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(共18张PPT)
第五章　四边形
第五节　多边形(含正多边形)
节前复习导图
多边形的性质
中点四边形
多边形
（含正
多边形）
正多边形
的性质
内角
外角
对称性
边
教材知识逐点过
考点
1
多边形的性质(2022.5)
内角和定理 n(n≥3)边形的内角和为
外角和定理 多边形的外角和为
对角线 过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有 条对角线
【温馨提示】1.n(n＞3)边形具有不稳定性；2.多边形剪下一个角后，边数“或多或
少或不变” (n－2)×180°
360°

考点
2
正多边形的性质(6年5考)★重点
边 正n(n≥3)边形各条边相等
内角 各个内角相等，正n(n≥3)边形的每一个内角的度数为
外角 各个外角相等，正n(n≥3)边形的每一个外角的度数为
对称
性 1. 正多边形都是 对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称
图形；
2. 正n边形有 条对称轴


轴
n
考点
3
中点四边形
1. 定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形.
2. 常见结论：
原图形 任意 四边形 矩形 菱形 正方形 对角线 相等的 四边形 对角线 垂直的 四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形的形状 平行 四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
图示
3. 特殊四边形中，连接各边中点得到的新图形，面积等于原图形面积的一半.
4. 中点四边形的周长等于原图形两条对角线的和.
基础题对点练
1. [冀教八下习题改编] 若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数为 .
　
2. [北师八下习题改编] 有一个内角和为1 080°的正多边形，那么这个正
多边形的每个外角的度数为 .
5　
45°　
3. [北师八下习题改编] 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，连接AE，
延长CD至点G.
(1)∠ABC的度数为 ，∠EDG的度数为 ；
(2)正六边形ABCDEF的对称轴有 条；
(3)AE的长为 ，除AE外，该正六边形中还可以作出 条与
AE长度相等的对角线.
120°　
60°　
6　
2 　
5　
4. [冀教八下数学活动改编]如图，四边形ABCD各边中点分别是E，F，
G，H，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的周长为 .
14　
河北中考真题精选
多边形(2022.5)
命题点
1
1. (2022河北5题)如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四
边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(　A　)
A. α－β＝0
B. α－β＜0
C. α－β＞0
D. 无法比较α与β的大小
A
正多边形的判断与计算(6年5考)
命题点
2
2. (2024河北11题)直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于
点M，N，如图所示，则α＋β＝(　B　)
A. 115° B. 120°
C. 135° D. 144°
B
变式
2.1 (2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝(　B　)
A. 140° B. 150°
C. 160° D. 170°
B
3. (2021河北10题)如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，
S△AFO＝8，S△CDO＝2， 则S正六边形ABCDEF的值是(　B　)
A. 20 B. 30
C. 40 D. 随点O位置而变化
B
【解析】如解图①，连接AC，易知四边形ACDF为矩
形.∵S△AFO＝8，S△CDO＝2，∴S△ACO＝2＋8＝10，
∴S矩形ACDF＝10×2＝20.如解图②，正六边形ABCDEF被分割成12个全等的小直角三角形，可知每个小直角三角形
的面积为20÷8＝ ，∴S正六边形ABCDEF＝ ×12＝30.
解图①
解图②
4. (2025邢台模拟)如图，在探究活动中，某数学小组将两张完全重合的正
六边形纸片的中心O用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上
方正六边形纸片绕点O顺时针旋转(0°＜α＜60°)，旋转后上方正六边形
纸片的两边与边AB分别交于点M，N. 该小组得到结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断
正确的是(　A　)
A
结论Ⅰ：当α＝30°时，阴影部分是正十二边形；
结论Ⅱ：连接OM，ON，在旋转过程中，∠MON的度数不变.
A. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确
B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C. 只有结论Ⅰ正确
D. 只有结论Ⅱ正确
【解析】如解图，当α＝30°时，连接OA，OB，OC，OD，AD，由旋转性质可知，∠AOC＝∠BOD＝30°，由正六边形可得∠COD＝∠AOB＝60°，∠OAM＝∠ODM，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，即∠MAD＝∠MDA，
∴AM＝DM，∴△AOM≌△DOM(SAS)，∴∠AOM＝∠DOM＝15°，
同理可得∠DON＝15°，∴∠MON＝30°，∴阴影部分的边数
为 ＝12，即阴影部分是正十二边形，故结论Ⅰ正确；
同理可得∠DOM＝ ∠AOD，∠DON＝ ∠BOD，
∴∠DOM＋∠DON＝ (∠AOD＋∠BOD)＝ ∠AOB＝30°，
故结论Ⅱ正确，故选A.
