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(共19张PPT)
第三章　函　数
第八节　二次函数性质综合应用
教材变式过重点
二次函数性质综合应用
教材原题
例　北师九下P53第2题
二次函数y＝x2＋bx－1(b为常数)的图象与x轴相交吗？如果相交，有几
个交点？
解：∵b2－4ac＝b2＋4＞0，
∴二次函数y＝x2＋bx－1(b为常数)的图象与x轴相交，且有两个交点.
拓展设问
(1)点P(－3，m)和Q(1，m)在该函数图象上.求b，m的值；
解：∵P，Q是二次函数y＝x2＋bx－1图象上的两点，且两点纵坐标都
为m，
∴点P，Q关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴是直线x＝ ＝－1，
∴－ ＝－1，解得b＝2，∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－1，
当x＝1时，m＝12＋2×1－1＝2；
(2)已知直线y＝ b在抛物线y＝x2＋bx－1顶点的上方，求抛物线顶点到
直线y＝ b距离的最小值；
解：∵y＝x2＋bx－1＝(x＋ )2－ －1，
∴抛物线顶点坐标为(－ ，－ －1)，
∵直线y＝ b在抛物线顶点的上方，
∴抛物线顶点到直线y＝ b的距离为 b－(－ －1)＝ ＋ b＋1＝ (b
＋1)2＋ ，
∴当b＝－1时，抛物线顶点到直线y＝ b的距离最小，最小值为
(3)平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横
坐标之和大于1，求b的取值范围；
解：设平行于x轴的直线为y＝m，
∵直线y＝m与该二次函数的图象交于点A，B，∴ ，
整理得，x2＋bx－1－m＝0，
若x1，x2是方程x2＋bx－1－m＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交
点A，B的横坐标，
∴x1＋x2＝－b，
由题意得，－b＞1，解得b＜－1，
∴b的取值范围是b＜－1
(4)已知点M(2，2)，设抛物线y＝x2＋bx－1与y轴的交点为N，连接
MN，当抛物线y＝x2＋bx－1与线段MN只有一个交点(不包含M，N两
点)时，求b的取值范围.
解：把x＝0代入y＝x2＋bx－1得y＝－1，
∴点N坐标为(0，－1)，
设MN所在直线的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
将点M(2，2)，N(0，－1)代入，
得 ，解得 ，
∴y＝ x－1，
令x2＋bx－1＝ x－1，
解得x1＝0，x2＝ －b，
∵抛物线与线段MN只有一个交点，
∴0＜ －b＜2，
解得－ ＜b＜ ，故b的取值范围为－ ＜b＜ .
河北中考真题精选
二次函数性质综合应用(6年4考)
命题点
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－mx＋2m－2与直线
y＝mx＋2m(m≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2).
(1)若y1＝0，求抛物线的顶点坐标；
解：(1)当y1＝0时，0＝mx＋2m＝m(x＋2)，
∵m≠0，∴x＝－2，
∴A(－2，0)，
将其代入y＝x2－mx＋2m－2，
得0＝(－2)2＋2m＋2m－2，
解得m＝－ ，
∴y＝x2＋ x－3＝ － ，
∴该抛物线的顶点坐标为(－ ，－ )；
抛物线y＝x2－mx＋2m－2与直线y＝mx＋2m(m≠0)相交于A
(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2).
(2)已知C(a，b)为抛物线y＝x2－mx＋2m－2上一点，过C点作x轴的
平行线交直线y＝mx＋2m于点D.
①若a＝2，且D为线段AB的中点，求m的值；
解：①把C(a，b)代入y＝x2－mx＋2m－2，得b＝a2－am＋2m－2，
当a＝2时，得b＝2，
∴C(2，2)，
将yD＝2，代入y＝mx＋2m，解得x＝ ，
∴点D的坐标为(，2)，
∵D为AB的中点，
∴x1＋x2＝2xD，∴x1＋x2＝ ，
由x2－mx＋2m－2＝mx＋2m，整理得x2－2mx－2＝0，
∴x1＋x2＝2m，即2m＝ ，
解得m1＝ －1，m2＝－ －1，
∴m的值为 －1或－ －1；
抛物线y＝x2－mx＋2m－2与直线y＝mx＋2m(m≠0)相交于A(x1，
y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2).
(2)已知C(a，b)为抛物线y＝x2－mx＋2m－2上一点，过C点作x轴的
平行线交直线y＝mx＋2m于点D.
②若y1＝x2，当x1＜a＜x2时，求CD长的最大值.
解：②∵y＝x2－mx＋2m－2与y＝mx＋2m(m≠0)相交于A，B两点，
∴x2－mx＋2m－2＝mx＋2m，整理得x2－2mx－2＝0，
∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝－2，
∴x1≠0，x2≠0，x2＝2m－x1，
∵y1＝x2，y1＝x1m＋2m，
∴x2＝x1m＋2m，
∴2m－x1＝x1m＋2m，
∴x1(m＋1)＝0，
∴m＋1＝0，∴m＝－1，
∴抛物线：y＝x2＋x－4，直线y＝－x－2，
∴b＝a2＋a－4，
又∵CD与x轴平行，
∴yD＝a2＋a－4，
又∵yD在直线y＝－x－2上，
∴xD＝－a2－a＋2.
∵x1＜a＜x2，
∴CD＝xD－xC＝(－a2－a＋2)－a＝－a2－2a＋2＝－(a＋1)2＋3，
即CD长的最大值为3.
2. (2025石家庄模拟)如图①和图②，抛物线L1：y＝ (x－6)2－16与x轴
交于A，B两点，抛物线L2：y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点C(－10，0)
和点M(m，0)，其中m＞－10.抛物线L1，L2与y轴分别交于点P，N.
(1)求A，B两点的坐标；
解：(1)∵抛物线L1的解析式为y＝ (x－6)2－16，令y＝0，
∴0＝ (x－6)2－16，
解得x1＝－2，x2＝14，
∴A点坐标是(－2，0)，B点坐标是(14，0)；
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(2)如图①，当点P，N重合时，求抛物线L2的解析式及其顶点坐标；
图①
解：(2)令x＝0，
∴y＝ (0－6)2－16＝－7，∴点P的坐标是(0，－7).
∵抛物线L2：y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点
C(－10，0)和点M(m，0)，
∴设抛物线L2的解析式为y＝ (x＋10)(x－m)，
2. (2025石家庄模拟)如图①和图②，抛物线L1：y＝ (x－6)2－16与x轴
交于A，B两点，抛物线L2：y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点C(－10，0)
和点M(m，0)，其中m＞－10.抛物线L1，L2与y轴分别交于点P，N.
当点P，N重合时，将点P(0，－7)代入y＝ (x＋10)(x－m)，
得－7＝ (0＋10)(0－m)，解得m＝ ，
∴抛物线L2的解析式为y＝ (x＋10)(x－ )，即y＝ x2＋ x－7，
当x＝ ＝－ 时，y＝－ ，
∴抛物线L2的顶点坐标是(－ ，－ )；
图①
(3)如图②，连接MN，若抛物线L1的顶点落在由线段MN及抛物线L2围
成的封闭图形内部(不含边界)，求m的取值范围.
图②
解：(3)∵抛物线L1的解析式为y＝ (x－6)2－16，
∴其顶点坐标是(6，－16)，
当点(6，－16)在抛物线L2上时，－16＝ (6＋10)(6－m)，
解得m＝10，
令x＝0，∴y＝ (0＋10)(0－m)＝－ m，∴N(0，－ m)，
2. (2025石家庄模拟)如图①和图②，抛物线L1：y＝ (x－6)2－16与x轴
交于A，B两点，抛物线L2：y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点C(－10，0)
和点M(m，0)，其中m＞－10.抛物线L1，L2与y轴分别交于点P，N.
又∵M(m，0)，
∴直线MN的解析式为y＝ x－ m，
当点(6，－16)在线段MN上时，－16＝ ×6－ m，
解得m＝ ，
∴m的取值范围是10＜m＜ .
图②(共25张PPT)
第三章　函　数
第九节　二次函数的实际应用
教材变式过重点
二次函数的实际应用
教材原题
例1　冀教九下P48第1题
如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系
为y＝－ x2＋ x＋ .
(1)求铅球被推出的水平距离；
解：(1)当y＝0时，－ x2＋ x＋ ＝0，
解得x1＝10，x2＝－2(不符合题意，舍去)，
答：铅球被推出的水平距离为10 m；
如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－ x2＋ x＋ .
(2)通过计算判断铅球行进高度能否达到4 m.
解：(2)铅球行进高度不能达到4 m，计算如下：
∵y＝－ x2＋ x＋ ＝－ (x－4)2＋3，
当x＝4时，y有最大值3，
∴铅球行进高度不能达到4 m，最高只能达到3 m.
变式题
1. 改为一次函数与二次函数结合
下列是王老师对羽毛球比赛某次击球线路的分析：如图，在平面直角坐
标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3 m，击球点P
在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足
一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与
水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2(a≠0).
(1)求击球点P的坐标和a的值；
解：(1)对于一次函数y＝－0.4x＋2.8，令x＝0，则y＝2.8，
∴P(0，2.8)，
∴将点P的坐标代入二次函数y＝a(x－1)2＋3.2中，
得a(0－1)2＋3.2＝2.8，
∴a＝－0.4；
若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数
关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离
x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2(a≠0).
(2)王老师分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，且对手在点C处
接球更容易出现失误(点C在x轴上，且CA＝2 m)，要使羽毛球的落地点
到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
解：(2)对于一次函数y＝－0.4x＋2.8，令y＝0，则x＝7，
对于二次函数y＝－0.4(x－1)2＋3.2，
令y＝0(x＞0)，则x＝2 ＋1，
∵OA＝3 m，CA＝2 m，∴OC＝5 m，
∵7－5＞5－(2 ＋1)，∴应选择吊球.
教材原题
例2　人教九上P57第7题
如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
18 m.这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形垂直于墙的一边长为x m，菜园的面积为y m2，则平行于墙的一边长为(30－2x)m，
∵墙长为18 m，∴30－2x≤18，
解得x≥6，
∵30－2x＞0，∴x＜15，∴6≤x＜15，
根据题意，得y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－ )2＋ ，
∵－2＜0，6≤x＜15，
∴当x＝ 时，y取得最大值为 ，
∴30－2x＝30－2× ＝15，
∴矩形垂直于墙的一边长为 m，平行于墙的一边长为15 m时，菜园的
面积最大，即当矩形的长为15 m，宽为 m时，菜园的面积最大，最大
面积是 m2.
