的实际
应用
变化率问题
面积问题
每每问题
循环赛问题
教材知识逐点过
考点
1
一元二次方程的概念及一般形式
概念 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程
一般 形式 ax2＋bx＋c＝0，(其中a≠0，ax2为二次项，bx为一次项，c为常数项)
一个
2
考点
2
一元二次方程的解法(6年2考)
解法 适用情况或步骤
直接开 平方法 1. 当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；
2. 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
因式分 解法 1. 常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；
2. 一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积
公式法 适用于：
所有一元二次方程，求根公式为 (b2－4ac≥0).
注：使用公式法求解前，需先用判别式判断根的情况
x＝
配方
法 适用于：
1. 二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
2. 各项的系数比较小且便于配方.
步骤：以2x2－8x＋4＝0为例.
1. 变形：将二次项系数化为1，得x2－4x＋2＝0；
2. 移项：将常数项移到方程的右边，得x2－4x＝－2；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2－4x＋4＝－2＋
4，即(x－2)2＝2；
4. 求解：用直接开平方法求解，得x1＝2＋ ，x2＝2－
【易错警示】对于等号两边含有相同因式的一元二次方程，如：2x(x－3)＝3(x－3)，
约去公因式求解会导致丢根，应将其化为等号一边为0的形式进行求解.
考点
3
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2025年新增考查)
1. 一元二次方程根的判别式
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac；
(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：①b2－4ac＞0 方程有
的实数根；
②b2－4ac 0 方程有两个相等的实数根；
③b2－4ac＜0 方程 实数根.
【易错警示】若所给方程的二次项系数含有字母，求字母的取值范围时，应记住一元
二次方程二次项系数不为0这一条件.
两个不相等
＝
没有
2. 一元二次方程根与系数的关系[2022课标调整为考查内容]
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个实数根分别为x1，x2，则
x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .
【温馨提示】利用根与系数的关系解题的前提是方程存在实数根，即根的判别式b2－
4ac≥0.
考点
4
一元二次方程的实际应用
变化率 问题 设a为原来的量，平均增长率为m％，增长次数为2，则增长后的量为
a(1＋m％)2；平均下降率为m％，下降次数为2，则下降后的量为
a(1－m％)2
面积 问题 1. 如图①，设阴影部分的宽为x，则S空白＝ ；
2. 如图②，设阴影部分的宽为x，则S空白＝ ；
3. 如图③，设阴影部分的宽为x，则S空白＝
(a－2x)(b－2x)
(a－x)(b－x)
(a－x)(b－x)
每每 问题 每每问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为
·b件
循环赛 问题 1. 单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则 ＝m；
2. 互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则
x(x－1)＝m
基础题对点练
1. [北师九上习题改编]若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是
2，则a的值为(　D　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
D
2. [北师九上习题改编]用配方法把方程x2－4x＋m＝0化为(x＋n)2＝1的
形式，其中m＋n＝(　A　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
A
3. [人教九上习题改编]请用适当的方法解下列方程：
(1)4x2－9＝0；
答题规范
得分要点
等号两边直接开平方，注意正数的平方根有2个
当方程有两个解时要分开写
解：(1)4x2－9＝0
4x2＝9
x2＝
解得x1＝ ，x2＝－ ；
(2)2x2＋x－3＝0；
解：2x2＋x－3＝0，
b2－4ac＝12－4×2×(－3)＝25＞0，
代入求根公式，得
解得x1＝ ＝1，x2＝ ＝－ ；
(3)x2＋4x＋2＝0；
解：x2＋4x＋2＝0
x2＋4x＝－2
x2＋4x＋4＝－2＋4
(x＋2)2＝2
x＝－2±
解得x1＝－2＋ ，x2＝－2－ ；
(4)x(x－2)＝4(2－x).
解：x(x－2)＝4(2－x)
x(x－2)－4(2－x)＝0
(x＋4)(x－2)＝0
解得x1＝－4，x2＝2.
4. [人教九上习题改编]已知关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－4＝
0(k＜1)，则该方程根的情况正确的是(　A　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无法判断
D. 没有实数根
A
5. [冀教九上例题改编]已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1＝0.
(1)若方程有两个相等的实数根，则m的值为 ；
(2)若方程有实数根，则m的取值范围为 .
－1　
m≥－1且m≠0　
6. [人教九上习题改编]已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则：
(1)x1＋x2＝ ；
(2)x1x2＝ ；
(3) ＋ 的值为 　 　；
(4) ＋ ＝ .