解图
5. (2023河北19题)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯
视图如图①，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母
不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图②，其中，中间
正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个
顶点.则图②中：
(1)∠α＝ 度；
30　
(2)中间正六边形的中心到直线l的
距离为 (结果保留根号).
2 　
【解析】如解图，取中间正六边形的中心为点O，过点O作ON⊥直线l于点N，交CH于点M，连接AG，延长CH交右侧的正六边形于点F，由题意得，∠PDE＝60°，易得∠DPE＝30°，∴∠DEP＝90°，∵AG∥BF，AB∥GF，∴∠CAG＝180°－120°＝60°，
∴∠BAG＝90°，∴AG⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH(ASA)，∴BC＝FH，
解图
∵在Rt△PDE中，DP＝2，∴DE＝1，PE＝ ，由正六边形的性质易得AG＝BF＝2PE＝2 ，OM＝PE＝ ，
∵BC＝ (BF－CH)＝ －1，∴AB＝ ＝ ＝3－ ，
∴BD＝2－AB＝ －1，∴BE＝BD＋DE＝ ，
∴ON＝OM＋BE＝2 ，
∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2 .
解图(共22张PPT)
第五章　四边形
第三节　菱　形
节前复习导图
菱形
菱形的性质与判定
性质
判定
教材知识逐点过
考点
菱形的性质与判定(2023.15)
1. 性质
概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质 1. 边：(1)四条边都 ；
(2)两组对边分别平行；
2. 角：两组对角分别相等；
3. 对角线：(1)对角线互相垂直且 ；
(2)每条对角线平分一组对角；
4. 对称性：(1)是轴对称图形，有 条对称轴(正方形除外)；
(2)是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心
【温馨提示】菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形
相等
平分
两
面积 S＝ (m，n分别为菱形两条对角线的长)
S＝ (a为菱形的边长，h为该边上的高)
周长 C＝ (a为菱形的边长)
mn
ah
4a
2. 判定
(1)有一组邻边 的平行四边形是菱形(定义)；
(2)四条边 的四边形是菱形；
相等
都相等
(3)两条对角线 的平行四边形是菱形.
【温馨提示】菱形的判定思路：
互相垂直
基础题对点练
1. [人教八下例题改编] 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，E是AB的中点，连接OE.
(1)若OE＝3，则菱形的边长为 ，周长为 ；
(2)若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为 ，点D到AB的距
离为 .
6　
24　
24　
　
2. [冀教八下探究改编] 如图，在 ABCD中，有以下4个条件：①OA＝
OB，②AC＝BD，③∠ADC＝∠BAD，④AC⊥BD，请选择一个条
件 　 (填序号)，使得四边形ABCD是菱形.
④
河北中考真题精选
菱形的性质与判定(2023.15)
命题点
1. (2019河北5题)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(　D　)
A. 30° B. 25°
C. 20° D. 15°
D
2. 一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角
形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是(　D　)
D
3. (2025秦皇岛模拟)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A
两边于点M，N，再分别以M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧
交于点B，连接MB，NB. 若∠A＝50°，则∠MBN＝(　B　)
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 140°
B
4. (2025邯郸模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4 ，则OE＝(　C　)
A. 4 B. 2
C. 2 D.
C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，BD＝4 ，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2 ，∴AO＝ BO＝2，∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝ AD＝2.
5. 如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC＝3BE，BF＝2，则DF的长是(　B　)
A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠FEB＝∠FAD，∠EBF＝∠ADF，∴△BEF∽△DAF，
∴ ＝ ，
∵EC＝3BE，∴AD＝BC＝4BE，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵BF＝2，∴DF＝8.
6. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形木框构成，在A，E，F，
C，G，H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并
在B，M处固定.已知菱形ABCD的边长为20 cm，要使两排挂钩的距离
(即AC)为32 cm，则BM之间的距离为(　C　)
A. 36 cm B. 60 cm
C. 72 cm D. 96 cm
C
【解析】如图，连接AC，BD交于点O，
∴AO＝ AC＝ ×32＝16(cm)，AC⊥BD，
BD＝2OB，∵菱形ABCD的边长为20 cm，
∴在直角三角形AOB中，由勾股定理得OB＝
＝ ＝12(cm)，
∴BD＝2OB＝24 cm，∴BM＝3BD＝72 cm.