变式题
2. 改为根据自变量的取值范围求面积最大值
某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，再用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，如果DA，DC所在两面墙体均足够长，设AB＝x米，花园的面积为y平方米.
(1)求矩形花园面积的最大值及此时AB的长；
解：(1)依题意得y＝x(30－x)＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵－1＜0，∴当x＝15时，y有最大值225，
∴矩形花园面积的最大值为225平方米，此时AB的长为15米；
用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，如果DA，DC所在两面墙体均足够长，设AB＝x米，花园的面积为y平方米.
(2)若位于矩形花园中的点P处有一棵古树，且点P到墙体DA，DC的距
离分别是8米、16米，现要求古树P与篱笆的距离不小于2米，(1)中矩形
的花园面积的最大值会改变吗？如果不变，请说明理由；如果改变，求
出最大值.
解：(2)会改变，
由题意，得AB，BC边的篱笆与点P的距离均要大于等于2米，
∴ ，解得10≤x≤12，
由(1)得y＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225，
∴当10≤x≤12时，y的值随x的值增大而增大，
∴当x＝12时，y取得最大值，最大值为y＝－(12－15)2＋225＝216，
∴(1)中矩形花园面积的最大值会改变，最大值为216平方米.
教材原题
例3 　人教九上P51第2题
某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出
(100－x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设利润为w元，
根据题意，得w＝(x－30)(100－x)＝－(x－65)2＋1 225，
∵－1＜0，x＜100，
∴当x＝65时，w有最大值，
答：以每件65元售出，才能使利润最大.
变式题
3. 文字信息改为图象信息
某商家以每件30元的价格购进一批商品，并规定每件商品的售价不得少
于35元，月销售量y(件)与该商品每件的售价x(元)之间的关系如图所示.
(1)若每月销售这种商品100件，求每件商品的售价为多少元？
解：(1)设月销售量y(件)与该商品每件的售价x(元)之间的函数关系式为y
＝kx＋b(k≠0)，
将(60，80)，(70，60)代入，
得 解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋200，
令y＝100，得100＝－2x＋200，
解得x＝50，
答：每件商品的售价为50元；
某商家以每件30元的价格购进一批商品，并规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量y(件)与该商品每件的售价x(元)之间的关系如图所示.
(2)某月销售量不低于90件，小琪说：“当月销售利润最大时，月销售量
也是最大.”小佳说：“当月销售利润不低于1 650元时，每件商品的售价
x的取值范围为45≤x≤85.”请你选择其中一个说法，通过计算说明该说
法是否正确？
解：(2)选择小琪的说法：
设月销售利润为w元，
根据题意，得w＝(x－30)(－2x＋200)＝－2(x－65)2＋2 450，
∵－2＜0，
∴当x＜65时，w随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量不低于90件，
∴易得35≤x≤55，
∴当月销售利润最大时，月销售量最小，
∴小琪的说法错误；
或选择小佳的说法：
设月销售利润为w元，
根据题意，得w＝(x－30)(－2x＋200)＝－2(x－65)2＋2 450，
令w≥1 650，解得45≤x≤85，
∵规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量不低于90件，
∴易得45≤x≤55，
∴当月销售利润不低于1 650元时，每件商品的售价
x的取值范围为45≤x≤55，
∴小佳的说法错误.(任选其一即可)
河北中考真题精选
二次函数的实际应用(6年2考)
命题点
1. (2020河北23题)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重
量，实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板
承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
(1)求W与x的函数关系式；
解：(1)设W与x的函数关系式为W＝kx2(k≠0)，
∵当x＝3时，W＝3，∴3＝k×32，解得k＝ ，
∴W与x的函数关系式为W＝ x2；
实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚
不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄.
①求Q与x的函数关系式；
解：(2)①若薄板的厚度为x 厘米，则厚板的厚度为(6－x)厘米，
∴W薄＝ x2，W厚＝ (6－x)2，
∴Q＝ (6－x)2－ x2＝12－4x，
∴Q与x的函数关系式为Q＝12－4x；
实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄.
②x为何值时，Q是W薄的3倍？
[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
解：②若Q＝3W薄，则有12－4x＝x2，即x2＋4x－12＝0，
解得x1＝2，x2＝－6(不符合题意，舍去)，
∴当x＝2时，Q是W薄的3倍.
2. (2023河北23题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道
数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6，1)
处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部
分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛
物线C2：y＝－ x2＋ x＋c＋1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2的顶点坐标为(3，2)，
∴C1的最高点坐标为(3，2)，
将A(6，1)代入抛物线y＝a(x－3)2＋2中，
得1＝a(6－3)2＋2，
解得a＝－ ，
∴抛物线C1：y＝－ (x－3)2＋2.
将B(0，c)代入抛物线y＝－ (x－3)2＋2中，
得c＝－ ×(0－3)2＋2＝1；
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6，1)
处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部
分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛
物线C2：y＝－ x2＋ x＋c＋1的一部分.
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围
内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
解：(2)将c＝1代入抛物线y＝－ x2＋ x＋c＋1中，
得y＝－ x2＋ x＋2.
根据题意，可知嘉嘉恰好在(5，1)和(7，1)两个点之间能接到沙包.
将(5，1)代入抛物线y＝－ x2＋ x＋2中，
得1＝－ ×52＋ ×5＋2，
解得n＝ ；
将(7，1)代入抛物线y＝－ x2＋ x＋2中，
得1＝－ ×72＋ ×7＋2，
解得n＝ ，
∴ ≤n≤ ，
∴符合条件的n的整数值为4和5.(共28张PPT)
第三章　函　数
第六节　二次函数的图象与性质
节前复习导图
二次函数的
图象与性质
二次函数
的概念及三种表达方式
概念
解析式的三种形式
图象画法
二次函数
的图象
与性质
根据二次函数
解析式判断
函数性质
二次函数
图象与系数a，b，
c的关系
二次函数与
一元二次方程
的关系
教材知识逐点过
考点
1
二次函数的概念及三种表达形式
概念 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数
解析式 的三种 形式 1. 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
2. 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为二次函数图象的顶点坐标；
3. 交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为二次函数图象与x轴交点的横坐标
图象画法 1. 列表； 2. 描点； 3. 连线
考点
2
二次函数的图象与性质(6年7考)★重点
1. 根据二次函数解析式判断函数性质
解析式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0) 开口
方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象 (草图)
对称
轴 1.直接运用公式x＝ 求解；
2.配方法：将一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x＝h
注：还可利用x＝ (其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求
解
顶点 坐标 1.直接运用顶点坐标公式( 　－_x001B_ 　， 　_x001A_ _x001B_ 　)求解；
2.运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h，
k)；
3.将对称轴直线x＝x0代入函数解析式求得对应y0
－
－
增减
性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的
增大而 ；在对称轴右侧，
y随x的增大而 a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大
而 ；在对称轴右侧，y随x的
增大而
最值 a＞0时，y有最小值； 当x＝－ 时，y的最小值
为 a＜0时，y有最大值；
当x＝－ 时，y的最大值
为
减小
增大
增大
减小
2. 二次函数图象与系数a，b，c的关系
a 决定开 口方向 a＞0 开口 ；
a＜0 开口
a，b 决定对称 轴的位置 b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴的
a，b异号 对称轴在y轴的
简记：左同右异
向上
向下　
左侧　
右侧　
c 决定与y
轴的交点
位置 c＝0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与y轴交于 半轴
c＜0 抛物线与y轴交于 半轴
b2－
4ac 决定与x
轴的交点
个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有 交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
正　
负　
两个　
【知识拓展】二次函数图象与特殊代数式之间的关系：
(1)如遇见2a＋b，2a－b类的式子，可利用对称轴与±1比较进行判断；
(2)如遇见a＋b＋c，a－b＋c类的式子，可利用x＝±1时求出y值的大小关系进行
判断；
(3)如遇见只有a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴的大小关系与x取某个特殊值
时y的式子联立进行判断，如2a＋c，b＋c等；
(4)如遇见含有系数平方形式的式子，如(a＋c)2＜b2，先因式分解，再利用x取某两个
特殊值时y的式子联立进行判断，如(a＋c)2＜b2，转化为(a＋c－b)(a＋c＋b)＜0的
形式.
考点
3
二次函数与一元二次方程的关系
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐
标(以a＞0为例)
当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数
根：x1＝m，x2＝n 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有
个交点，横坐标分别是
两　
m，n　
当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根：
x1＝x2＝z 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，横坐标
为z
当b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根 抛物
线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 交点
【温馨提示】若遇形如求方程ax2＋bx＋c＝t(a≠0)的解可以利用数形结合方法转
化为求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝t的交点问题 没有　
没有　
基础题对点练
1. [人教九上探究改编]已知二次函数y＝－x2＋2x－3，用配方法化为y
＝a(x－h)2＋k的形式，结果是(　A　)
A. y＝－(x－1)2－2
B. y＝－(x－1)2＋2
C. y＝－(x－1)2＋4
D. y＝－(x＋1)2－4
A
2. [人教九上习题改编]二次函数y＝2(x＋1)(x－3)的图象与x轴的两个交
点坐标分别是(　B　)
A. (1，0)和(－3，0)
B. (－1，0)和(3，0)
C. (2，0)和(3，0)
D. (1，0)和(－2，0)
B
3. [北师九下习题改编]已知抛物线解析式为y＝x2－2x－3.
(1)该抛物线开口向 ；
(2)该抛物线的对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；
(3)该抛物线有最 值(填“大”或“小”)，为 ；
(4)当抛物线上y的值随着x的值增大而增大时，x的取值范围是
；当y的值随着x的值增大而减小时，x的取值范围是 .
上　
x＝1　
(1，－4)　
小　
－4　
x＞1
x＜1　
4. [冀教九下习题改编]已知a＜0，b＞0，c＜0，那么二次函数y＝ax2
＋bx＋c的图象可能是(　A　)
A
5. [北师九下习题改编]在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a≠0)的图象如图所示，
结合图中信息，填空(填“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”).
