资源简介

(共40张PPT)
第一章　数与式
第一节　实数的相关概念
章前复习导图
科学记数法
互逆
数与式
实 数
代数式
整式
分式
分类
相关概念
运算
数轴、绝对值
相反数、倒数
四则运算
乘方
数的开方
运算 加、减、乘、除、幂
因式分解
性质
约分
通分
运算 加、减、乘、除
概念
运算
混合运算
二次根式
性质
运算
节前复习导图
实数的分类及
正负数的意义
实数的分类
正负数的意义
实数的
相关概念
数轴
相反数
绝对值
倒数
科学记数法
定义
确定n
近似数
平方根、算术平方根、
立方根
非负数
实数的
相关概念
教材知识逐点过
使用指南：本书研析河北近6年中考真题，对考查3次及以上的考点标“★
重点”，另考点答案见本书P169－P170.
考点
1
实数的分类及正负数的意义
1. 实数的分类
按定义分 实数可分为有理数和无理数.
(1)有理数：分为整数和分数(有限小数或无限循环小数)；
(2)无理数：无限不循环小数
按性质分 实数可分为正数、0和负数
【温馨提示】常见的无理数类型：
(1)开方开不尽的数：如 ， ， ， 等；
(2)含有根号的三角函数值：如 sin 45°， sin 60°， cos 30°等；
(3)π及化简后含有π的数：如π， ，－π等；
(4)有规律的无限不循环小数；如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多1个0)等.
2. 正负数的意义
正负数 的意义 正负数可以用来表示一组具有相反意义的量
举例 如规定向东为“＋”， 则向西为“－”；规定零上为“＋”， 则零下为
“－”；规定盈利为“＋”，则亏损为“－”
考点
2
实数的相关概念(6年6考)★重点
1. 数轴(6年4考)
三要素
对应 关系 与数轴上的点是一一对应的
实数
两点间 的距离 用右边的点表示的数减去左边的点表示的数.如图，数轴上A，B两点
间的距离为 ，线段AB的中点C对应的实数为
【温馨提示】已知数轴上两点间的距离和其中一点对应的实数，求另一点对应的实
数时，需分类讨论 b－a
2. 相反数(2021.5)
定义 只有 不同的两个数互为相反数
性质 (1)非零实数a的相反数是 ；特别地，0的相反数是 ；
(2)若实数a，b互为相反数 a＋b＝ ， ＝ (b≠0)
几何 意义 在数轴上，表示互为相反数的两个数(0除外)对应的点，分别位于原点两
侧，并且到原点的距离 ，即表示这两个数的点关于 对称
符号
－a
0
0
－1
相等
原点
3. 绝对值
定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作
性质 ｜a｜＝ ，绝对值具有非负性
几何 意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离， 离原点越远的点表示的数的绝对值
越
【温馨提示】绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若｜a｜＝｜b｜，则a＝
b或a＋b＝0 ｜a｜
大
4. 倒数(2022.9)
定义 乘积是1的两个数互为倒数
性质 非零实数a的倒数是 ；
若实数a，b互为倒数 ab＝
特殊 情况 没有倒数，倒数等于它本身的数是
1
0
±1
考点
3
科学记数法(6年5考)★重点
定义 把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤｜a｜＜10，n为整数
确定n 1. 当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；
2. 当0＜原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前0的个数(包括小数点前面的0)
考点
4
近似数
定义：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数.在很多情况
下，常采用四舍五入法得到一个数的近似数.一般地，一个近似数四舍五入到哪一
位，就说这个数精确到哪一位.
考点
5
平方根、算术平方根、立方根
考查点 定义 总结
平方根 实数a(a≥0)的平方根
为 　± 　，其中 　 　为
a的算术平方根 1. 一个正数的平方根有两个，它们互
为 ；
2. 负数没有平方根；
3. 所有的数都有一个立方根，且与原数同
号；
4. 平方根等于它本身的数是0；算术平方
根等于它本身的数是0，1；立方根等于它
本身的数是0，±1
算术 平方根 立方根 实数a的立方根为 　 ±
相反数
考点
6
非负数
1. 常见的非负数有a2，｜b｜， (c≥0)；
2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，如a2＋｜b｜＋ ＝0，则a2＝
0，｜b｜＝0， ＝0，即a＝b＝c＝
0
基础题对点练
1. [冀教八上习题改编]给出一组数据如下： ，－2，2π，0， cos
30°， ，是有理数的有 　－2，0， 　；是无理数的有 　 ，2π， cos
；是负数的有 .
　
2. [人教七上习题改编]某超市今日收入500元可以记作＋500元，那么进货
支出350元，可以记作 元.
－2，0， 　
，2π， cos
30°　
－2　
－350　
3. [人教七上习题改编]规定：(→2)表示向右移动2记作＋2，则(←3)表示
向左移动3记作(　B　)
A. ＋3 B. －3
C. － D. ＋
B
4. [北师七上习题改编]点A，B，C在数轴上的位置如图所示.
(1)点A表示的数是 ；
(2)到原点距离相等的两个点是点 和点 ；
(3)点A与点B之间的距离为 ；
(4)若数轴上有一点D，AD＝2，则点D对应的实数为 .