O
7. 如图，在平行四边形ABCD中，作AE平分∠BAD交BC边于点E，过
点E作EF∥AB交AD边于点F，要使四边形CDFE是菱形，则平行四边
形ABCD应具备的条件是(　C　)
A. ∠ACB＝60°
B. 四边形ABEF是菱形
C. AD＝2CD
D. tan B＝2
C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝
∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAF＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵EF∥AB，AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形，∴四边形CDFE是平行四边形，
∵要使得四边形CDFE是菱形，∴DF＝EF＝AF＝CD，∴AD＝2CD.
8. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P，Q分别为边CD和AD
上的动点(不含端点)，DP＝AQ，连接AP，CQ交于点E，连接BE交对
角线AC于点F，则下列四个结论：
①∠APD与∠CQA一定相等；
②∠AEC的大小与点P，Q的变化有关；
③AQ2＝CQ·QE；
④BE＝AE＋CE.
其中正确的是 (填写所有正确结论的序号).
①③④　
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD均
为等边三角形.∴AD＝CA，∠ADP＝∠CAQ＝60°.
∵DP＝AQ，∴△ADP≌△CAQ(SAS).∴∠APD＝∠CQA，故①正确；∵∠CQA＋∠CQD＝180°，∴∠APD＋∠CQD＝180°，∴∠QEP＋∠D＝180°，∴∠QEP＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠AEC的大小与点P，Q的变化无关，故②错误；
∵∠QEP＝120°，∴∠AEQ＝60°，∴∠AEQ＝∠CAQ＝
60°.∵∠AQE＝∠CQA，∴△AQE∽△CQA，∴ ＝ ，∴AQ2＝
CQ·QE，故③正确；∵∠QEP＋∠D＝180°，∴∠AEC＋∠ABC＝
180°，∴∠BAE＋∠BCE＝180°，如解图，过点B分别作BM⊥QC
交QC的延长线于点M，BN⊥AP于点N，则
∠ANB＝∠M＝∠BNE＝90°，∠BCM＋
∠BCE＝180°，∠BNE＋∠M＝180°，
∴∠BAE＝∠BCM，B，N，E，M四点共圆.
解图
∵AB＝CB，∴△ABN≌△CBM(AAS)，∴BN＝BM，∴∠NEB＝∠BEC. ∵∠AEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC＝60°，在BE上取点G，使BG＝CE，连接AG，∵∠AEB＝60°，∴∠ABE＋∠BAE
＝120°.∵∠DAP＋∠BAE＝120°，∴∠ABE＝∠DAP. 由△ADP≌△CAQ得∠DAP＝∠ACQ，∴∠ABE＝∠ACQ，
∵AB＝AC，∴△ABG≌△ACE(SAS)，∴AG＝AE，
∴△AEG为等边三角形，∴BE＝GE＋BG＝AE＋CE，
故④正确.综上所述，其中正确的是①③④.
解图
9. 如图，在 ABCD中，E是AD的中点，过点E的直线交AB
的延长线于点F，交CD的延长线于点G，连接AG，DF，AG＝DG.
(1)求证：四边形AFDG是菱形；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AF∥DG，∴∠AFE＝∠DGE，
∵E是AD的中点，AG＝DG，∴∠DGE＝∠AGE，
∴∠AFE＝∠AGE，∴AF＝AG，∴AF＝DG，
∴四边形AFDG是平行四边形，
又∵AG＝DG，∴四边形AFDG是菱形；
9.如图，在 ABCD中，E是AD的中点，过点E的直线交AB的延长线于点F，交CD的延长线于点G，连接AG，DF，AG＝DG.