(1)a 0，b 0，c 0；
(2)b2－4ac 0；
＜　
＞　
＞　
＞　
(3)2a＋b 0；
(4)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(5)4a＋2b＋c 0，4a－2b＋c 0.
＝　
＞　
＜　
＞　
＜　
6. [北师九下习题改编]若抛物线y＝x2－x＋c与x轴没有交点，则c的取
值范围为 .
　
7. [北师九下习题改编]已知抛物线y＝x2＋5x－14.
(1)关于x的一元二次方程x2＋5x－14＝0的解为 ；
(2)关于x的一元二次方程x2＋5x－14＝t有两个相等的实数根，则t的值
为 .
c＞ 　
x1＝2，x2＝－7　
－ 　
河北中考真题精选
二次函数的图象与性质(6年7考)
命题点
1. (2020河北15题)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针
对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是(　C　)
C
A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错
C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对
2. (2025邯郸模拟)如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点
P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，
D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为(　B　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
B
3. (2023河北16题)已知二次函数y＝－x2＋m2x和y＝x2－m2(m是常数)的
图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
则这两个函数图象对称轴之间的距离为(　A　)
A. 2 B. m2
C. 4 D. 2m2
A
【解析】如解图，令－x2＋m2x＝0，解得x＝0或x＝
m2，∴设y＝－x2＋m2x的图象与x轴交点为O(0，0)，
C(m2，0)，令x2－m2＝0，解得x＝m或x＝－m，
∴设y＝x2－m2的图象与x轴交点为A(－m，0)，
B(m，0)，又∵四个交点中每相邻两点间的距离都相等，∴OA＝OB＝BC，∴｜m｜＝m2－｜m｜，由题意得m≠0，①当m＞0时，m＝m2－m，解得m1＝0(不符合题意，舍去)，m2＝2；
解图
②当m＜0时， －m＝m2＋m，解得m1＝0(不符合题意，
舍去)，m2＝－2.∵y＝－x2＋m2x图象的对称轴为直线x
＝ ，y＝x2－m2图象的对称轴为直线x＝0，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为 ＝2.
解图
4. (2025石家庄模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过
(－1，m)，(3，m)两点，则下列说法错误的是(　B　)
A. 该函数图象的对称轴为直线x＝1
B. 若(x0，y0)为该函数图象上的点，当x0＜－1时，y0＜m一定成立
C. 函数y＝ax2＋bx＋c在x＝1处取得最值
D. 无论m取何值，均满足3a＋c＝m
B
【解析】由条件可知该函数图象的对称轴为直线x＝ ＝1，故A选项
说法正确，不符合题意；函数y＝ax2＋bx＋c在x＝1处取得最值，故C
选项说法正确，不符合题意；∵对称轴为直线x＝－ ＝1，∴b＝－
2a，代入(－1，m)到y＝ax2＋bx＋c，得a－b＋c＝m，∴3a＋c＝
m，故D选项说法正确，不符合题意；若a＞0，当x＜－1时，y随x的增
大而减小；若a＜0，当x＜－1时，y随x的增大而增大，∴若(x0，y0)为
该函数图象上的点，当x0＜－1时，y0＜m不一定成立，故B选项说法错
误，符合题意.故选B.
5. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 025(a，b为常
数，且a≠0)的图象过点A(1，m)，B(2 025，m)，C(2 026，n)，则n
的值为 .
【解析】由题意可得，对称轴为直线x＝ ＝1 013，根据二次函数
图象的对称性，得x＝2 026时的函数值与x＝0时的函数值相等，令x＝
0，则y＝2 025，∴n＝2 025.
2 025　
6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，c).
(1)求该二次函数图象的对称轴；
解：(1)当x＝0时，y＝c，
∵图象过点A(2，c)，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1；
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，c).
(2)若点(n，y1)和点(n－2，y2)均在该二次函数图象上，当n＜2时，请你
比较y1，y2的大小关系；
解：(2)由(1)得，对称轴是直线x＝1，
∵当a＞0时，二次函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，
∴y1＜y2；
∵当a＜0时，二次函数图象上的点离对称轴越近，函数值越大，
∴y1＞y2；
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，c).
(3)若c＝1，且当－1≤x≤2时，y有最小值为 ，求a的值.
解：(3)当a＞0时，由题意得，当x＝1时，y值最小，
∴a＋b＋1＝ 且－ ＝1，
解得a＝ ，b＝－ ；
当a＜0时，由题意得，当x＝－1时，y值最小，
∴a－b＋1＝ 且－ ＝1，
解得a＝－ ，b＝ .
综上所述，a的值为 或－ .(共19张PPT)
第三章　函　数
第三节　一次函数性质综合应用
教材变式过重点
一次函数性质综合应用
教材原题
例　冀教八下P94第2题
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(1)如果函数的图象经过原点，求k的值；
解：(1)当函数的图象经过原点时，
把(0，0)代入函数解析式，得4k－2＝0，
解得k＝ ；
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(2)如果y的值随x的值的增大而减小，求k的取值范围；
解：(2)∵y的值随x的值的增大而减小，
∴k的取值范围为k＜0；
∴k＝1
拓展设问
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(3)若不论k取何实数，这个函数的图象都过定点，求这个定点M的坐
标；
解：一次函数y＝kx＋4k－2变形为y＋2＝k(x＋4)，
∵不论k取何实数这个函数的图象都过定点，
∴x＋4＝0，y＋2＝0，
解得x＝－4，y＝－2，
则不论k取何实数，这个函数的图象都过定点M(－4，－2)
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(4)如图①， OABC在平面直角坐标系中，且B(6，2)，当一次函数y＝kx＋4k－2的图象将 OABC的面积分为相等的两部分时，求k的值；
图①
解：如解图，连接AC，BO交于点D，
∵在 OABC中，点B坐标为(6，2)，
∴点D坐标为(3，1)，
∵由题意得一次函数y＝kx＋4k－2过点D，
∴将点D(3，1)代入y＝kx＋4k－2，
可得1＝3k＋4k－2，解得k＝ ，∴k的值为 ；
解图
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(5)(2022河北考法)如图②，C(1，0)，D(6，10)，若一次函数y＝kx＋4k
－2的图象经过线段CD上的点，求k的取值范围；
图②
解：当一次函数y＝kx＋4k－2的图象经过点C(1，0)时，
k＋4k－2＝0，解得k＝ ，
当一次函数y＝kx＋4k－2的图象经过点D(6，10)时，
6k＋4k－2＝10，解得k＝ ，
∴k的取值范围为 ≤k≤
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(6)设一次函数y＝2x－1的图象为l1，一次函数y＝－x＋5的图象为l2.
①若一次函数y＝kx＋4k－2的图象与直线l1，l2不能围成三角形，求k
的值；
解：①联立方程组 ，
解得 ，
∴l1，l2的交点坐标为(2，3)，
令l3：y＝kx＋4k－2＝k(x＋4)－2，
∵一次函数y＝kx＋4k－2的图象与直线l1，l2不能围成三角形，
∴l1，l2，l3三条直线交于一点或l1∥l3或l2∥l3，
当y＝k(x＋4)－2的图象经过点(2，3)时，k＝ ；
当l1∥l3时，k＝2；
当l2∥l3时，k＝－1.
综上所述，k的值为 或2或－1；
已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2.
(6)设一次函数y＝2x－1的图象为l1，一次函数y＝－x＋5的图象为l2.
②设点C(5，1)关于直线x＝n的对称点为D，若点D在直线l1，l2与x轴
所围成的三角形内部(包括边界)，求n的取值范围.
解：②点C(5，1)关于直线x＝n的对称点为D(2n－5，1)，
当点D落在直线y＝2x－1上时，则1＝2(2n－5)－1，
解得n＝3；
当点D落在y＝－x＋5上时，则1＝－(2n－5)＋5，
解得n＝ ，故n的取值范围为3≤n≤ .
河北中考真题精选
一次函数性质综合应用(6年3考)
命题点
1. (2025石家庄模拟)如图，在平面直角坐标系中，有一动点
P(－a，a＋3)和两定点A(－1，－1)，B(1，－3).
(1)求直线AB的解析式；
解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
把点A(－1，－1)，B(1，－3)代入，
得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝－x－2；
1. (2025石家庄模拟)如图，在平面直角坐标系中，有一动点P(－a，a＋3)和两定点A(－1，－1)，B(1，－3).
(2)当a＝－2时，判断点P是否在直线AB上；
解：(2)当a＝－2时，点P的坐标为(2，1)，
由(1)知直线AB的解析式为y＝－x－2，
当x＝2时，y＝－4≠1，
∴当a＝－2时，点P不在直线AB上；
1. (2025石家庄模拟)如图，在平面直角坐标系中，有一动点P(－a，a＋3)和两定点A(－1，－1)，B(1，－3).
(3)嘉嘉说：当a取不同的两个值时，得到两个点P1，P2，则直线P1P2与
直线AB平行.嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理；
解：(3)嘉嘉说得对.说理如下：
设动点P的横坐标为x，纵坐标为y，
∵点P的坐标为(－a，a＋3)，∴x＝－a，y＝a＋3，
∴a＝－x，将a＝－x代入y＝a＋3，可得y＝－x＋3，
∴点P在直线y＝－x＋3上运动.
∵直线y＝－x＋3与直线y＝－x－2平行，
∴直线P1P2与直线AB平行；
1. (2025石家庄模拟)如图，在平面直角坐标系中，有一动点P(－a，a＋3)和两定点A(－1，－1)，B(1，－3).
(4)直接写出△PAB的面积.
解：(4)△PAB的面积为5.
【解法提示】∵点P在直线y＝－x＋3上运动，直线
y＝－x＋3与直线y＝－x－2平行，∴直线y＝－x－2
向上平移5个单位得到y＝－x＋3，
∴△PAB的面积为 ×5×(1＋1)＝5.
题后总结
点(m，km＋n)可以转化为一次函数y＝kx＋n的图象上一动点.
2. (2020河北24题)表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx＋b，现画出
了它的图象为直线l，如图，某同学为观察k，b对图象的影响，将上面
函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'.
(1)求直线l的解析式；
解：(1)∵点(－1，－2)，(0，1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，
代入，得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y＝3x＋1；
表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx＋b，它的图象为直线l，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'.