－2　
A　
C　
3　
0或－4　
5. [人教七上习题改编]－ 的相反数是 　 　，绝对值是 　 　，倒数
是 .
　
6. [人教七上习题改编]在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数
是 .
　
　
－3　
－3　
7. [冀教七下习题改编]用科学记数法表示下列各数：
(1)2 440 000＝ ；
(2)0.000 000 004 5＝ ；
(3)361 000 000用科学记数法表示为3.61×10n，则n的值为 ；
(4) ＝ ；
(5)4×105＋8×105＝ .
2.44×106　
4.5×10－9　
8　
1×10－3
1.2×106
8. [人教七下习题改编]64的平方根是 ，算术平方根是 ，立方
根是 .
　
9. [冀教八上习题改编]若(a－1)2＋｜b－2｜＋ ＝0，则a＋b＋c
＝ .
±8　
8　
4　
1　
教材变式过重点
数　轴
教材原题
例 　人教七上P9第1题
如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数.
解：由题图可知，A点表示：0；B点表示：－2；C点表示：1；D点表
示：2.5(2.4～2.6均可)；E点表示：－3.
变式题
1. 改为数轴结合实数的运算
点A与点O在数轴上表示的数如图所示，下列计算结果在点A与点
O之间的是(　C　)
A. －1＋4 B. 0－(－2)
C. －2×｜－1｜ D. －2÷
【解析】∵－1＋4＝3，0－(－2)＝2，－2×｜－1｜＝－2，－2÷ ＝
－6，故C选项符合题意.
C
2. 改为数轴上的动态问题
如图，周长为5个单位长度的圆上有一点A落在数轴上，该圆在数轴上沿
正方向滚动一周，点A的对应点A'恰好落在实数1的位置.求点A对应的实
数是多少.
解：∵圆的周长是5个单位长度，点A'对应的实数是1，
∴1－5＝－4，
∴点A对应的实数是－4.
3. 改为数轴原点位置不确定
如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d，已知a＋d
＝0，点A，D之间的距离是8个单位长度.
(1)求a和d的值分别是多少；
解：(1)∵a＋d＝0，
∴a和d互为相反数，
∵AD＝8，且点A在点D左侧，
∴a＝－4，d＝4；
如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d，已知a＋d＝0，点A，D之间的距离是8个单位长度.
(2)若｜b｜＝3，｜c｜＝2，求点B和点C之间的距离，以及b＋c的值.
解：(2)∵a＋d＝0，
∴原点位于点A和点D的中点处，
∴点B位于原点左侧，点C位于原点右侧，即b＜0，c＞0，
∵｜b｜＝3，｜c｜＝2，
∴b＝－3，c＝2，
∴点B和点C之间的距离是5，b＋c＝－3＋2＝－1.
4. 改为数轴单位长度不确定
如图，用直尺画数轴，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2、
刻度8和刻度10.点A表示的数为－2，点B表示的数为1.
(1)求出点C表示的数；
解：(1)∵点A表示的数为－2，点B表示的数为1，1－(－2)＝3，
∴点A和点B之间是3个单位长度，
∵点A和点B分别对应直尺上的刻度2和刻度8，
∴该数轴上1个单位长度为2厘米，
∴点C表示的数为2；
如图，用直尺画数轴，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10.点A表示的数为－2，点B表示的数为1.
(2)若将数轴等比例缩小为原来的 ，点A仍对着直尺上的刻度2，则点C
对应的直尺上的刻度是多少？
解：(2)∵将数轴等比例缩小为原来的 ，
∴该数轴上1个单位长度为2× ＝ (厘米)，
∵由(1)易得点A和点C之间是4个单位长度，
∴4× ＋2＝4，即点C对应的直尺上的刻度是4.
河北中考真题精选
实数的相关概念(6年2考)
命题点
1
1. (2021河北5题)能与－(－ )相加得0的是(　C　)
A. － － B. ＋
C. － ＋ D. － ＋
C
2. (2025廊坊模拟)检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的
克数记为负数.从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是(　B　)
A. －2.5 B. －0.7
C. ＋3.2 D. ＋0.8
【解析】通过求4个数的绝对值得：｜－2.5｜＝2.5，｜－0.7｜＝
0.7，｜＋3.2｜＝3.2，｜＋0.8｜＝0.8，－0.7的绝对值最小，
∴第2个球是最接近标准的球.故选B.
B
数轴(6年4考)
命题点
2
3. (2021河北11题)如图，将数轴上－6与6两点间的线段六等分，这五个等
分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是(　C　)
A. a3＞0 B. ｜a1｜＝｜a4｜
C. a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0 D. a2＋a5＜0
C
4. (2024河北20题)如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A，B，C
所对应的数依次为－4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依
次为0，x，12.
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求 的值；
解：(1)∵点A，B，C所对应的数依次为－4，2，32，
∴A，B，C三点所对应的数的和为－4＋2＋32＝30，
∵AB＝2－(－4)＝6，AC＝32－(－4)＝36，
∴ ＝ ＝ ；
甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为－4，2，32，乙数轴上的三
点D，E，F所对应的数依次为0，x，12.
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
求x的值.
解：(2)由数轴得，DE＝x－0＝x，DF＝12－0＝12，
由题意得， ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝2.