(2)若DG＝3CD，AB＝2，∠C＝60°，求FG的长.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝2，∴∠C＝∠GDA＝60°，
∵DG＝3CD，∴DG＝6，
由(1)知四边形AFDG是菱形，
∴FG⊥AD，FG＝2EG，
在Rt△DEG中，EG＝DG· sin 60°＝3 ，
∴FG＝2EG＝6 .(共29张PPT)
第五章　四边形
第四节　正方形
节前复习导图
正方形
正方形的
性质与判定
性质
判定
平行四边形、
矩形、菱形、
正方形之间
的关系
从边、角的角度看
从对角线的角度看
教材知识逐点过
考点
1
正方形的性质与判定(6年4考)★重点
1. 性质
概念 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
性质 1. 边：四条边都 ，两组对边分别平行；
2. 角：四个角都是直角；
3. 对角线：(1)对角线互相垂直平分且 ；
(2)每条对角线平分一组对角；
4. 对称性：(1)是轴对称图形，有 条对称轴；
(2)是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心
注：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质
面积 S＝a2(a为正方形的边长)
相等
相等
四
2. 判定
(1) 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形(定义)；
(2) 有一个角是直角的 是正方形；
(3) 有一组邻边相等的 是正方形；
(4) 对角线相等的 是正方形；
(5) 对角线互相 的矩形是正方形.
菱形
矩形
菱形
垂直
考点
2
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1. 从边、角的角度看：
2. 从对角线的角度看：
基础题对点练
1. [冀教八下习题改编] 在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，再添
加一个条件使四边形ABCD为正方形，不能是下列的(　B　)
A. AB⊥AD
B. AC＝AB
C. AC＝BD
D. ∠OAD＝∠ODA
B
2. [北师九上复习题改编] 如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点
O，已知AB＝4.
(1)∠ABC的度数为 ，∠BAC的度数为 ；
(2)BC的长为 ；
(3)BD的长为 　4 　，OA的长为 　2 　；
(4)正方形ABCD的周长是 ，面积是 .
90°　
45°　
4　
4 　
2 　
16　
16　
教材变式过重点
正方形的相关证明与计算
教材原题
例 　人教八下P67第1(3)题
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为(　B　)
A. 10° B. 15°
C. 20° D. 125°
B
变式题
1. 改为在正方形外侧作等腰直角三角形
如图，正方形ABCD的边长为2 ，以CD为斜边在正方形ABCD的外侧
作等腰直角三角形CDE，连接AE，BE，则△ABE的周长为(　A　)
A. 4 ＋2
B. 6
C. 2 ＋
D. 6
A
2. 改为结合对角线进行探究
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC与BE交于点
F，连接DF，证明：∠DAF＝∠DEF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°，∠DAF
＝45°，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，
∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝15°，
∴∠DEF＝∠AED－∠AEB＝45°，
∴∠DAF＝∠DEF.
3. 改为结合十字模型
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，G是CD上一点，
连接AG，BE，且BE与AG，AD分别交于点H，M，已知GD＝
AM，BH＝4，求BE的长.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴在△ABM和△DAG中， ，
∴△ABM≌△DAG(SAS)，
∴∠ABM＝∠DAG，∠AMB＝∠DGA，
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，
∴∠DAG＋∠AMB＝90°，
∴∠AHM＝90°，
由题意得AB＝AE，
∴AH垂直平分BE，
∴BE＝2BH＝8.
模型分析
正方形十字模型：
(1)模型特点：AE⊥BF且AE＝BF；
(2)结论：△ABF≌△DAE；
(3)举一反三：分别过点E，G作AB，AD的垂线，
垂足分别为M，N，得△NGF≌△MEA.
几何画板动态演示
温馨提示：点击查看原文件
河北中考真题精选
正方形的性质与判定(6年4考)
命题点
1. 如图是小刚在综合与实践课上用四根长度相同的木条制作的
可以活动的四边形学具，他先将学具活动成正方形ABCD，接着将学具
活动成菱形A'B'C'D'，且通过测量得到∠B'＝60°，若他想将四边形暂时
固定下来，则正方形和菱形需要再添加的木条分别为AC，A'C'，则
的值为(　A　)
A. B.
C. D.
A
【解析】由题意得AB＝A'B'，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝
BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝ AB.
∵四边形A'B'C'D'是菱形，∴A'B'＝B'C'.
∵∠B'＝60°，∴△A'B'C'是等边三角形，
∴A'C'＝A'B'＝AB，∴ ＝ ＝ .