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算)，并求直线l'被直线l和y轴所截
线段的长；
解：(2)依题意得直线l'的解析式
为y＝x＋3，
∴直线l'如解图所示.
联立方程组 ，
解图
解得 ，
∴l与l'的交点为(1，4).
又∵l'与y轴的交点为(0，3)，
∴l'被l和y轴所截线段的长为
＝ ；
解图
表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx＋b，它的图象为直线l，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'.
(3)设直线y＝a与直线l，l'及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第
三点对称，直接写出a的值.
解：(3)a的值为 或 或7.
解图
【解法提示】直线y＝a与直线l，l'及y轴的交点坐标分别为(，a)，(a－3，a)及(0，a).当(，a)，
(a－3，a)关于(0，a)对称时， ＝－(a－3)，解得a＝ ；当(，a)，(0，a)关于(a－3，a)对称时，2(a－3)＝ ，解得a＝ ；当(a－3，a)，(0，a)关于(，a)对称时，a－3＝2× ，解得a＝7.综上所述，a的值为 或 或7.
解图(共15张PPT)
第三章　函　数
第七节　二次函数解析式(含图象变化)
节前复习导图
二次函数解析式（含图象变化）
二次函数
解析式的确定
二次函数
图象的平移
二次函数图象的翻折、旋转
解析式
变换方式
变换后的a
变换后的顶点坐标
变换后的解析式
教材知识逐点过
考点
1
二次函数解析式的确定(6年6考)★重点
根据不同条件二次函数解析式的设法(待定系数法求解)：
(1)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx，再代入图象上除原点外的任意两点坐标
求解；
(2)已知顶点坐标为(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k，再代入图象上另一点
坐标求解；
(3)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，或已知对称轴及与x轴的一
个交点(x1，0)，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标(x2，0)，可设为交点式y＝
a(x－x1)(x－x2)，再代入图象上另一点坐标求解.
考点
2
二次函数图象的平移(2022.23)
平移前解析式 平移n个单位(n＞0) 平移后解析式 简记
y＝a(x－h)2＋k (也可根据 顶点坐标 的平移求解) 向左平移n个单位长度 y＝a(x－h＋n)2＋k 左“＋”
右“－”
向右平移n个单位长度 y＝a(x－h－n)2＋k 向上平移n个单位长度 y＝a(x－h)2＋ k＋n 上“＋”
下“－”
向下平移n个单位长度 y＝a(x－h)2＋ k－n
考点
3
二次函数图象的翻折、旋转(2024.26)
解析式 变换方式 变换后的a 变换后的顶点坐标 变换后的解析式
y＝a (x－h)2 ＋k(a≠0) 沿x轴翻折 a变为原来 的相反数 (h，－k) y＝－a(x－h)2－k
沿y轴翻折 a不变 (－h，k) y＝a(x＋h)2＋k
绕顶点 旋转180° a变为原来的 相反数 (h，k) y＝－a(x－h)2＋k
解析式 变换方式 变换后的a 变换后的顶点坐标 变换后的解析式
y＝a(x
－h)2 ＋
k(a≠0) 绕原点 旋转180° a变为原来的 相反数 (－h，－k) y＝－a(x＋h)2
－k
绕二次函数图象与y轴的交点旋转180° a变为原来 的相反数 (－h， 2ah2＋k) y＝－a(x＋h)2
＋2ah2＋k
基础题对点练
1. [人教九上习题改编]根据条件求抛物线的解析式：
(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别为(－3，0)，
(5，0)，则抛物线的解析式为 ；
(2)下表是抛物线y＝ax2＋bx＋c部分自变量与函数值的对应关系，则抛
物线的解析式为 .
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 5 8 9 8 …
y＝x2－2x－15　
y＝－x2＋4x＋5　
2. [北师九下议一议改编]已知抛物线：y＝(x－1)2－2.
(1)若将抛物线向右平移2个单位长度，则平移后的抛物线解析式为
；
(2)若将抛物线向下平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为
.
y＝x2－6x＋7
y＝x2－2x－5　
3. [人教九上练习改编]已知抛物线C：y＝(x＋2)2－1.
(1)若抛物线C1与抛物线C关于x轴对称，则抛物线C1的函数解析式为
；
(2)若抛物线C3与抛物线C关于原点中心对称，则抛物线C3的函数解析式
为 .
y＝－(x＋2)2＋1　
y＝－(x－2)2＋1　
河北中考真题精选
二次函数的图象变化(2022.23)
命题点
1. (2025邯郸模拟改编)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，
点B的坐标为(－2，2).将二次函数y＝mx2－2mx＋m－2(m≠0)的图象
先向左平移a(a＞0)个单位长度，再向上平移b(b＞0)个单位长度得到图
象M，使得图象M的顶点落在直线AB上.关于a，b的取值，三人的说
法如下：
甲：a＝1，b＝5；乙：a＝2，b＝ ；丙：a＝3，b＝7.
下列判断正确的是(　A　)
A. 只有甲和乙对 B. 只有甲和丙对
C. 只有乙和丙对 D. 甲、乙、丙都对
A
【解析】∵y＝mx2－2mx＋m－2＝m(x－1)2－2，∴二次函数的顶点坐
标为(1，－2)，将(1，－2)先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位
长度后的坐标为(0，3)，与点A重合，∴甲正确；将(1，－2)先向左平移2
个单位长度，再向上平移 个单位长度后的坐标为(－1， )，
∵A(0，3)，B(－2，2)，∴易得直线AB的解析式为y＝ x＋3，令 x＋3＝ ，解得x＝－1，∴平移后二次函数图象的顶点在直线AB上，∴乙正确；将(1，－2)先向左平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度后的坐标为(－2，5)，令 x＋3＝5，解得x＝4≠－2，∴丙错误.故选A.
2. 已知抛物线L：y＝－x2＋2x与抛物线L'关于原点对称，将抛物线L'向
上平移k个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为(－1，3)，求k的值.
解：∵抛物线L：y＝－x2＋2x与抛物线L'关于原点对称，
∴抛物线L'：y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵抛物线L'向上平移k个单位长度，
∴新抛物线的解析式为y＝(x＋1)2－1＋k，
∵新抛物线的顶点坐标为(－1，3)，
∴－1＋k＝3，
∴k＝4.
3. 将抛物线C1：y＝－x2－4x－3先向右平移1个单位长度，再向下平移1
个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线C2：y＝2x2＋mx＋n的顶点
重合，求抛物线C2的解析式.
解：∵y＝－x2－4x－3＝－(x＋2)2＋1，
∴将抛物线C1平移得到的新抛物线的函数解析式为y＝－(x＋1)2，
此时该抛物线的顶点坐标为(－1，0)，
∴抛物线C2：y＝2x2＋mx＋n的顶点坐标为(－1，0)，
∴－ ＝－1，解得m＝4，
将(－1，0)代入y＝2x2＋4x＋n中，得0＝2－4＋n，解得n＝2，
∴抛物线C2的解析式为y＝2x2＋4x＋2.
4. (2022河北23题)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且
在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
解：(1)C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.
将点P(a，3)代入y＝－(x－6)2＋4，解得a＝5或a＝7，
∵点P在C的对称轴右侧，
∴a＝7；
点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在C的对称轴右侧.
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分
别记为P'，C'.平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋
6x－9，求点P'移动的最短路程.
解：(2)由(1)可知点P(7，3)，C的顶点坐标为(6，4)，
∵y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2，
∴C'的顶点坐标为(3，0)，
∴由C平移到C'，平移方式为向左平移3个单位长度，
再向下平移4个单位长度，∴平移后点P'的坐标为(4，－1)，
∴点P'移动的最短路程为 ＝5.(共33张PPT)
第三章　函　数
第二节　一次函数的图象与性质
节前复习导图
一次函数的
图象与性质
一次函数的图象与性质
两条直线的位置关系
一次函数解
析式的确定
方法
步骤
一次函数图象的平移
一次函数与
坐标轴围成
的面积
图形
面积
一次函数与
一次方程(组)、
一元一次不等式
的关系
一个一次函数
与方程、不等
式的关系
两个一次函数
与方程组、不
等式的关系
一次函数的
图象和性质
教材知识逐点过
考点
1
一次函数的图象与性质(6年6考)★重点
1. 一次函数的图象与性质
解析式 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函
数 k决定
图象增
减性 k 0，从左向右看
图象呈上升趋势，y随
x的增大而增大 k 0，从左向右看图象呈下降趋势，y随x
的增大而减小
＞
＜
b决定
图象与
y轴的
交点位
置 b 0 交点在 正半轴上 b＝0 交 点在原 点上 b 0
交点在
负半轴上 b＞0 交 点在正半 轴上 b 0 交点在 原点上 b＜0 交
点在负半
轴上
图象 (草图)

＞
＜
＝
经过的 象限 一、二、三 一、三
一、二、四 二、三、
四
与坐标
轴的交
点 与x轴的交点坐标为 (即令y＝0)，与y轴的交点坐标为 (即令x＝0) 一、
三、四
二、四
(－ ，0)
(0，b)
2. 两条直线(y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2)的位置关系
位置关系 两直线平行 两直线垂直 两直线相交 系数 关系 k1＝k2 k1·k2＝－1 k1＋k2＝0 k1＝－k2， b1＝b2 k1＝－k2，
b1＝－b2
图象
两直线关于l1，l2均对称 两直线关 于y轴对称
两直线关
于x轴对称
考点
2
一次函数解析式的确定(6年5考)★重点
1. 方法：待定系数法.
2. 步骤：
(1)一设：设出一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)；
(2)二列：找出一次函数图象上的两点，代入函数解析式，得到关于k，b的二元一次
方程组；
(3)三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值；
(4)四还原：将所求待定系数k，b的值代入所设的函数解析式中.
【温馨提示】对于正比例函数y＝kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，求出k
即可确定解析式.