科学记数法(6年5考)
命题点
3
5. (2022河北6题)某正方形广场的边长为4×102 m，其面积用科学记数法
表示为(　C　)
A. 4×104 m2
B. 16×104 m2
C. 1.6×105 m2
D. 1.6×104 m2
C
6. (2025样卷)某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2 025秒可执行的运
算次数用科学记数法表示为(　C　)
A. 0.202 5×1014
B. 20.25×1012
C. 2.025×1013
D. 2.025×1014
【解析】100亿×2 025＝202 500亿，202 500亿＝20 250 000 000 000＝
2.025×1013.
C
7. (2023河北10题)光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年
内走过的路程，约等于9.46×1012 km.下列正确的是(　D　)
A. 9.46×1012－10＝9.46×1011
B. 9.46×1012－0.46＝9×1012
C. 9.46×1012是一个12位数
D. 9.46×1012是一个13位数
D
8. (2020河北13题)已知光速为300 000千米/秒，光经过t秒(1≤t≤10)传播
的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为(　C　)
A. 5 B. 6
C. 5或6 D. 5或6或7
C
变式
8.1 (2025唐山模拟)已知光的速度大约为3×105千米/秒，经过m秒后所走
过的路程用科学记数法表示为a×107千米，则m的值可能是(　C　)
A. 8 B. 20
C. 60 D. 450
【解析】8×3×105＝24×105＝2.4×106，则A不符合题意，20×3×105
＝60×105＝6×106，则B不符合题意，60×3×105＝180×105＝
1.8×107，则C符合题意，450×3×105＝1 350×105＝1.35×108，则D不
符合题意.
C
平方根、算术平方根、立方根
命题点
4
9. 若x＋3是81的一个平方根，则x的值为(　C　)
A. 6 B. －12
C. 6或－12 D. ±9
【解析】∵x＋3是81的一个平方根，∴x＋3＝9或x＋3＝－9，解得x＝
6或x＝－12.故选C.
C
10. (2024沧州模拟)有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64
时，输出的y值是(　B　)
A. 2 B.
C. ±2 D.
B(共32张PPT)
第一章　数与式
第二节　实数的运算及大小比较
节前复习导图
实数的
大小比较
数轴比较法
类别比较法
差值比较法
平方比较法
作商比较法
实数的运算
有理数的运算
运算律
简便运算
常见的实数运算及法则
实数的
运算及
大小比较
教材知识逐点过
考点
1
实数的大小比较(2024.1)
数轴比 较法 当数轴上的正方向为从左到右时，数轴上右边的点表示的数总比左边的点
表示的数
类别比 较法 1. 正数＞0＞负数；
2. 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小
差值比 较法 a－b＞0 ；a－b＝0 ；a－b＜0
平方比 较法 a2＞b2 a＞b(a＞0，b＞0)(主要应用于无理数的估值或无理数的大小比
较)
大
a＞b
a＝b
a＜b
作商比 较法 已知a，b，常将 的结果化为最简形式来判断与1的大小
【温馨提示】1. 若一组数据中有正数、0和负数，判断最大的数直接在正数中比
较，判断最小的数直接在负数中比较； 2. 实数比较大小时，若涉及运算，则先计算再比较 考点
2
实数的运算(6年8考)★重点
1. 有理数的运算(6年8考)
加法 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取
的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
(3)一个数同0相加，仍得这个数
减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋
【易错警示】减法转化为加法时，减数一定要改变符号
绝对值大的
加数
(－b)
乘法 两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘；任何数同0相乘
仍得0
除法 除以一个数(不等于0)等于乘这个数的 ，即a÷b＝a· (b≠0)，0
除以任何不为0的数仍得0
正
负
倒数
乘方
【温馨提示】加法运算时项的个数作为结果的系数，乘法运算时项的个数作
为结果的指数.
2. 简便运算
核心 思想 凑整，一种是将算式中所有的小数或分数凑成整数；一种是将算式中个位不
为0的整数凑成整十、整百、整千等
方法 (1)凑十、凑百法：结合完全平方公式、平方差公式的简便运算，如99×101＝
(100－1)(100＋1)；
(2)小数或分数凑整法：利用交换律、结合律和分配律的简便计算，如 ×7＋
×7＝7×(＋ )＝7
3. 运算律(2025.18)
加法 交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
乘法 交换律：ab＝ba；
结合律：(ab)c＝a(bc)；
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
【温馨提示】(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)能运用分配律，a÷(b－c)不能运用
分配律 4. 常见的实数运算及法则(6年3考)
运算 法则
0次幂 a0＝ (a≠0)(注：an－n＝an÷an＝1)
负整数 指数幂 a－p＝ 　 　(a≠0，p为正整数)，特别地：a－1＝ 　 　(a≠0)
－1的奇 偶次幂 (－1)n＝
去绝对 值符号 先通过大小比较判断a－b的符号，利用绝对值的“非负性”去绝对值符号，即｜a－b｜＝
1
基础题对点练
1. [北师七上习题改编]如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则下
列大小排序正确的是(　A　)
A. d＞c＞0＞b＞a
B. d＜c＜0＜b＜a
C. d＞c＞0＞a＞b
D. d＞c＞b＞0＞a
A
2. [人教七上习题改编]在实数－1，0，－3， ， 中，最大的数
是 ，最小的数是 ，绝对值最大的数是 ，比－2小
的数是 .