－1　
－2　
　
5　
7. [人教九上习题改编]某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建
设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金.设2024年至
2026年的投入资金的年平均增长率为x，根据题意可列方程为
.
3(1＋x)2＝8
8. [人教九上习题改编]如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四
周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2，设
道路的宽为x m，则可列方程为 .
(50－2x)(38－2x)＝1 260　
9. [冀教九上一起探究改编]某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参
赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，设八
年级班级的个数为x，则可列方程为 .
x(x－1)＝15　
河北中考真题精选
解一元二次方程(6年2考)
命题点
1
1. (2024河北9题)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的
答案比正确答案小1，则a＝(　C　)
A. 1 B. －1
C. ＋1 D. 1或 ＋1
C
2. (2025邯郸模拟)淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结
果正确答案由8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 .
5　
3. 解方程：
(1)x2＋x＝4x；
解：x2＋x＝4x，
x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
∴x＝0或x－3＝0，
解得x1＝0，x2＝3；
(2)x2－4x－5＝0；
解：x2－4x－5＝0，
(x＋1)(x－5)＝0，
∴x＋1＝0或x－5＝0，
解得x1＝－1，x2＝5
(3)x2－3x－3＝0.
解：x2－3x－3＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21＞0，
∴x＝ ＝ ，
解得x1＝ ，x2＝ .
一元二次方程根的判别式
命题点
2
4. (2019河北15题)小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄
对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1，他核对时发现所抄的c比
原方程的c值小2.则原方程的根的情况是(　A　)
A. 不存在实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是x＝－1
D. 有两个相等的实数根
A
变式
4.1 (2025邢台模拟)小明在解关于x的一元二次方程2mx2－nx＋2＝
0(m≠0)时，把一次项的符号抄成“＋”，得到其中一个根是x＝－2，则
方程2mx2－nx＋2＝0(m≠0)根的情况是(　C　)
A. 无实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根
D. 有一个根是x＝－2
C
5. 探讨关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋bx－1＝0(a≠－1)总有实数
根的条件，三名同学给出的条件：
甲：a＝b；乙：ab＜0；丙：a＝－b.
则下列说法正确的是(　B　)
A. 只有甲正确 B. 只有乙不正确
C. 甲、乙、丙都不正确 D. 甲、乙、丙都正确
B
一元二次方程根与系数的关系(2025年新增考查)
命题点
3
6. (2025河北6题)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分
别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】原方程 x(x＋2)－3＝0 展开并整理为x2＋2x－3＝0，其中 a＝
1，b＝2，c＝－3，∴m＝－ ＝－ ＝－2，n＝ ＝ ＝－3，∴点
(m，n)，即(－2，－3) 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系
的第三象限.
C
变式
6.1 若一个矩形的长和宽分别是关于x的一元二次方程x(x－6)＋8＝0的两个实数根，则该矩形的面积为 .
【一题多解】
解法一：【解析】原方程变形为一般式为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2
＝4，∵该矩形的长和宽分别是关于x的一元二次方程x2－6x＋8＝0的两
个实数根，∴该矩形的面积为2×4＝8.
解法二：【解析】原方程变形为一般式为x2－6x＋8＝0，设矩形的两边长分别为x1，x2，根据根与系数的关系得x1·x2＝ ＝8，∴矩形面积是8.
8　
7. (2025沧州模拟)已知m，n是关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0的
两个根，且m(n＋1)＋n(m＋1)＝8，则k的值为(　D　)
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0的两个根，
∴m＋n＝－6，mn＝k，
∵m(n＋1)＋n(m＋1)＝8，∴mn＋m＋mn＋n＝8，即2mn＋m＋n＝8，∴2k－6＝8，解得k＝7，故选D.
D(共32张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第四节　一元一次不等式(组)及其应用
节前复习导图
一元一次
不等式(组)
及其应用
不等式的
基本性质
性质 1
性质 2
性质 3
一元一次
不等式的
解法及解集表示
解法步骤
解集的类型及表示
一元一次
不等式组的解法
及解集表示
解法
解集的类型及表示
一元一次
不等式的
实际应用
常见关键词与
不等号的关系
教材知识逐点过
考点
1
不等式的基本性质(2021.3)
性质
1 不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整
式)，不等号的方向不变，即如果a＞b，那
么a±c＞b±c 应用：解不等式中的移项
性质
2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号
的方向 ，即如果a＞b，c＞0 ，那
么ac bc(或 ) 应用：解不等式中的去分母(或
系数化为1)
不变
＞
＞

性质
3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向 ，即如果a＞b，c＜0，那
么ac bc(或 ) 应用：解不等式中的去分母(或
系数化为1)
改变
＜
＜

【易错警示】使用不等式性质3时，注意改变不等号的方向.