考点
3
一次函数图象的平移(2023.25)
平移前 的解析式 平移方式(m＞0) 平移后的解析式 规律
y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 左加右减
自变量
向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 上加下减
常数项
向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m
考点
4
一次函数图象与坐标轴围成的面积
有两边在坐标轴上 有一边在坐标轴上 图形
面积 S＝ OA·OB ＝ ｜xA｜·｜yB｜ S＝ AB·CD＝ ｜xB－xA｜·｜yC｜ S＝ AB·CD
＝ ｜yB－
yA｜·｜xC｜
考点
5
一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
一个一次函数与方程、不等式的关
系(以a＞0为例) 解一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)
在一次函数y＝ax＋b中，当y＝0时，求x的值(一次函数图象与x轴交点的横坐标为 )
m
一个一次函数与方程、不等式的关系(以a＞0为例)
解不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)
在一次函数y＝ax＋b中，当y＞0或y＜0时，求x的取值范围(当y＞0时，直线在x轴上方，x的取值范围为x＞m；当y＜0时，直线在x轴下方，x的取值范围为 )
x＜m
两个一次函数与方程组、不等式
的关系(以a1＞0、a2＜0为例) 解方程组 (a1≠a2≠0)
两个一次函数图象的交点坐标为(m，n)
解不等式a1x＋b1＞a2x＋b2或a1x＋b1＜a2x＋b2(a1≠a2≠0)
当y1＞y2或y1＜y2时，求x的取值范围(以交点为界限，直线l1位于直线l2上方时，y1＞y2，x的取值范围为x＞m；直线l1位于直线l2下方时，y1＜y2，x的取值范围为 )
x＜m
基础题对点练
1. [人教八下练习改编]若正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，则k的
值是(　A　)
A. 2 B.
C. 0 D. －2
A
2. [人教八下习题改编]若m＜0，n＞0，则一次函数y＝mx＋n的图象大
致是(　C　)
C
3. [北师八上习题改编]关于一次函数y＝－3x＋6，下列说法不正确的
是(　C　)
A. 图象不经过第三象限
B. y随着x的增大而减小
C. 图象与x轴交于(－2，0)
D. 图象与y轴交于(0，6)
C
4. [人教八下习题改编]一次函数的图象经过A(－3，5)和B(0，2)两点，
则该一次函数的解析式为 .
　
5. [冀教八下习题改编]将一次函数y＝3x＋2的图象先向下平移4个单位长
度，得到新的函数图象的解析式为 ，再将得到的新函数图
象向左平移2个单位长度，最终得到函数图象的解析式为 .
6. [冀教八下习题改编]一次函数y＝－ x＋3的图象与坐标轴所围成的图
形的面积是 .
y＝－x＋2　
y＝3x－2　
y＝3x＋4　
6　
7. [北师八上习题改编]如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点
A(3，0)，与正比例函数y＝mx的图象交于点B(1，2).
(1)关于x的方程kx＋b＝0的解为 ；
(2)关于x，y的方程组 的解为 　 　；
(3)不等式kx＋b≤mx的解集为 .
x＝3　
　
x≥1　
教材变式过重点
一次函数的图象与性质
例　人教八下P107第4题改编
已知直线l1：y＝kx＋b(k≠0)经过(2，4)和(－2，－2)两点.求直线l1的解
析式.
解：将x＝2，y＝4及x＝－2，y＝－2分别代入y＝kx＋b，
得 ，解得 ，
∴直线l1的解析式为y＝ x＋1
拓展设问
(1)若点(x1，y1)，(x2，y2)在直线l1上，当y1＜y2时，x1 x2；(填
“＞”“＜”或“＝”)
【解法提示】∵直线l1的解析式为y＝ x＋1， ＞0，∴y随x的增大而
增大，∴当y1＜y2时，x1＜x2.
(2)关于x的不等式 x＜kx＋b的解集为 ；
＜　
x＞－1　
已知直线l1：y＝kx＋b(k≠0)经过(2，4)和(－2，－2)两点.求直线l1的解
析式.
(3)将直线l1：y＝kx＋b先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长
度得到的函数解析式为 ；
【解法提示】一次函数y＝ x＋1的图象先向右平移3个单位长度，再向
上平移1个单位长度得到的函数解析式为y＝ (x－3)＋1＋1＝ x－ .
y＝ x－ 　
已知直线l1：y＝kx＋b(k≠0)经过(2，4)和(－2，－2)两点.求直线l1的解
析式.
已知直线l1：y＝kx＋b(k≠0)经过(2，4)和(－2，－2)两点.求直线l1的解
析式.
(4)直线l1：y＝kx＋b与x轴交于点A，直线l2：y＝－x＋m(m＞0)与x
轴交于点B，与直线l1交于点C，已知△ABC的面积为 ，求m的值.
解：令 x＋1＝0，解得x＝－ ，
∴点A的坐标为(－ ，0)，
令－x＋m＝0，得x＝m，
∴点B的坐标为(m，0)，
联立 ，
解得 ，
∴点C的坐标为( m－ ， m＋ )，
∵m＞0，∴S△ABC＝ ｜xB－xA｜·｜yC｜＝ (m＋ )( m＋ )＝ ，解得m＝4(负值已舍去).
河北中考真题精选
一次函数的图象与性质(6年6考)
命题点
1
1. (2024河北14题)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深
厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S. 该折扇张
开的角度为n°时，扇面面积为Sn.若m＝ ，则m与n关系的图象大致
是(　C　)
C
2. (2024河北12题)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标
的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条
边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(　B　)
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点D
B
3. (2024邢台模拟)如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图
建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别
为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系正确的是(　D　)
A. k2＜0＜k1 B. k1＜0＜k2
C. k1＜k2＜0 D. k2＜k1＜0
D
【解析】如解图，两个图象从左往右看都是呈下降趋
势，∴k1＜0，k2＜0，在两个图象上分别取横坐标为
m(m＜0)的两个点A和B，则A(m，k1m)，
B(m，k2m)，∵k1m＜k2m，∴k1＞k2，当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2.综上所述，k2＜k1＜0.
解图
4. (2025保定模拟)如图，平面直角坐标系中有一6×6的正方形网格，其中A，B，C，D是四个格点，随m(m为任意常数)的变化，点P(m＋1，m－2)会经过的点是(　A　)
A
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点D
【解析】设点P的坐标为(x，y)，∵点P(m＋1，m－2)，∴x＝m＋1，
y＝m－2，∴x－y＝3，y＝x－3，∴点P的轨迹是直线y＝x－3，将
A(4，1)，B(4，5)，C(2，4)，D(2，1)分别代入验证可得，只有点A在
直线y＝x－3上，故选A.
5. 已知A(4，a)和B(－1，b)是一次函数y＝kx－4(k≠0)图象上的
两点，若a＜b，则该一次函数的图象还可能经过的点是(　A　)
A. (－4，0) B. (4，0)
C. (0，4) D. (1，－3)
【解析】∵4＞－1，a＜b，∴y随x的增大而减小，∴k＜0，∴一次函
数y＝kx－4的图象经过第二、三、四象限，故排除B，C选项；
∵点(0，－4)在一次函数图象上，y随x的增大而减小，∴当x＜0时，函数值y＞－4，当x＞0时，函数值y＜－4，故排除D选项，故A选项符合题意.
A
一次函数图象的平移(2023.25)
命题点
2
6. 在平面直角坐标系中，两条直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2互相平
行，如果这两个函数的部分自变量和对应的函数值如下表所示：
x m 0 3
y1 －2 0 a
y2 2 n 7
则m的值是(　B　)
A. －3 B. －2
C. －1 D. －
B
【解析】∵一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象互相平行，∴k1
＝k2，设k1＝k2＝t，则y1＝tx＋b1，y2＝tx＋b2.将(m，－2)，(0，0)代
入y1＝tx＋b1，得b1＝0，tm＝－2 ①；将(m，2)，(0，n)，(3，7)代入
y2＝tx＋b2，得b2＝n，tm＋n＝2 ②，3t＋n＝7 ③，①代入②中，得n
＝4，把n＝4代入③中，得t＝1，把t＝1代入①中，得m＝－2.故选B.
x m 0 3
y1 －2 0 a
y2 2 n 7
7. 已知直线l1：y1＝kx＋3经过点(3，－3)，直线l0的解析式为y0＝－ x.
(1)求y1关于x的函数解析式，并在图中画出其图象l1；
解：(1)直线y1＝kx＋3经过点(3，－3)，
将(3，－3)代入y1＝kx＋3，
得3k＋3＝－3，解得k＝－2，
∴y1关于x的函数解析式为y1＝－2x＋3，
画出图象l1如解图所示；
解图
7.已知直线l1：y1＝kx＋3经过点(3，－3)，直线l0的解析式为y0＝－ x.
(2)将直线l0向上平移a(a＞0)个单位长度得到直线l2.设直线l1、直线l2分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称，求a的值.
解：(2)∵将直线l0：y＝－ x向上平移a(a＞0)个
单位长度得到直线l2，
∴直线l2：y＝－ x＋a，
∵直线l1、直线l2分别与x轴交于点A，B，∴A(，0)，B(3a，0)，
∵O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称，
∴分三种情况讨论：①当点O，A关于点B中心对称时，则3a＝ ，解
得a＝ ；
②当点O，B关于点A中心对称时，则 ＝ ，解得a＝1；
③当点A，B关于点O中心对称时，
∵3a＝－ ，解得a＝－ ＜0(不合题意，舍去)，
∴此种情况不存在.
综上所述，a的值为 或1.(共20张PPT)
第三章　函　数
第四节　一次函数的实际应用
教材变式过重点
一次函数的实际应用
教材原题
例1　人教八下P99第3题
一个弹簧不挂重物时长12 cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量
成正比(在弹簧的弹性限度内).如果挂上1 kg的物体后，弹簧伸长2 cm.求
弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式.
解：∵挂上1 kg的物体后，弹簧伸长2 cm，
∴挂上x kg的物体后，弹簧伸长2x cm，
∴弹簧总长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式
为y＝12＋2x.
拓展设问
(1)求在弹簧的弹性限度内，且所挂物体的质量为4 kg时弹簧的总长度；
解：(1)当x＝4时，y＝12＋2×4＝20，
∴所挂物体的质量为4 kg时弹簧的总长度为20 cm；
(2)若该弹簧的总长度超过40 cm后，弹簧会被破坏，求弹簧能挂重物的最
大质量.
解：(2)令y＝40，可得12＋2x＝40，解得x＝14，
∴弹簧能挂重物的最大质量为14 kg.
弹簧总长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式
为y＝12＋2x.
例2　冀教八下P113第1题
A，B两地相距60 km，甲、乙二人分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀
速行驶，由A地到达B地.他们行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之
间的函数图象如图所示.