　
－3　
－3　
－3　
3. [人教七上习题改编]计算：
(1)－2－3＝ ；
(2)－1＋4＝ ；
(3)5－(－3)＝ ；
(4)(－4)＋(－2)＝ ；
(5)(－2)×(－3)＝ ；
(6)18－10÷5＝ ；
(7)8÷(－2)＝ .
－5　
3　
8　
－6　
6　
16　
－4　
4. [冀教七上习题改编]下列计算正确的是(　D　)
A. －52＝25
B. (－5)3＝－15
C. 5－2＝－25
D. (－5)2＝25
D
5. [人教七上习题改编] 可以写成(　C　)
A. (－2)×8 B. 2×8
C. (－2)8 D. －28
C
6. [北师七上习题改编]用简便方法计算：
(1)3.25×1.8＋67.5×0.18；
解：(1)原式＝3.25×1.8＋6.75×1.8
＝(3.25＋6.75)×1.8
＝10×1.8
＝18；
(2)(＋ － )×72；
解：原式＝ ×72＋ ×72－ ×72
＝5×6＋8－3×9
＝30＋8－27
＝11；
(3)3212－3202－321；
解：原式＝3212－(321－1)2－321
＝3212－3212＋321－1
＝320；
(4)542－54×64＋322；
解：原式＝(54－32)2
＝222
＝484；
(5)1 0992－1 100×1 098.
解：原式＝(1 100－1)2－1 100×(1 100－2)
＝1 1002－2×1 100＋1－1 1002＋2×1 100
＝1.
7. [北师七上习题改编]计算：
(1)20＝ ；
(2)(－ )0＝ ；
(3)3－1＝ ；
(4)()－2＝ ；
(5)(－1)2 025＝ ；
(6)(－1)2 026＝ ；
(7)｜ －2｜＝ 　2－ 　；
1　
1　
　
16　
－1　
1　
2－ 　
(8)｜ －1｜＝ 　 －1　.
－1　
河北中考真题精选
实数的大小比较(2024.1)
命题点
1
1. (2024河北1题)如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天
日最低气温变化情况的是(　A　)
A
实数的运算(6年8考)
命题点
2
2. (2025河北1题)从－5 ℃上升了5 ℃后的温度，在温度计上显示正确的
是(　B　)
【解析】根据题意计算得出－5＋5＝0，找到显示为0 ℃的即可求解.
B
3. (2022河北3题)与－3 相等的数是(　A　)
A. －3－ B. 3－
C. －3＋ D. 3＋
A
4. (2021河北9题)若 取1.442，计算 －3 －98 的结果
是(　B　)
A. －100 B. －144.2
C. 144.2 D. －0.014 42
【解析】原式＝(1－3－98) ＝－100 ，∵ 取1.442，
∴原式≈－100×1.442＝－144.2.
B
5. (2020河北9题)若 ＝8×10×12，则k＝(　B　)
A. 12 B. 10
C. 8 D. 6
【解析】∵ ＝8×10×12，∴k＝ ＝
＝ ＝10.
B
6. 计算： ＝(　D　)
A. 81 B. 9m
C. D.
D
7. (2025河北18题)(1)一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：(－6)×(＋ － ).
解：(－6)×(＋ － )
＝－6× ＋6× －6× ……………第一步
＝－3＋4－5………………………...第二步
＝－4.…………………………...…..第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答
过程；
解：在第一步开始出错，正确的解答过程如下：
(－6)×(＋ － )
＝－6× －6× ＋6×
＝－3－4＋5
＝－2
(2)计算：｜2－ ｜－(－2)2×(－ ).
答题规范
得分要点
分别化简每一项，去绝对值时注意绝对值内式子的正负
计算结果要化为最简
根据运算法则从左到右依次进行计算
解：｜2－ ｜－(－2)2×(－ )
＝2－ －4×
＝1－ .
8. 计算：(－1)2 025－ ×[3－(－3)2].
解：原式＝－1－ ×(3－9)
＝－1－ ×(－6)
＝－1＋2
＝1.
9. 简便运算：
(1)982－97×99；
解：原式＝982－(98－1)×(98＋1)
＝982－982＋1
＝1
(2)932＋14×93＋49.
解：原式＝932＋2×93×7＋72
＝(93＋7)2
＝1002
＝10 000.
10. 计算：｜ －2｜＋(＋ )×(－48).
解：原式＝2－ ＋ ×(－48)＋ ×(－48)
＝2－ －8－12
＝－18－ .(共40张PPT)
第一章　数与式
第四节　代数式与整式
节前复习导图
列代数式
及代数式求值
列代数式
代数式求值
代数推理
整式的运算
整式的相关概念
整式的加减
幂的运算
整式的乘除
因式分解
目的
基本方法
代数式与整式
教材知识逐点过
考点
1
列代数式及代数式求值(6年5考)★重点
1. 列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表
示出来.
2. 代数式求值
(1)直接代入法：把已知字母的值直接代入；
(2)整体代入法(整体思想)：利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或降次等方
法对所求代数式、已知等式进行恒等变形，使所求代数式变形成含有已知整式或部分
项的形式.