2. (2025邢台模拟)如图所示，琪琪用七巧板拼了一个正方形，若其对角线
长为4，则图中④⑤⑥组成的四边形的周长为(　B　)
A. 6
B. 6＋
C. 7
D. 7＋
B
【解析】如解图，由七巧板的特征得：AP＝PH＝HG
＝GC，四边形PMEH是正方形，△HEG是等腰直角三
角形，四边形EFCG是平行四边形，∵用七巧板拼成正
方形ABCD的对角线AC＝4，∴AP＝PH＝HG＝GC
＝1，∴PM＝ME＝HE＝EF＝1，∴PC＝3，MF＝
2，在Rt△HEG中，由勾股定理得EG＝
＝ ，∴CF＝EG＝ ，∴四边形PCFM的周长为
PC＋PM＋MF＋CF＝3＋1＋2＋ ＝6＋ ，
∴图中④⑤⑥组成的四边形的周长为6＋ .
解图
3. (2024沧州模拟)如图，在甲、乙两个大小不同的正方形网格图中，正方
形ABCD，EFGH的各顶点均在网格线的交点上.若正方形ABCD，
EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S乙，则
下列结论正确的是(　B　)
B
①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；
②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；
③S甲∶S乙＝9∶10.
A. 只有①② B. 只有②③
C. 只有③ D. ①②③
【解析】设甲、乙两个正方形网格中每个小正方形的边长分别为a，b，
①∵S正方形ABCD＝(4a)2＋(2a)2＝20a2，正方形网格的面积为(6a)2＝
36a2，∴ ＝ ，故①结论错误；②S正方形EFGH＝(3b)2＋(3b)2＝
18b2，正方形网格的面积为(6b)2＝36b2，
∴ ＝ ，故②结论正确；
③由①得 ＝ ，则S甲＝ S正方形ABCD，由②得 ＝ ，
则S乙＝2S正方形EFGH，∵正方形ABCD，EFGH的面积相等，
∴ ＝ ＝ ，故③结论正确.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AC，BC向外作正方
形ACDE和正方形BFGC，连接EF，AF. 若已知AB2－AC2的值，则能
求出面积的三角形是(　A　)
A. 三角形ABF B. 三角形ACF
C. 三角形AEF D. 三角形ABC
A
【解析】如图，连接BG，∵∠ACB＝90°，
∴AB2－AC2＝BC2，∴S正方形BCGF＝BC2＝AB2－
AC2，∵S△GBF＝ S正方形BCGF，
∴S△GBF＝ (AB2－AC2)，
∵∠ACB＝∠BCG＝90°，∴A，C，G共线，且AG∥BF，∴S△ABF＝S△GBF，∴S△ABF＝ (AB2－AC2)，即已知AB2－AC2的值，能求出三角形ABF的面积.
5. 【一题多解】如图，在正方形ABCD边CD上取一点G，以CG为一边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接BF，DF. 若AB＝2，则四边形ABFD的面积为(　C　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 3
C
解法一:【解析】如图，连接BD，CF，∵四边形
ABCD，CEFG都是正方形，∴∠CBD＝∠ECF＝
45°，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BDC，∴S四边形ABFD＝
S△ABD＋S△BDF＝S△ABD＋S△BDC＝S正方形ABCD＝AB2＝4.
解法二:【解析】如图，设CD与BF交于点M，连接
CF. ∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，∴BC＝CD，
FG＝EF，∵S△CDF＝ CD·FG，S△BCF＝ BC·EF，
∴S△CDF＝S△BCF，∴S△CDF－S△MCF＝S△BCF－S△MCF，
即S△DMF＝S△BCM，∴S四边形ABFD＝S四边形ABMD＋S△DMF＝
S四边形ABMD＋S△BCM＝S正方形ABCD＝AB2＝4.
M
6. 如图，把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得
到正方形AB'C'D'，BC与D'C'相交于点O.
(1)求证：点B在正方形AB'C'D'的对角线AC'上；
(1)证明：如图，连接AC'，
∵四边形AB'C'D'是正方形，
∴∠D'AC'＝45°，
由旋转的性质得∠BAB'＝45°，
∴∠BAD'＝45°，
∴∠D'AC'＝∠D'AB＝45°，
∴点B在对角线AC'上；
6.如图，把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，BC与D'C'相交于点O.
(2)求四边形ABOD'的周长.