(1)乙比甲晚出发几小时？乙比甲早到几小时？
解：(1)乙比甲晚出发1小时，乙比甲早到2小时；
A，B两地相距60 km，甲、乙二人分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀
速行驶，由A地到达B地.他们行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之
间的函数图象如图所示.
(2)分别写出甲、乙行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)的函数关
系式；
解：(2)甲行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)的函数关系式为s＝15t(0≤t≤4)；
乙行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)的函数关系式为s＝60t－60(1≤t≤2)；
A，B两地相距60 km，甲、乙二人分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀
速行驶，由A地到达B地.他们行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之
间的函数图象如图所示.
(3)乙在甲出发后几小时追上甲？追上甲的地点离A地有多远？
解：(3)乙在甲出发 小时后追上甲，追上甲的
地点离A地有20 km远.
变式题
1. 由同地不同时出发，改为同时不同地出发
(2025沧州模拟)周末，嘉嘉和淇淇一起去体育场看球赛.如图①，共享单
车停放点A，B和体育场C依次在一条东西走向的路上.两人从A，B之
间的点P处同时出发，嘉嘉步行去停放点A，淇淇步行去停放点B，然后
各自骑共享单车前往体育场C. 已知嘉嘉和淇淇两人步行速度均为75
m/min，两人到体育场的距离s嘉嘉(m)、s淇淇(m)与时间t(min)的函数关系
图象如图②所示.
(1)在图②中，求纵轴上a的值；
图①
图②
解：(1)由题意，得75×(6＋14)＝1 500(m)，
∴a＝6 000－1 500＝4 500(m)，即a的值为4 500；
已知嘉嘉和淇淇两人步行速度均为75 m/min，两人到体育场的距离
s嘉嘉(m)、s淇淇(m)与时间t(min)的函数关系图象如图②所示.
(2)①嘉嘉骑上共享单车后，求s嘉嘉与t的函数关系式；
解：(2)①设s嘉嘉与t的函数关系式为s＝kt＋b(k≠0)，
∵图象经过点(6，6 000)，(26，0)，
∴ ，
解得 ，
∴s嘉嘉与t的函数关系式为s嘉嘉＝－300t＋7 800(6≤t≤26)；
图①
图②
已知嘉嘉和淇淇两人步行速度均为75 m/min，两人到体育场的距离
s嘉嘉(m)、s淇淇(m)与时间t(min)的函数关系图象如图②所示.
②求嘉嘉追上淇淇的时间t；
解：②6 000－75×6＝5 550(m)，
淇淇步行过程中，设s淇淇与t的函数关系式为
s淇淇＝mt＋n(m≠0)，
∵图象经过点(0，5 550)和(14，4 500)，
∴ ，
图①
图②
解得 ，
∴s淇淇与t的函数关系式为s淇淇＝－75t＋5 550，
令－300t＋7 800＝－75t＋5 550，
解得t＝10，
∴嘉嘉追上淇淇的时间为10 min；
图①
图②
已知嘉嘉和淇淇两人步行速度均为75 m/min，两人到体育场的距离
s嘉嘉(m)、s淇淇(m)与时间t(min)的函数关系图象如图②所示.
(3)若淇淇改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去体育场，骑行速度
与原来相同，直接写出与原来到达体育场相差的时间.
解：(3)2 min.　
【解法提示】淇淇先到点A处需要6分钟，淇淇的骑行速度为 ＝250(m/min)，∴淇淇改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去体育场需要的时间为6＋ ＝30(min)，∴32－30＝2(min).
图①
图②
河北中考真题精选
一次函数的实际应用(6年3考)
命题点
1. 　　　　　　　　　　 (2025河北22题)一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0～100 ℃(本题涉及的温度均在此范围内)，原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y＝αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数αCu＝1.7×10－5(单位：/℃)；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10－3 m.
(1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃，求该铜棒的伸长量(用科学记数法表示)；
解：(1)0.6×50×1.7×10－5＝5.1×10－4(m)，
答：该铜棒的伸长量为5.1×10－4 m；
新考法
跨物理学科
原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y＝αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数αCu＝1.7×10－5(单位：/℃)；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10－3 m.
(2)求铁的线膨胀系数αFe；若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×10－4 m，
求该铁棒温度的增加量；
解：(2)2.5×αFe(80－20)＝1.8×10－3，
解得αFe＝1.2×10－5，
设该铁棒温度的增加量为x1 ℃，
根据题意得1×1.2×10－5×x1＝4.8×10－4，
解得x1＝40，
答：铁的线膨胀系数αFe＝1.2×10－5/℃，该铁棒温度的增加量为40 ℃；
原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y＝αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数αCu＝1.7×10－5(单位：/℃)；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10－3 m.
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热，当它们的伸长量相同
时，若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃，求该铁棒温度的增加量.
解：(3)设该铁棒温度的增加量为x2 ℃，
根据题意得1.7×10－5(x2－20)＝1.2×10－5x2，
解得x2＝68，
答：该铁棒温度的增加量为68 ℃.
2. 　　　　　　　　　　 香蕉草是水族箱中常见的沉水植物.有研究表明施用戊二醛(水箱消毒剂)会对水体中香蕉草的生长造成不利影响，科研人员通过研究发现香蕉草溶解氧的增加量y与戊二醛浓度x之间成一次函数关系.相关数据如下：
戊二醛浓度x(mg·L－1) 4 6 8 10
溶解氧的增加量y(mg·L－1) 0.62 0.48 0.34 0.2
新考法
跨生物学学科
(1)观察表格中的数据，求y与x之间的函数关系式；
解：(1)由题可得y与x之间为一次函数关系，
设y＝kx＋b(k≠0)，代入(6，0.48)，(10，0.2)，
得 ，解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－0.07x＋0.9；
y与x之间的函数关系式为y＝－0.07x＋0.9；
(2)请你计算当戊二醛浓度超过多少时，香蕉草溶解氧的增加量为负值？
解：(2)由题意得－0.07x＋0.9＜0，
解得x＞ .
答：当戊二醛浓度超过 mg·L－1时，香蕉草溶解氧的增加量为负值.
戊二醛浓度x(mg·L－1) 4 6 8 10
溶解氧的增加量y(mg·L－1) 0.62 0.48 0.34 0.2
3. (2021河北23题)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥
机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞
行，2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方，2号机从原点O
处沿45°仰角爬升，到4 km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1 min到
达B处开始沿直线BC降落，要求1 min后到达C(10，3)处.
(1)求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
解：(1)由题图可得A(4，4)，且OA过原点O，设OA的h关于s的函数解
析式为h＝ks(k≠0)，
将点A(4，4)代入，得4＝4k，解得k＝1，
∴OA的h关于s的函数解析式为h＝s，
2号机的爬升速度为3 km/min；
(2)求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
解：(2)由题图可得B(7，4)，C(10，3)，
设BC的h关于s的函数解析式为h＝as＋b(a≠0)，
将点B(7，4)，C(10，3)代入，
得 ，
解得 ，
∴BC的h关于s的函数解析式为h＝－ s＋ ，
当h＝0时，2号机着陆，即0＝－ s＋ ，解得s＝19，
∴预计2号机着陆点的坐标为(19，0)；
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少.
[注： (1)及(2)中不必写s的取值范围]
解：(3)∵1号机离地面高5 km，
∴当2号机离地面高2 km时，两机距离PQ为3 km，
在OA上，h＝s，当h＝2时，s＝2，
在BC上，h＝－ s＋ ，当h＝2时，s＝13，
∴当2≤s≤13时两机距离不超过3 km，
∴两机距离不超过3 km的时长为 ＝ (min).(共35张PPT)
第三章　函　数
第一节　平面直角坐标系与函数
章前复习导图
解决问题
应用
研究函数的一般路径
平面直角坐标系与函数
坐标系中点的特征
函数的初步认识
一次函数
反比例函数
二次函数
函数解析式
图象
性质
图象平移
与方程(组)、不等式的关系
①增减性；②对称性；③最值
建模思想
数形结合思想
函 数
函数的应用
坐标系中的距离
函数的
初步认识
函数的概念及表示方法
函数自变量的取值范围
节前复习导图
平面直角
坐标系
与函数
平面直角
坐标系中点的
坐标特征
点的坐标特征
对称点的坐标特征
点的平移坐标特征
平面直角
坐标系中
的距离
点到坐标轴及
原点的距离
垂直于y轴的
两点距离
垂直于x轴的
两点距离
教材知识逐点过
考点
1
平面直角坐标系中点的坐标特征(6年2考)
1. 点的坐标特征
各象 限内 点A(x，y)
第一象限：x＞0，y＞0
第二象限：
第三象限：
第四象限：
坐标 轴上 点M1在x轴上：y1＝
点M2在y轴上：x2＝
原点的坐标：
x＜0，y＞0
x＜0，y＜0
x＞0，y＜0
0
0
(0，0)
各象
限角
平分 线上 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则x1＝
y1点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则x2
＝
垂直
于坐
标轴 的直 线上 垂直于y轴的直线l1上的点的 坐标相同
垂直于x轴的直线l2上的点的 坐标相同
－y2
纵
横
2. 对称点的坐标特征
点P的坐标 对称方式 对称后点P'的坐标 口诀
P(a，b) 关于x轴对称 P'(a，－b) 关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个变号
关于y轴对称 P' 关于原点对称 P' 横、纵坐标都变号
关于直线y＝x对称 P'(b，a) 横、纵坐标互换
关于直线y＝－x对称 P'(－b，－a) 横、纵坐标互换且都
变号
(－a，b)　
(－a，－b)　
【知识拓展】(1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点的坐标为(2m－a，b)；
(2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点的坐标为(a，2n－b).