3. 代数推理(2022课标调整为考查内容)：见P15专项1　代数推理.
考点
2
整式的运算(6年14考)★重点
1. 整式的相关概念(2024.21)
单项
式 用数或字母的 表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式.
(1)系数：单项式中的 因数；
(2)次数：单项式中，所有字母指数的
多项
式 几个单项式的 .
(1)项：多项式中的每个单项式；不含字母的项叫做常数项；
(2)次数：多项式中次数最高项的次数
整式 单项式与多项式统称为整式
积
数字
和
和
2. 整式的加减(实质：合并同类项)(6年6考)
同类项 所含字母相同，并且相同字母的 也相同
合并同类项法 则 把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变.如：
去括
号法则 a＋(b－c)＝a＋b－c，即括号前为“＋”时，去括号后，括号内各项
；a－(b－c)＝a b c，即括号前为“－”时，去括
号后，括号内每一项
指数
均
不变号
－
＋
均变号
3. 幂的运算(m，n为正整数)(6年6考)
(1)同底数幂相乘：底数不变，指数相加，如am·an＝ ；
(2)同底数幂相除： ，如am÷an＝ (a≠0且m＞
n)；
(3)幂的乘方： ，如(am)n＝ ；
(4)积的乘方： ，如(ab)n＝ .
am＋n
底数不变，指数相减　
am－n　
底数不变，指数相乘　
amn　
各因式乘方的积　
anbn　
4. 整式的乘除(6年6考)
单项式乘 单项式 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作
为积的一个因式
单项式乘 多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加
多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
乘法公式
[2022课标
调整为能利
用乘法公式
进行简单的
推理] 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝
几何验证：
a2－b2　
乘法公式
[2022课标
调整为能利
用乘法公式
进行简单的
推理] 完全平方公式：(a±b)2＝
几何验证：
a2±2ab＋b2　
考点
3
因式分解(6年4考)★重点
1. 目的：(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式；
(2)必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2. 基本方法
提公
因式法 (1)公式：ma＋mb＋mc＝
(2)公因式的确定：
①系数：取各项系数的最大公约数；
②字母：取各项相同的字母或因式；
③指数：取各项相同字母的最低次数
公式法 (1)a2－b2 ；
(2)a2±2ab＋b2
m(a＋b＋c)　
(a＋b)(a－b)　
(a±b)2　
【拓展知识】十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab (x＋a)(x＋b).如：x2＋3x
＋2＝(x＋1)(x＋2).
【易错警示】因式分解与乘法运算互为逆变形.因式分解时结果为积的形式，乘法运
算时结果一般为和差形式(有时为单项式).
基础题对点练
1. [北师七上习题改编]
(1)一盒铅笔有12支，n盒铅笔共有 支；
(2)买一瓶洗发水需要30元，买一瓶沐浴露需要25元，则购买a瓶洗发水
和b瓶沐浴露共需要 元；
(3)一个两位数，个位上数字为5，设十位上数字为x，则这个两位数表示
为 ；
(4)长方形绿地的长，宽分别是a m，b m，若长增加了x m，则增加后的
绿地面积是 m2.
12n　
(30a＋25b)　
10x＋5　
(a＋x)b　
2. [北师七下习题改编]代数式3n可以表示成 ；代数式n3可以表
示成 .(填序号)
①3个n相乘；
②n个3相乘；
③3个n相加；
④n个3相加.
③④　
①　
3. [人教七上习题改编]若x＝2，则－2x＋1的值是 .
　
4. [冀教七上做一做改编]若x2＋2x＝1，则代数式2x2＋4x－3的值为
.
　
5. [人教七上练习改编]若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5nm＋10＝ .
－3　
－1
1　
6. [北师七下习题改编]计算：
(1)4a＋2a－3a＝ ；
(2)x2·(－x)＝ ；
(3)2a3b2÷(ab2)＝ ；
(4)(x2y)3＝ ；
(5)b－(3a＋b)＝ .
3a　
－x3　
2a2　
x6y3　
－3a　
7. [人教八上习题改编]计算：
(1)6x2·3xy＝ ；
(2)2x2y·(－xy2)3＝ ；
(3)2b·(4a－b2)＝ ；
(4)(4y－1)(5－y)＝ .
18x3y　
－2x5y7　
8ab－2b3　
－4y2＋21y－5　
8. [冀教七上习题改编]因式分解：
(1)2x2－xy＝ ；
(2)x2－6x＋9＝ ；
(3)2x3－8x＝ .
x(2x－y)　
(x－3)2　
2x(x＋2)(x－2)　
河北中考真题精选
列代数式及其求值(6年5考)
命题点
1
1. (2023河北1题)代数式－7x的意义可以是(　C　)
A. －7与x的和 B. －7与x的差
C. －7与x的积 D. －7与x的商
2. (2022河北9题)若x和y互为倒数，则(x＋ )(2y－ )的值是(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
C
B
3. (2023河北18题)根据表中的数据，写出a的值为 ，b的值为
.
x 结果 代数式 2 n
3x＋1 7 b
a 1
　
－2
4. (2023河北21题)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如
图①所示(a＞1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，
如图②和图③，其面积分别为S1，S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1，S2；当a＝2时，求S1＋S2的值；
解：(1)S1＝a2＋a×1×3＋12×2
＝a2＋3a＋2，
S2＝a×1×5＋12＝5a＋1，
∴S1＋S2＝a2＋3a＋2＋5a＋1
＝a2＋8a＋3，
将a＝2代入，得S1＋S2＝22＋8×2＋3＝23；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由.