考点
2
一元一次不等式的解法及解集表示(6年3考)★重点
1. 解法步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
2. 解集的类型及表示
类型 在数轴上的表示 说明
x＜a 方向：小于向左，大于向右
边界：在数轴上表示解集时，“≤”和“≥”用实心圆点；“＜”和“＞”用空心圆圈
x≥a x＞a
x≤a
考点
3
一元一次不等式组的解法及解集表示(2025.17)
1. 解法：先分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示出各不等式的解集或根据
口诀确定解集的公共部分；
2. 解集的类型及表示
类型(a＞b) 解集 在数轴上的表示 口诀
同大取大
x≤b 同小取小
x≥a
类型(a＞b) 解集 在数轴上的表示 口诀
小大大小
取中间
大大小小
取不了
b≤x≤a
无解集
【温馨提示】不等式组的解集问题：
1. 的解集是x＞2时，a≤2；
2. 恰有两个整数解时，－1＜a≤0(问“恰有、恰好”时，参数的取值范围在
两个连续的整数内)；
3. 至少有两个整数解时，a＞3；
4. 无解时，a≥2
考点
4
一元一次不等式的实际应用(6年2考)
常见关 键词与 不等号 的关系 大于，多于，超过，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于
至多，不超过，不高于，不大于
【温馨提示】所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且
x≥3 时，则x的最小值为4，即至少有4人 ≥
≤
基础题对点练
1. [人教七下练习改编]若a＞b，则下列结论中正确的是(　C　)
A. a＋3＜b＋3 B. a－5＜b＋3
C. ＞ D. －5a＞－5b
2. [人教七下练习改编]不等式2x－1≥1的解集是(　A　)
A. x≥1 B. x＞1
C. x≤1 D. x≥－1
C
A
3. [冀教七下例题改编]解不等式组 .
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)如图，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
解：解集在数轴上表示如解图；
解图
(4)原不等式组的解集为 .
x≥－1　
x＜5　
－1≤x＜5　
4. [北师八下例题改编]解不等式组：
(1) ；
答题规范
得分要点
分别求出每个一元一次不等式的解集
取解集的公共部分，即为不等式组的解集
解：(1)令 ，
解不等式①，得x≤－4，
解不等式②，得x＜2，
∴原不等式组的解集为x≤－4；
(2) .
解：(2)令 ，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞－3，
∴原不等式组的解集为－3＜x≤1.
5. [冀教七下习题改编]若不等式3a－x＞6的解集为x＜3，则a的值
为 .
　
6. [人教七下练习改编]“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为
.
3　
2x＋3≥0
7. [人教七下练习改编]某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答
错或不答都扣5分，娜娜得分要超过95分，设她答对了x道题，则可列不
等式为 .
　
8. [北师八下习题改编]已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，小明用
不多于35元购买铅笔和签字笔共10支，设小明购买x支签字笔，则可列不
等式为 .
10x－5(20－x)≥95　
5x＋2(10－x)≤35　
河北中考真题精选
不等式的基本性质(2021.3)
命题点
1
1. (2021河北3题)已知a＞b，则一定有－4a□－4b，“□”中应填的符号
是(　B　)
A. ＞ B. ＜
C. ≥ D. ＝
【解析】如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，可知－4a＜－4b.
B
解一元一次不等式(组)及其解集表示(6年4考)
命题点
2
2. (2024河北4题)下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为(　A　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】解不等式5x－1＜6，得x＜ ，故选A.
A
变式
2.1 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为5x－1和 ，点A在点B的
左侧，则下列数中，满足要求的x的值为(　A　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】由题意得5x－1＜ ，解该不等式可得x＜ ，故选A.
A
3. (2025河北17题)(1)解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其
解集；
解：(1)不等式两边同时除以2，得x≤3，
解集在数轴上的表示如解图①；
解图①
(2)解不等式3－x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；
解：(2)移项，得－x＜5－3，
合并同类项，得－x＜2，
系数化为1，得x＞－2，
解集在数轴上的表示如解图②；
解图②
(3)直接写出不等式组 的解集.
解：(3)－2＜x≤3.
4. (2022河北20题)整式3(－m)的值为P.