3. 点的平移坐标特征
点P的坐标 平移方式(a＞0，b＞0) 平移后点P'的坐标 口诀
P(x，y) 向左平移a个单位长度 (x－a，y) 横坐标：左减右加
向右平移a个单位长度 ( ，y) 向上平移b个单位长度 (x，y＋b) 纵坐标：上加下减
向下平移b个单位长度 x＋a　
(x，y－b)
考点
2
平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴及
原点的距离 点P(a，b)到x轴的距离为 ，到y轴
的距离为 ，到原点的距离
为
垂直于y轴的两
点距离
垂直于y轴的直线l：y＝b上的两点P1(x1，
b)，P2(x2，b)间的距离是｜x1－x2｜
垂直于x轴的两
点距离 垂直于x轴的直线l：x＝a上的两点P1(a，
y1)，P2(a，y2)间的距离是｜y1－y2｜
｜b｜　
｜a｜　
　
【知识拓展】1. P(x1，y1)，Q(x2，y2)为平面直角坐标系中任意两点，则PQ中点坐
标为(， )；PQ＝ ；
2. 点P(a，b)到平行于坐标轴的直线的距离：
(1)点P到直线x＝m的距离为｜a－m｜；
(2)点P到直线y＝n的距离为｜b－n｜
考点
3
函数的初步认识
1. 函数的概念及表示方法
概念 一般地，在一个变化过程中的两个变量x与y，如果对于x的每
一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，
x是自变量
表示方法 (1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法
画函数图象的 一般步骤 (1)列表；(2)描点；(3)连线
2. 函数自变量的取值范围
函数表达式的形式 自变量的取值范围
含有分式 y＝
含有二次根式 y＝
已学习函数 y＝2x， y＝3x＋1
y＝
y＝x2
x≠2
x≥0
x取全体实数
x≠0
x取全体实数
基础题对点练
1. [北师八上例题改编]在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).
(1)若点A在x轴上，则a的值为 ；
(2)若点A在第一象限，则a的取值范围是 ；
(3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为
；
(4)若点A在第一、三象限的角平分线上，则a的值为 .
－ 　
－ ＜a＜2　
(5，－8)
　
2. [人教七下例题改编]在平面直角坐标系中，已知点A(3，2).请完成下
列问题.
(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标为 ；关于y轴对称的点A2
的坐标为 ；
(2)点A关于原点对称的点的坐标为 ；
(3)点A关于直线x＝2对称的点的坐标为 ，关于直线y＝－1对
称的点的坐标为 .
(3，－2)　
(－3，2)　
(－3，－2)　
(1，2)　
(3，－4)　
3. [人教七下例题改编]在平面直角坐标系中，已知点M(－2，3).请完成
下列问题.
(1)将点M向左平移2个单位长度得到的点的坐标为 ；
(2)将点M先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点
的坐标为 .
(－4，3)　
(2，4)　
4. [人教七下例题改编]在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1，2).请完
成下列问题：
(1)点P到x轴的距离为 ；
(2)点P到y轴的距离为 ；
(3)点P到原点的距离为 ；
(4)已知点Q(4，2)，则点P与点Q的距离为 ；
(5)已知点Q(1，－3)，则点P与点Q的距离为 .
2　
1　
　
3　
5　
5. [人教八下习题改编]写出下列函数的自变量x的取值范围：
(1)函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ；
(2)函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 .
x≥2　
x≠3　
教材变式过重点
分析判断函数图象
教材原题
例　冀教八下P79第2题
如图，在△ABC中，BC＝16，高AD＝10.动点C'由点C沿CB向点B移
动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ABC'的面积为S.
(1)在这个过程中，哪些量是常量，哪些量是变量？
解：(1)在这个过程中，边BC的长和高AD的长是常量，
CC'的长和△ABC'的面积是变量；
如图，在△ABC中，BC＝16，高AD＝10.动点C'由点C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ABC'的面积为S.
(2)请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.
解：(2)S与x之间的函数关系式为S＝ ×10(16－x)＝
80－5x(0≤x＜16).
方法梳理
1. 分析题干信息：通过研究对象不同的运动状态，判断函数图象的分段
数，并判断不同段函数的上升下降趋势；
2. 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相
对应的点，将坐标转化为实际意义；
3. 拐点：图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起
点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；
4. 水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；
5. 交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函
数值大小关系的“分界点”.
变式题
1. 改为讨论△ADC'的面积
如图，在△ABC中，CD＝3，BD＝AD＝5，且AD⊥BC，动点C'由点
C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ADC'的面积为S.
(1)S与x的关系的图象大致是(　A　)
A
【解法提示】由题意得，S＝△ADC'的面积＝ C'D×AD，
∵C'D的长度先变小，后增大，且由题图可知，BD＞CD，
∴S与x的关系的图象大致是A.
如图，在△ABC中，CD＝3，BD＝AD＝5，且AD⊥BC，动点C'由点C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ADC'的面积为S.
(2)嘉嘉认为，在点C的运动过程中，对于任意S的值，总是存在两个不同
的x值与之对应，请你分析嘉嘉的说法是否正确，并说明理由.
解：(2)嘉嘉的说法错误，
理由：当C'D＞CD时，对于S的值，只有1个x值与之对应.
河北中考真题精选
分析判断函数图象(2023.14)
命题点
1
1. (2023河北14题)如图是一种轨道示意图，其中 和 均为半圆，
点M，A，C，N依次在同一直线上，且 AM＝CN. 现有两个机器人(看
成点)分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移
动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M. 若移动时
间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是(　D　)
D
2. (2025邯郸模拟)如图①是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计)，A
为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝
EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且 ， ， 所对的圆心角为
90°.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10 m/s的速度行驶，从不
同出口驶出，其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图②
所示.结合题目信息，下列说法正确的是(　B　)
B
A. 甲车在立交桥上共行驶9 s
B. 从F口出比从G口出多行驶40 m
C. 甲车从F口出，乙车从G口出
D. 立交桥总长为120 m
【解析】由图象可知，甲车驶出立交桥时，一共行驶的时间为3＋2＋3＝
8(s)，故选项A不符合题意；根据两车行驶路线，从F口驶出比从G口多
行驶 与 弧长之和，用时为4 s，则多行驶40 m，故选项B符合题
意；甲车先驶出立交桥，乙车后驶出立交桥，所以甲车从G口出，乙车
从F口出，故选项C不符合题意；图中立交桥总长为3×3×10＋3×2×10
＝150(m)，故选项D不符合题意，故选B.
点坐标的变化(2024.16)
命题点
2
3. (2024河北16题)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且
横、纵坐标之和大于0的
点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵
坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上
平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度.
例：“和点”P(2，1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2，2)，其
平移过程如下：
P3 (2，2)
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则点Q
的坐标为(　D　)
A. (6，1)或(7，1) B. (15，－7)或(8，0)
C. (6，0)或(8，0) D. (5，1)或(7，1)
D
【解析】由题意得，当“和点”横、纵坐标之和除以3的余数为0时，则
该“和点”先向右平移，再向上平移，之后向左平移、向上平移循环；
当“和点”横、纵坐标之和除以3的余数为1时，则该“和点”先向上平
移，之后向左平移、向上平移循环；当“和点”横、纵坐标之和除以3的
余数为2时，则该“和点”向左平移、向上平移循环.设“和点”Q的坐
标为(m，n)，若(m＋n)÷3的余数为0，则Q2(m＋1，n＋1)，∵Q2分别
向左平移7次、向上平移7次得到Q16(－1，9)，∴m＋1－7＝－1，n＋1
＋7＝9，解得m＝5，n＝1，∴Q(5，1)；
若(m＋n)÷3的余数为1，则Q1(m，n＋1)，∵Q1分别向左平移8次、向上
平移7次得到Q16(－1，9)，∴m－8＝－1，n＋1＋7＝9，解得m＝7，n
＝1，(m＋n)÷3＝8÷3＝2……2，与(m＋n)÷3的余数为1不符；
若(m＋n)÷3的余数为2，则Q(m，n)分别向左平移8次、向上平移8次得到
Q16(－1，9)，∴m－8＝－1，n＋8＝9，解得m＝7，n＝1，∴Q(7，1).
综上所述，“和点”Q的坐标为(5，1)或(7，1).
图形与坐标(2025.12)
命题点
3
4. 如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(1，2)，(－2，－1)，
BC∥x轴，将菱形ABCD平移，使点A与原点O重合，则平移后点C的
对应点的坐标为(　A　)
A. (3 －3，－3) B. (3 －2，3)
C. (3 ＋3，－3) D. (3 ＋3，3)
A
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，则
∠AEB＝90°，∵A(1，2)，B(－2，－1)，BC∥x
轴，∴AE＝3，BE＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝AB＝ ＝3 ，∴C(－2＋3 ，－1)，∵将菱形ABCD平移，使点A与原点O重合，∴点C与点A都向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，∴平移后点C的对应点的横坐标为－2＋3 －1＝3 －3，纵坐标为－1－2＝
－3，∴平移后点C的对应点的坐标为(3 －3，－3).
∟
E
5. (2025河北12题)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整
点.如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形
EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A，B，C三个整点，则平移
后点E的对应点坐标为(　A　)
A
A. (， ) B. (， )
C. (，2) D. (， )
【解析】设直线FG的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，代入F(－1，1)，
G(0，－1)，得 ，解得 ，∴直线FG的解析式为y
＝－2x－1，由题图可知E(1，2).当平移后点E的对应点坐标为
(， )时，平移方式为向右平移 个单位长度，
向上平移 个单位长度，∴直线FG平移后的解析
式为y＝－2(x－ )－1＋ ＝－2x，此时经过原
点，对应的直线EH经过整点(2，1)，符合题意；
B. 当平移后点E的对应点坐标为(， )时，平移方式为向右平移 个单
位长度，向上平移 个单位长度，∴直线FG平移后的解析式为y＝
－2(x－ )－1＋ ＝－2x＋ ，对应的直线EH在
整点(2，1)上方，不符合题意；C. 当平移后点E
的对应点坐标为(，2)时，平移方式为向右平移
个单位长度，∴直线FG平移后的解析式为y＝
－2(x－ )－1＝－2x，此时点(2，0)在正方形内部，不符合题意；
D.当平移后点E的对应点坐标为(， )时，平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度，∴直线FG平移后的解析式为y＝－2(x－ )－1＋ ＝－2x＋ ，此时点(2，1)在正方形内部，不符合题意.(共30张PPT)
第三章　函　数
第五节　反比例函数的图象与性质
节前复习导图
反比例函数
的图象与性质
反比例
函数的
图象
与性质
解析式
k
图象(草图)
所在象限
图象特征
增减性
对称性
反比例函数
中 k 的
几何意义
k的几何意义
常见图形的面积
反比例函数
解析式的确定
待定系数法
利用 k的几何意义
教材知识逐点过
考点
1
反比例函数的图象与性质(6年6考)★重点
解析式 y＝ (k为常数，k≠0)或反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积为常
数，即xy＝k k k 0 k＜0
图象 (草图)
所在 象限 第一、三象限(x，y同号) 第 象限(x，y )
＞
二、四
异号
图象 特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0 增减性 在每个象限内，y随x的增大
而 在每个象限内，y随x的增大而
对称性 关于直线y＝x，y＝－x成 对称；关于 成中心对称 【温馨提示】反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情
况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大” 减小
增大
轴
原点
考点
2
反比例函数中k的几何意义
k的几 何意义 在反比例函数y＝ (k为常数，且k≠0)的图象上任取一点P(x，y)，过这
一点分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的
面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜＝
｜k｜
常见图 形的面 积 S△AOP＝ S△ABP＝ S△ABP＝ 常见图 形的面 积
S△APP'＝2｜k｜(注：点
P，P'关于原点对称) S△APP'＝ (注：点P，P'关于原点对称)
S ABCD＝

｜k｜
｜k｜
考点
3
反比例函数解析式的确定(6年4考)★重点
待定系 数法 1. 设所求反比例函数解析式为y＝ (k≠0)；
2. 找反比例函数图象上一点P(a，b)代入y＝ 中；
3. 确定反比例函数解析式y＝
利用k 的几何 意义 若已知几何图形的面积，考虑用k的几何意义，由面积得关于｜k｜的方
程，再结合反比例函数图象所在象限判断k的正负，从而求出k的值，代
入反比例函数的解析式即可
基础题对点练
1. [人教九下习题改编]已知反比例函数y＝ (k≠0).