解：(2)S1＞S2.理由如下：
S1－S2＝(a2＋3a＋2)－(5a＋1)
＝a2－2a＋1
＝(a－1)2，
∵a＞1，
∴(a－1)2＞0，
∴S1＞S2.
幂的运算(6年6考)
命题点
2
5. (2025保定模拟)若k为正整数，则(k3)2表示的是(　C　)
A. 2个k3相加 B. 3个k2相加
C. 2个k3相乘 D. 5个k相乘
6. (2022河北1题)计算a3÷a得a？，则“？”是(　C　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
C
7. (2024河北8题)若a，b是正整数，且满足
，则a与b的关系正确的是(　A　)
A. a＋3＝8b B. 3a＝8b
C. a＋3＝b8 D. 3a＝8＋b
A
整式的运算(6年11考)
命题点
3
8. (2021河北2题)不一定相等的一组是(　D　)
A. a＋b与b＋a
B. 3a与a＋a＋a
C. a3与a·a·a
D. 3(a＋b)与3a＋b
D
9. (2024河北2题)下列运算正确的是(　C　)
A. a7－a3＝a4
B. 3a2·2a2＝6a2
C. (－2a)3＝－8a3
D. a4÷a4＝a
【解析】a7与－a3不属于同类项，不能合并；3a2·2a2＝6a4；(－2a)3＝
－8a3；a4÷a4＝1，故选C.
C
10. (2023河北6题)若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能(　B　)
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
【解析】(2k＋3)2－4k2＝(2k＋3＋2k)(2k＋3－2k)＝3(4k＋3)，
∵k为任意整数，∴原式的值总能被3整除.
B
11. (2025河北13题)计算：2a2＋4a2＝ .
6a2　
12. 计算：(1)(a＋b)2－b(2a＋b)；
答题规范
得分要点
完全平方公式需使用正确
合并同类项，将式子化到最简
解：原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2
＝a2
(2)2x·xy3－xy·xy2；
解：原式＝2x2y3－x2y3
＝x2y3
(3)(x＋2y)(x－2y)－y(x－4y).
解：原式＝x2－4y2－xy＋4y2
＝x2－xy.
因式分解(6年4考，其中2020年单独考查)
命题点
4
13. “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新
的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了.
例如：因式分解(a－2b)2＋2(a－2b)＋1.
解：将a－2b看成一个整体，令a－2b＝x，
则原式＝x2＋2x＋1＝ 　　　　，
将x还原得，原式＝(a－2b＋1)2
请根据上述材料回答下列问题：
(1)请补全横线上的步骤： ；
(x＋1)2　
(2)因式分解：(x2＋2x＋3)(x2＋2x－1)＋4.
解：令x2＋2x＝m，
则原式＝(m＋3)(m－1)＋4＝m2＋2m－3＋4＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2，
将m还原，得原式＝(x2＋2x＋1)2＝(x＋1)4.
乘法公式的几何意义(2021.17)
命题点
5
14. (2021河北17题)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).
(1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
【解析】甲纸片、乙纸片、丙纸片的面积分别为a2，b2，ab.(1)甲、乙纸
片各1块，其面积和为a2＋b2 ；
a2＋b2　
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取
乙纸片4块，还需取丙纸片 块.
【解析】甲纸片、乙纸片、丙纸片的面积分别为a2，b2，ab.
(2)∵(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2，∴甲纸片1块，乙纸片4块，丙纸片4块，
可以拼成一个边长为(a＋2b)的正方形.
4　
15. (2025邯郸模拟改编)如图，有两个边长分别为a，b(a＞b＞0)的正方
形纸板A，B，纸板A与纸板B的面积之和为34.现将纸板B按图甲的方
式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4.
(1)ab＝ ；
【解析】由题意得，a2＋b2＝34，(a－b)2＝4，∴－2ab＝(a－b)2－
(a2＋b2)＝4－34＝－30，∴ab＝15.
15　
(2)若将纸板A，B按图乙的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影
部分的面积为 .
【解析】由题意得，新正方形的边长为(a＋b)，∴新正方形的面积为
(a＋b)2，∵a2＋b2＝34，ab＝15，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝34＋30＝64，∴S阴影＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝64－34＝30.
30　
规律探索(2024.16)
命题点
6
16. (2025保定模拟改编)如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如
下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左
移动4个单位长度到达点P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度到达点
P3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，甲、乙、丙三位
同学给出以下结论：
甲：若点P1，P2表示的数互为相反数，则点P表示0；
乙：若点P表示－1，点Pn到原点的距离为15，则n＝15；
丙：当n为奇数时，｜Pn－Pn－1｜＝2n.