(2)解：由旋转及正方形的性质得B'C'＝AB'＝5，
∴在Rt△AB'C'中，AC'＝ ＝5 ，
由(1)得，点B在正方形AB'C'D'的对角线AC'上，
∴BC'＝AC'－AB＝5 －5，
∵∠OBC'＝90°，∠OC'B＝45°，
∴OB＝BC'＝5 －5，
∴在Rt△OBC'中，OC'＝ ×(5 －5)＝10－
5 ，
∴OD'＝5－OC'＝5 －5，
∴四边形ABOD'的周长为2AD'＋OB＋OD'＝10＋
5 －5＋5 －5＝10 .(共20张PPT)
第五章　四边形
第二节　矩　形
节前复习导图
矩形
矩形的性质与判定
性质
判定
教材知识逐点过
考点
矩形的性质与判定(6年3考)★重点
1. 性质
定义 有一个角为直角的平行四边形叫做矩形
性质 1. 边：两组对边分别平行且相等；
2. 角：四个内角都是直角；
3. 对角线：两条对角线 ；
4. 对称性：(1)是轴对称图形，有 条对称轴(除正方形)；
(2)是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心
相等且互相平分
两
面积 两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，S＝ab(a，b分别为矩
形的长和宽)
周长 C＝ (a，b分别为矩形的长和宽)
2(a＋b)　
2. 判定
(1)有一个角是直角的 是矩形(定义)；
(2)有三个角都是直角的四边形是矩形；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
【温馨提示】矩形的判定思路：
平行四边形
基础题对点练
1. [人教八下练习改编] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O.
(1)若AB＝3，AC＝5，则矩形ABCD的周长为 ；BO的长
为 　 　；点A到BD的距离为 　 　；
(2)若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为 .
14　
　
　
8　
2. [冀教八下做一做改编]在下列条件中，能够判定平行四边形ABCD为矩
形的是 (填序号).
①AB＝AC；
②AC⊥BD；
③AB＝AD；
④AC＝BD.
④　
河北中考真题精选
矩形的性质与判定(6年3考)
命题点
1. (2025承德模拟)依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　A　)
A
2. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，F为
BE上一点，连接CF，已知BE＝BC，AE＝BF，若∠1＝α，则∠2的
度数为(　B　)
A. 90°－ α B. 90°－α
C. 180°－3α D. α
B
3. (2024邯郸模拟)综合实践课上，嘉嘉设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程如下：
分别以点A，C为圆心，以大于 AC长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，直线EF交AC于点O 作射线BO，在射线
BO上截取OD，使得OD＝OB 连接AD，CD，则四边形ABCD就是所求作的矩形
根据嘉嘉尺规作图痕迹，完成下面的证明.
证明：∵OA＝① 　　　　，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(② 　　　　)(填推理依据).
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形(③ 　　　　)(填推理依据).
①②③应该填的内容分别是(　B　)
A. OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，
有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行
四边形是矩形
C. OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平
行四边形是矩形
D. OC，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相平分的四边形
是平行四边形
B
【解析】∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形(对角
线互相平分的四边形是平行四边形).
又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
4. (2025邯郸模拟)如图，在矩形纸片ABCD中，DC＝8，点M是AB边上
的一点，点N是DC边上的中点，佳佳按如下方式作图：
①连接MC，MD；
②取MC，MD的中点P，Q；
③连接PN，QN.
若四边形MPNQ是矩形，可以推断AD的长度不可能是(　D　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
D
【解析】如图，连接NM，PQ，∵MC，MD，
CD的中点分别是P，Q，N，∴PQ，PN，QN是
△CDM的中位线，∵DC＝8，∴PQ＝ DC＝4.当四
边形MPNQ是矩形时，MN＝PQ＝4，
∴点M到DC的距离不超过4，即AD≤4，故选D.
5. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝3 cm，BC＝
4 cm，E，F分别是BC，CD的中点，连接DE，BF交于点G，则图中阴
影部分的面积是 cm2.
2　
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝
CD＝3 cm，∴S△BCD＝ ×3×4＝6(cm2)，如图，连
接EF，∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，EF＝ BD，
∴△GEF∽△GDB，∴DG＝2GE，
∵E为BC的中点，∴S△BDE＝ S△BCD，
∴S△BDG＝ S△BDE＝ S△BCD＝ ×6＝2(cm2)，
即阴影部分的面积为2 cm2.
6. (2025邯郸模拟)中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三
角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A
作AF⊥DE，垂足为F，延长FD至点G，使DG＝DF，连接GB，延
长FE至点H，使EH＝FE，连接CH，则四边形BCHG的面积等于
△ABC的面积.
(1)求证：四边形BCHG为矩形；
(1)证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD.
∵DG＝DF，∠ADF＝∠BDG，
∴△ADF≌△BDG(SAS)，
∴AF＝BG，∠AFD＝∠G＝90°.