(1)当反比例函数的图象在第一、三象限时，k的取值范围为 ；
(2)若点(a，1)，(3，4)在该反比例函数图象上，a的值为 ；
(3)若k＜0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在该反比例函数图象上，且x1＜
x2＜0，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)；
(4)若点P(x，y)在该反比例函数图象上，则点Q(－x，－y) 该反
比例函数图象上(填“在”或“不在”).
k＞0　
12　
＜　
在　
2. [人教九下习题改编]已知正比例函数y＝k1x(k1≠0)与反比例函数y＝
(k2≠0)的图象交于A，B两点，若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标
为 .
3. [冀教九上习题改编]如图，已知A是反比例函数y＝－ 上一点，
AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，则△ABC的面积为 .
(－1，－2)　
2　
4. [北师九上习题改编]已知反比例函数的图象经过点(－2，4)，那么该反
比例函数的解析式为 .
5. [冀教九上习题改编]如图，矩形ABCD的顶点B，
C在x轴上，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点
A，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点D，若矩
形ABCD的面积为10，则k的值为 .
y＝－ 　
－8　
教材变式过重点
反比例函数与一次函数结合
教材原题
例　北师九上P162第8题
已知正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝ 的图象有一个交点的
横坐标是1，求它们两个交点的坐标.
解：根据题意，得a＝6－a，解得a＝3，
则正比例函数的解析式是y＝3x，反比例函数的解析式是y＝ ，
令 ＝3x，解得x＝1或x＝－1，
∴y＝3或－3，则交点坐标是(1，3)或(－1，－3).
变式题
1. 改为已知交点坐标，求系数的和
在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k1x与反比例函数y＝ (k2≠0)的
图象交于点A(－2，y)和点B(x，－4)，则k1＋k2的值为 .
【解析】由题意知A，B两点一定关于原点对称，A(－2，y)，
B(x，－4)，∴A(－2，4).将点A的坐标分别代入直线y＝k1x和反比例函数y＝ 中，得k1＝－2，k2＝－8，∴k1＋k2＝－10.
－10　
2. 改为已知交点，求反比例函数解析式
如图，一次函数y＝ x＋1的图象与反比例函数y＝ (k≠0)的图象在第一象限交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且PB＝4，则反比例函数解析式为 .
y＝ 　
【解析】∵PB＝4，∴点P的纵坐标为4，把y＝4代入y＝ x＋1，得x＝
4，∴点P坐标为(4，4)，把P(4，4)代入y＝ ，得4＝ ，解得k＝16，
∴反比例函数解析式为y＝ .
3. 改为结合线段的平移求反比例函数的解析式
如图，点A(m，2)在反比例函数y＝ (k≠0，x＜0)的图象上，点B在y轴
正半轴上，OB＝1，将线段AB向左下方平移，得到线段CD，此时点C
落在反比例函数的图象上，点D落在x轴负半轴上，且OD＝1，求反比
例函数的解析式.
解：∵OB＝1，且点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为(0，1)，
∵OD＝1，且点D在x轴负半轴上，
∴点D的坐标为(－1，0)，
∵线段CD是由线段AB平移得到的，
∴xC－xD＝xA－xB＝m，yC－yD＝yA－yB＝2－1＝1，
∴xC＝m－1，yC＝1，
∴点C的坐标为(m－1，1)，
∵点A和点C均在反比例函数y＝ (k≠0，x＜0)的图象上，
∴2m＝m－1，解得m＝－1，
∴A(－1，2)，C(－2，1)，
将A(－1，2)代入y＝ 中，得2＝ ，
∴k＝－2，
∴反比例函数的解析式为y＝－ (x＜0).
河北中考真题精选
反比例函数的图象与性质(6年6考)
命题点
1. (2024河北7题)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，
若平均每天用电x度，则能使用y天.下列说法错误的是(　C　)
A. 若x＝5，则y＝100
B. 若y＝125，则x＝4
C. 若x减小，则y也减小
D. 若x减小一半，则y增大一倍
C
2. 　　　　　　　 (2025石家庄模拟)某种气球内充满
了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p(kPa)是气球体
积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa
时，气球将会爆炸，为了安全，气球的体积应该(　A　)
A
新考法
跨物理学科
A. 不小于 m3 B. 小于 m3
C. 不大于 m3 D. 小于 m3
3. (2025河北10题)在反比例函数y＝ 中，若2＜y＜4，则(　B　)
A. ＜x＜1 B. 1＜x＜2
C. 2＜x＜4 D. 4＜x＜8
【解析】∵在反比例函数y＝ 中，4＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而
减小，当y＝2时，x＝ ＝2，当y＝4时，x＝ ＝1，∴当2＜y＜4时，1
＜x＜2.
B
4. (2025邢台模拟)若2≤x≤3时，反比例函数y＝ (k＞0)中y有最大值
m，则对于－4≤x≤－2时，反比例函数y＝ (k＞0)中y有(　D　)
A. 最大值为2m
B. 最大值为 m
C. 最小值为－ m
D. 最大值为－ m
D
【解析】由条件可知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限
内，y随x增大而减小，∵当2≤x≤3时，反比例函数y＝ (k＞0)中y有
最大值m，∴m＝ ，∴k＝2m，当－4≤x≤－2时，则y的最大值为
＝－ ，最小值为 ＝－m，故选D.
5. (2022河北12题)某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人
完成需12天.若m个人共同完成需n天，选取6组数对(m，n)，在坐标系
中进行描点，则正确的是(　C　)
C
【解析】∵每人每天完成的工作量相同，一个人完成需12天，m个人完
成需要n天，∴n＝ ，∴数对(m，n)在坐标系中的点在反比例函数n
＝ 的图象上.
6. 　　　　　　　　　　 (2023河北17题)如图，已知点A(3，3)，
B(3，1)，反比例函数y＝ (k≠0)图象的一支与线段AB有交点，写出一
个符合条件的k的整数值： .
4(答案不唯一，符合条件即可)
新考法
结论开放
【解析】当y＝ (k≠0)的图象经过点A(3，3)时，则3＝ ，解得k＝9，
当y＝ (k≠0)的图象经过点B(3，1)时，则1＝ ，解得k＝3，
∴反比例函数图象的一支与线段AB有交点时，k的取值范围为3≤k≤9，∴符合条件的k的整数值可以为3，4，5，6，7，8，9.(任选其一，答案不唯一，符合条件即可)
7. (2020河北19题)如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1～8的整数)，函数y＝ (x＜0)
的图象为曲线L.
(1)若L过点T1，则k＝ ；
【解析】∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T8(－2，8)，T7(－4，7)，
T6(－6，6)，T5(－8，5)，T4(－10，4)，T3(－12，3)，T2(－14，2)，
T1(－16，1)，∴当L过点T1时，1＝ ，解得k＝－16.
－16　
(2)若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
【解析】若L过点T4，则4＝ ，解得k＝－40，∴y＝ ，
∴L还过点T5(－8，5)，即m＝5.
5　
7. (2020河北19题)如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1～8的整数)，函数y＝ (x＜0)
的图象为曲线L.
(3)若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个.
【解析】如解图，若曲线L使得T1～T8这些点分布
在它的两侧且每侧各4个点，则点T3～T6在L的同
一侧，点T1，T2，T7，T8在L的另一侧.∵当L经
过点T2(或T7)时，k＝－14×2＝－4×7＝－28，
当L经过点T3(或T6)时，k＝－12×3＝－6×6＝
－36，∴－36＜k＜－28，即k的整数值有7个.
解图
7　
8. (2021河北19题)用绘图软件绘制双曲线m：y＝ 与动直线l：y＝a，
且交于一点，图①为a＝8时的视窗情形.
(1)当a＝15时，l与m的交点坐标为 ；
【解析】当a＝15，即y＝15时， ＝15，解得x＝4，∴l与m的交点坐
标为(4，15).
(4，15)　
(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心.
例如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图①中坐标系的单位长度变为原来的 ，其可视范围就由－5≤x≤15及－10≤y≤10变成了－30≤x≤30及－20≤y≤20(如图②).
当a＝－1.2和a＝－1.5时，l与m的交点分别是点A和点B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图①中坐标系的单位长度至少变为原来的 ，则整数k＝ .
4　
【解析】当a＝－1.2，即y＝－1.2时， ＝－1.2，解得x＝－50，∴点A的坐标为(－50，－1.2)；当a＝
－1.5，即y＝－1.5时， ＝－1.5，解得x＝－40，
∴点B的坐标为(－40，－1.5).
∵要能看见m在A，B之间的一整段图象，
∴－15k≤－50，解得k≥ ，
∴整数k至少为4.

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