对于三人的观点，以下说法正确的是(　C　)
A. 甲、乙、丙都对
B. 甲、乙对，丙不对
C. 甲、丙对，乙不对
D. 甲对，乙、丙不对
C
【解析】甲：设点P表示x，则P1表示的数为x＋2，P2表示的数为x－
2，P1，P2互为相反数，∴x＋2＋x－2＝0，解得x＝0，∴点P表示0，
故甲说法正确；乙：∵点P表示－1，∴P1表示的数为1，P2表示的数为
－3，P3表示的数为3，P4表示的数为－5，P5表示的数为5，…，
∴当n为奇数时，Pn＝n；当n为偶数时，Pn＝－(n＋1)，
∵点Pn到原点的距离为15，∴n＝15或n＝14，故乙说法错误；
丙：设点P表示x，∴P1表示的数为x＋2，P2表示的数为x＋2－4＝x－
2，P3表示的数为x－2＋6＝x＋4，P4表示的数为x＋4－8＝x－4，P5表
示的数为x－4＋10＝x＋6，…，∴当n为奇数时，Pn＝x＋n＋1；当n
为偶数时，Pn＝x－n，∴当n为奇数时，｜Pn－Pn－1｜＝｜x＋n＋1
－(x－n＋1)｜＝2n，故丙说法正确.综上可知：甲、丙对，乙不对，故
选C.(共19张PPT)
第一章　数与式
第五节　分　式
节前复习导图
分式运算
分式的加减运算
分式的乘除运算
分式的
相关概念
及性质
相关概念
基本性质
分 式
教材知识逐点过
考点
1
分式的相关概念及性质
相关 概念 1. 概念：形如 (B≠0)的代数式叫做分式，其中A，B都是整式，且B含有
字母.A叫做分式的分子，B叫做分式的分母；
2. 最简分式： ；
3. 分式有意义的条件： ；
4. 分式值为零的条件：
基本 性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，
即 ＝ 通分(C≠0)， ＝ 约分(C≠0)
分子和分母没有公因式的分式
分母不为0
分子等于0且分母不等于0
考点
2
分式运算(6年6考)★重点
1. 分式的加减运算
同分母 同分母的两个分式相加(减)，分母 ，把分子相加(减)，即 ± ＝ (C≠0)
异分母 异分母的两个分式相加(减)，先通分，化为同分母分式，再相加(减)，即
± ＝ ± ＝ (C≠0，D≠0)
不变
【温馨提示】通分：
例　 ＋ (关键是找最简公分母)
【易错警示】
(1)可因式分解的要先因式分解，再约分，化为最简分式或整式；
(2)当整式与分式进行加减运算时，要将整式看作分母为1的分式，然后进行通分
2. 分式的乘除运算
乘法 法则 分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
· ＝
除法 法则 分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷
＝ · ＝
【温馨提示】约分：
例　 · (关键是找公因式)
基础题对点练
1. [人教八上概念改编]下列分式中，是最简分式的是(　B　)
A. B.
C. D.
B
2. [北师八下习题改编]已知分式 .
(1)要使该分式有意义，则x的取值范围是 ；
(2)若使该分式的值为0，则x的值为 .
3. [冀教八上概念改编]下列分式变形一定成立的是(　D　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
x≠－1　
3　
D
4. [冀教八上习题改编]化简：
(1) ＝ 　 　；
(2) · ＝ ；
(3) · ＝ 　－ 　；
(4) ÷ ＝ .
　
3x　
－ 　
2　
5. [冀教八上练习改编]计算：
(1) ＋ ＝ ；
(2) － ＝ 　 　；
(3) －1＝ 　 　.
3　
　
　
河北中考真题精选
分式的化简及求值(6年6考)
命题点
1. (2023河北3题)化简x3()2的结果是(　A　)
A. xy6 B. xy5
C. x2y5 D. x2y6
A
2. (2025河北8题)若a＝－3，则 ＝(　B　)
A. －3 B. －1
C. 3 D. 6
B
3. (2024河北13题)已知A为整式，若计算 － 的结果为 ，
则A＝(　A　)
A. x B. y
C. x＋y D. x－y
A
4. (2019河北13题)如图，若x为正整数，则表示 － 的值的点落
在(　B　)
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
B
【解析】 － ＝ － ＝1－ ，∵x为正整数，即
x≥1，∴0＜ ≤ ，∴－ ≤－ ＜0，∴ ≤1－ ＜1，即表示原
式的值的点落在段②.
5. (2021河北15题)由(－ )值的正负可以比较A＝ 与 的大小，下列
正确的是(　C　)
A. 当c＝－2时，A＝
B. 当c＝0时，A≠
C. 当c＜－2时，A＞
D. 当c＜0时，A＜
C
【解析】当c＝－2时，2＋c＝0，此时 没有意义，故选项A不正确；
当c＝0时， ＝ ＝ ，故选项B不正确； － ＝ － ＝
＝ ＝ ，当c＜－2时，2＋c＜0，此时 的
分子和分母的值都是负数，即 ＞0，∴ ＞ ，故选项C正确；当c
＜0时，2＋c可能是正数、负数或0，即无法确定 值的正负，∴此时
无法比较 与 的大小，故选项D不正确.
6. 化简： ÷ .
答题规范
得分要点
分式化简最终结果要化为最简
除以一个数或式子等于乘它的倒数
解：原式＝ ·
＝x.
7. 化简求值：(＋1)÷ ，其中a＝1.