(1)当m＝2时，求P的值；
解：(1)当m＝2时，
P＝3×(－2)＝1－6＝－5；
整式3(－m)的值为P.
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值.
解：(2)由题图可知，P≤7，
∴3(－m)≤7，
解得m≥－2，
∴m的负整数值为－2和－1.
5. (2025邯郸模拟)在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或
式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算.例如：路线A→B上
数字的和记为(－9)＋2＝－7.
(1)求路线A→B→C上所有数字的和；
解：(1)由题意得，(－9)＋2＋8＋(－7)＝－6，
答：路线A→B→C上所有数字的和为－6；
5. (2025邯郸模拟)在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或
式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算.例如：路线A→B上
数字的和记为(－9)＋2＝－7.
(2)若路线A→D上两个数字的积大于路线D→C上两个式子的和，求x的
正整数解.
解：(2)由题意得，2×(－1)＞3x＋2(x－4)，
解得x＜ ，
∴x的正整数解为1.
6. (2025石家庄模拟)定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a＋
2b；当a＜b时，a△b＝a－2b.例如：3△(－4)＝3＋2×(－4)＝－5，
1△2＝1－2×2＝－3.
(1)填空：(－4)△3＝ ；
【解法提示】根据新定义进行计算可得(－4)△3＝(－4)－2×3＝－10.
－10　
6. (2025石家庄模拟)定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝
a＋2b；当a＜b时，a△b＝a－2b.
(2)已知(2x－4)△2＞1，求x的取值范围.
解：由题意分为两种情况 ①，
或 ②，
解不等式组①得x≥3，不等式组②无解，
∴x的取值范围为x≥3.
一元一次不等式的实际应用(6年2考)
命题点
3
7. (2021河北21题)已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101
个，设A品牌乒乓球有x个.
(1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出
了方程：101－x＝2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
解：(1)101－x＝2x，解得x＝ ，
由题意可知，x为整数，
∵x＝ 不是整数，∴淇淇的说法不正确；
7. (2021河北21题)已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个.
(2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式
的方法说明A品牌球最多有几个.
解：(2)由题意得，B品牌的乒乓球有(101－x)个，
101－x≥x＋28，解得x≤ ，
∵x为整数，∴x的值最大为36，即A品牌的乒乓球最多有36个.
8. (2025石家庄模拟)某闯关小游戏，玩家初始能量值为100点，每通过1关
可获得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣除固定能量惩罚，只有低
级的关卡胜利才能到高级的关卡.例如：玩家闯第1关，一次成功，能量
值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点.
(1)求每关的奖励值和惩罚值(用正负数表示奖励和扣除)；
解：(1)115－100＝15(点)，110－115＝－5(点)，
答：每关的奖励值为＋15点，惩罚值为－5点；
8. (2025石家庄模拟)某闯关小游戏，玩家初始能量值为100点，每通过1关
可获得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣除固定能量惩罚，只有低
级的关卡胜利才能到高级的关卡.例如：玩家闯第1关，一次成功，能量
值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点.
(2)嘉嘉通过第4关后能量值变为了145，则嘉嘉闯关中一共失败了几次；
解：(2)设嘉嘉闯关中一共失败了n次，
根据题意，得100＋4×15＋(－5)n＝145，
解得n＝3，
答：一共失败了3次；
8. (2025石家庄模拟)某闯关小游戏，玩家初始能量值为100点，每通过1关
可获得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣除固定能量惩罚，只有低
级的关卡胜利才能到高级的关卡.例如：玩家闯第1关，一次成功，能量
值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点.
(3)嘉嘉要想能玩到第11关，且能量值不低于220点，则嘉嘉最多能失
败几次？
解：(3)设嘉嘉失败了x次，
根据题意，得100＋10×15＋(－5)x≥220，
解得x≤6，∴x最大取6，
答：嘉嘉最多能失败6次.(共20张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第二节　分式方程及其应用
分式方程的
实际应用
常见关系式
节前复习导图
分式方程
及其应用
分式方程
的相关概
念及其解法
概念
解法
教材知识逐点过
考点
1
分式方程的概念及其解法(2023.18)
概念 分式方程： 中含有未知数的方程
解法 解分式方程的步骤：
方程
两边同乘最简公分母
口诀：一化、二解、三检验、四写根
分母
②方程两边同乘最简公分母
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一概念.