同理可得CH＝AF，∠AFE＝∠H＝90°，
∴BG＝CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
又∵∠G＝90°，∴四边形BCHG为矩形；
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长FD至点G，使DG＝DF，连接
GB，延长FE至点H，使EH＝FE，连接CH，则四边形BCHG的面积
等于△ABC的面积.
(2)若DE＝5.5，AF＝4，利用上述结论求△ABC的面积.
解：(2)∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝11，
由(1)可知，BG＝AF＝4，
∴S矩形BCHG＝BC·BG＝11×4＝44，
∴S△ABC＝S矩形BCHG＝44.(共18张PPT)
第五章　四边形
第一节　平行四边形
章前复习导图
互逆
边、角特殊化
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
判定
周长
面积
对称性
边
角
对角线
多边形
特殊
正多边形
四边形
节前复习导图
平行四边形
平行四边形
的性质与判定
性质
判定
教材知识逐点过
考点
平行四边形的性质与判定(6年5考)★重点
1. 性质
定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质 (1)边：两组对边分别 且 ；
(2)角：两组对角分别 ；
(3)对角线：对角线 ；
(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
面积 S＝ (a表示边长，h表示该边上的高)
平行
相等
相等
互相平分
ah
2. 判定
边 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 两条对角线互相 的四边形是平行四边形
平分　
基础题对点练
1. [北师八下例题改编]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，E是BC的中点，连接OE.
(1)若AB＝4，BD＝10，则OB＝ ，CD＝ ，OE＝ ；
(2)若AB＝3，BC＝5，AC＝4，则 ABCD的周长为 ，面积
为 .
5　
4　
2　
16　
12　
2. [北师八下习题改编] 在四边形ABCD中，AB＝CD，请添加一组线段
数量关系： ，使四边形ABCD为平行四边形.
AD＝BC　
河北中考真题精选
平行四边形的性质与判定(6年5考)
命题点
1. (2022河北8题)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(　D　)
D
2. (2023河北8题)综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点
C，使得四边形ABCD为平行四边形.图①～图③是其作图过程.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是
(　C　)
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分
D. 一组对边平行且相等
C
3. (2020河北10题)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉
淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处.
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四
边形…”之间作补充，下列正确的是(　B　)
A. 嘉淇推理严谨，不必补充
B. 应补充：且AB＝CD
C. 应补充：且AB∥CD
D. 应补充：且OA＝OC
B
4. (2024河北10题)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点
M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠3.
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴ 　　①　　.
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB( 　　②　　)，
∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为(　D　)
A. ∠1＝∠3，AAS
B. ∠1＝∠3，ASA
C. ∠2＝∠3，AAS
D. ∠2＝∠3， ASA
D
【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，
∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，
∵点M是AC的中点，∴MA＝MC，
在△MAD和△MCB中， ，
∴△MAD≌△MCB(ASA)，∴MD＝MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA.
5. (2021河北7题)如图①， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角.要在
对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中
的甲、乙、丙三种方案.
图①
图②
则正确的方案(　A　)
A
A. 甲、乙、丙都是
B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是
D. 只有乙、丙才是
【解析】如图，对于甲的方案，连接AC，∵四边形
ABCD是平行四边形，∴AC经过BD的中点O，且AO＝
CO. 又∵BO＝DO，BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，∴四边形ANCM是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；对于乙的方案，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM.
∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴∠ANB＝∠ANM＝∠CMD＝∠CMN＝90°，∴AN∥CM，△ABN≌△CDM(AAS)，∴AN＝CM，
∴四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；对于丙的方案，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN，CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，∴△BAN≌△DCM(ASA)，∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，
∴四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形).综上可知，甲、乙、
丙的方案都是正确的.
6. 如图，已知AD是△ABC的中线，DE∥AB，且DE＝AB，连接AE，EC，求证：四边形ADCE是平行四边形，则正确的证明顺序应是(　A　)
A
证明：∵DE∥AB，且DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形，
接着以下是排序错误的证明过程：
①∴BD＝CD，∴AE＝CD，
②∴AE＝BD，AE∥BC，
③∵AD是△ABC的中线，
④∴四边形ADCE是平行四边形.
A. ②→③→①→④
B. ②→①→③→④
C. ①→③→④→②
D. ①→③→②→④
【解析】∵DE∥AB，且DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形.故选A.

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