解：原式＝(＋ )÷
＝ ·
＝a＋2，
当a＝1时，原式＝1＋2＝3.(共20张PPT)
第一章　数与式
第三节　二次根式
二次根式
的估值
节前复习导图
二次根式
二次根式的
相关概念
及性质
相关概念
性质
二次根式
的运算
加减法
乘法
除法
分母有理化
教材知识逐点过
考点
1
二次根式的相关概念及性质
1. 相关概念：
(1)二次根式：形如 (a≥0)的式子；
(2)有意义的条件：被开方数 ；
(3)最简二次根式必须同时满足的两个条件：
①被开方数不含 (分母中不含根号)；
②被开方数不含能 的因数或因式.
≥0
分母
开得尽方
2. 性质：
(1)双重非负性： ≥0且a≥0；
(2)()2＝a(a )；
(3) ＝｜a｜＝ ；
(4) ＝ · (a≥0，b≥0)；
(5) ＝ (a≥0，b＞0).
≥0
考点
2
二次根式的运算(6年5考)★重点
1. 加减法：一般地，二次根式加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被
开方数相同的二次根式进行合并.
2. 乘法： · ＝ 　 　(a≥0，b≥0).
3. 除法： ＝ 　 　(a≥0，b＞0).
.
【易错警示】①切记 ＋ ≠ (a＞0，b＞0)；
②二次根式运算的最终结果应化为最简二次根式.
4. 分母有理化：
考点
3
二次根式的估值(2024.18)
1. 估计二次根式 (a＞0)值在哪两个连续的整数之间：
(1)先对二次根式平方；
(2)找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在开方后所得的这两个整数之间.
2. 确定 ±b在哪两个连续的整数之间时，只需在步骤(4)的基础
上给不等号两边加减b.
3. 确定n 的值在哪两个连续的整数之间时，则先将n 转化为 ，再按步骤
(1)至(4)求解.
基础题对点练
1. [人教八下例题改编]若二次根式 有意义，则x的取值范围
是(　C　)
A. x＞2 B. x＜2
C. x≥2 D. x≤2
C
2. [北师八上习题改编]下列各式中是最简二次根式的是(　D　)
A. B.
C. D.
D
3. [北师八上习题改编]计算：
(1)(－ )2＝ ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ 　 　.
10　
4　
　
4. [人教八下习题改编]计算：
(1) ＋ ＝ ；
(2) － ＝ 　2 　；
(3) ÷ ＝ ；
(4) × ＝ ；
(5) ＝ 　2＋ 　.
6　
2 　
2　
6　
2＋ 　
5. [人教七下习题改编]估计 的值在(　C　)
A. 3和4之间　　　B. 4和5之间
C. 5和6之间　　　D. 6和7之间
C
6. [冀教八上习题改编]设a为正整数，且a＜ ＜a＋1，则a的值
为(　A　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
A
河北中考真题精选
二次根式的运算(6年5考)
命题点
1
1. (2025河北3题)计算：(＋ )(－ )＝(　B　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
2. (2023河北7题)若a＝ ，b＝ ，则 ＝(　A　)
A. 2 B. 4
C. D.
B
A
3. (2021河北4题)与 结果相同的是(　A　)
A. 3－2＋1 B. 3＋2－1
C. 3＋2＋1 D. 3－2－1
4. (2022河北4题)下列正确的是(　B　)
A. ＝2＋3
B. ＝2×3
C. ＝32
D. ＝0.7
A
B
5. (2025邯郸模拟)若 ＋ ＝ ，则整数n的值为(　B　)
A. 16 B. 8
C. 6 D. 4
B
二次根式的估值(2024.18)
命题点
2
6. 估计2 ＋ × 的值应在(　C　)
A. 5到6之间
B. 6到7之间
C. 7到8之间
D. 8到9之间
C
7. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方
除之，即弦.”即c＝ (a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为4，
“股”为6，则“弦”最接近的整数是(　C　)
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
【解析】由题意得，“弦”为 ＝ ，∵49＜52＜64，64－52
＝12，52－49＝3，∴52更接近49，∴ 最接近的整数是7.
C
8. 如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一
个正方形，则正方形边长最接近的整数是(　C　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
C
【解析】∵拼成的正方形的面积为8×4＝32，∴正方形的边长为 ，
∵ ＜ ＜ ，∴5＜ ＜6，
∵｜25－32｜＞｜32－36｜，∴ 更接近整数6，故选C.
9. (2024河北18题)已知a，b，n均为正整数.
(1)若n＜ ＜n＋1，则n＝ ；
【解析】(1)∵ ＜ ＜ ，∴3＜ ＜4，
∵n为正整数，∴n＝3；
3　
(2)若n－1＜ ＜n，n＜ ＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的
个数少 个.
【解析】(2)∵n－1＜ ＜n，∴(n－1)2＜a＜n2，∴a的个数为n2－
(n－1)2－1＝n2－n2＋2n－1－1＝(2n－2)个，∵n＜ ＜n＋1，
∴n2＜b＜(n＋1)2，∴b的个数为(n＋1)2－n2－1＝n2＋2n＋1－n2－1＝
2n(个)，∵2n－(2n－2)＝2，∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
2　

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