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
(2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解
使得最简公分母为0
考点
2
分式方程的实际应用
常用关系式
行程问题 ＝时间
工程问题 ＝工作完成时间(当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为1)
购买问题 ＝数量
【温馨提示】双检验——(1)检验是否是分式方程的解； (2)检验是否符合实际情况 基础题对点练
1. [人教八上习题改编]解方程： － ＝1.
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验： ，
∴该分式方程的解为 .
x(x－2)－4(x－3)＝x(x－3)　
x2－2x－4x＋12＝x2－3x　
－3x＝－12　
x＝4　
当x＝4时，x(x－3)≠0　
x＝4　
2. [冀教八上读一读改编]已知关于x的分式方程 ＝ 无解，则m的
值为 .
－1　
3. [人教八上练习改编]解分式方程：
(1) ＝ ；
答题规范
得分要点
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程
解分式方程求得的x值必须要进行检验
去括号时，若括号前是负号，去括号时每一项都要变号
解：方程两边同乘x(x＋1)，
得2x＝3(x＋1)，
去括号，得2x＝3x＋3，
解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，x(x＋1)≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解；
(2) － ＝1.
解：方程两边同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，
移项、合并同类项，得x＝－2，
检验：当x＝－2时，x－2≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
4. [北师八下练习改编]某书店分别用500元和700元两次购进同一种书，第
二次数量比第一次多20本，且两次进价相同，若设该书店第一次购进x
本，则列出方程为 .
＝ 　
河北中考真题精选
分式方程的解法及解的运用(2023.18结合代数式求值考查)
命题点
1
1. [北师八下习题改编]若分式 与 的值相等，则m的值不可能
是(　C　)
A. －3 B. 0
C. －1 D. －2
C
2. (2025邢台模拟)关于x的分式方程 － ＝0的解是负数，则a的值
可能是(　B　)
A. －7 B. －5
C. －4 D. －1
B
3. (2024唐山模拟)嘉淇准备完成题目：解方程 ＋ ＝0.发现分母的位
置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝－1，请你帮助嘉淇推断印
刷不清的位置可能是(　A　)
A. x－1 B. －x－1
C. x＋1 D. x2－1
A
【解析】设印刷不清的位置的式子为a，即 ＋ ＝0，把x＝－1代入
得 ＋1＝0，解得a＝－2，检验：把a＝－2代入得a≠0，∴分式方程的
解为a＝－2，∵x－1＝－1－1＝－2，－x－1＝－(－1)－1＝0，x＋1＝
－1＋1＝0，x2－1＝(－1)2－1＝0，故选A.
4. (2025石家庄模拟)下面是某同学解分式方程1－ ＝ 的部分
过程：
解：方程两边同乘 　　　　，得1－(x－3)＝6x，…….….①
去括号，得1－x＋3＝6x，……….……….……….……….②
移项、合并同类项，得－7x＝－4，……….……….……...③
系数化为1，解得x＝ .……….……….……….………...…④
(1)这位同学解题过程中横线处应填 ，
以上过程从第 步开始出错的；
2(x＋1)　
①
(2)该同学检查上述解答过程时，发现不仅存在错误还缺少了一步，请写
出正确的解答过程.
解：原方程去分母，得2(x＋1)－(x－3)＝6x，
去括号，得2x＋2－x＋3＝6x，
移项、合并同类项，得－5x＝－5，
系数化为1，得x＝1，
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝1
分式方程的实际应用
命题点
2
5. (2025石家庄模拟)将两把不同刻度的直尺A和直尺B，分别按图①和图
②的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是(　B　)
B
A. ＝
B. ＝
C. x＝24
D. 直尺A中的刻度18正对直尺B中的刻度22
【解析】根据两把尺子的刻度对应成比例，列出方程得 ＝ ，故
选B.
6. (2025唐山模拟)如下是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.
15.3分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为50 km/h，它以最大航速沿江顺流航行
110 km所用时间，与以最大航速逆流航行90 km所用时间相等，江水的
流速为多少？
甲： ＝ ；乙： ＋ ＝50×2.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲同学所列方程中的x表示 ；乙同学所列方程中的y表
示
；
江水的流速　
轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆
流航行90 km所用时间)　
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题.
解：选甲： ＝ ，
方程两边同乘(50＋x)(50－x)，得110(50－x)＝90(50＋x)，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意.
答：江水流速为5 km/h.
选乙： ＋ ＝50×2，
方程两边都乘以y，得110＋90＝100y，
解得y＝2，
经检验，y＝2是原分式方程的解，且符合题意，
∴ －50＝ －50＝5.
答：江水流速为5 km/h.
(任选一个即可)

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