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【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11.
3 4
12. ( , )
5 5
5
13. + √ 6
2
14. ( ∞, 1) ∪ (0,3)
15. 解：(1)由sin2 = √ 3sin ，得2sin cos = √ 3sin ，
√ 3
在△ 中，sin ≠ 0，∴ cos = ，
2

在△ 中， ∈ (0, )，∴ = ；
6
1 1 1
(2) △ = sin = × × 4 × = 2√ 3，∴ = 2√ 3， 2 2 2
√ 3
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 12 + 16 2 × 2√ 3 × 4 × = 4，
2
∴ = 2，∴ + + = 2√ 3 + 4 + 2 = 6 + 2√ 3，
∴△ 的周长为6 + 2√ 3．
16. 解：(Ⅰ)①若直线 1过原点，则 1在两坐标轴的截距都为0，满足题意，
此时则 2 + 4 = 0，解得 = 2，

②若直线 1不过原点，则斜率为 = 1，解得 = 2． 2
因此所求直线 1的方程为 = 0或 + 4 = 0．
(Ⅱ)①若 1// 2，则 × 4 = 2 ×
2，解得 = 0或 = 2．
当 = 0时，直线 1: 2 + 4 = 0，直线 2: 4 8 = 0，两直线重合，不满足 1// 2，故舍去；
当 = 2时，直线 1: + 4 = 0，直线 2: + 6 = 0，满足题意，
因此所求直线 2: + 6 = 0．
17. 证明：(1)平行六面体 1 1 1 1中， // 1 1，
又 平面 1 1 , 1 1 平面 1 1 ；
得 //平面 1 1 ；
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(2)在平行六面体 1 1 1 1中， 1 = ，
得四边形 1 1是菱形， 1 ⊥ 1B.
在平行六面体 1 1 1 1中， 1 = ， 1 ⊥ 1 1 1 ⊥ ．
又 1 ∩ = ， 1 平面 1 ， 平面 1
得 1 ⊥面 1 ，
且 1 平面 1 1
∴平面 1 1 ⊥平面 1 ．
18. (1)证明：因为 = 1， = 2， = √ 5，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)解：因为 = √ 2， = = 1，所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ．
由(1)可知 ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图
所示的空间直角坐标系 .则 (0,0,0)， (1,1,0)， (0,0,1)， (0,2,0)，
1 1
当点 为棱 的中点时， (0,1, )， = (1,1, 1)， = (1,1,0)， = (0,1, ).
2 2
设平面 的一个法向量 = ( 0, 0, 0)，
= 0,
则{ 即令 0 = 1，解得 0 = 1， 0 = 2，故 = (1, 1,2)， = 0,
设直线 与平面 所成角为 ，则sin = |cos <
2 √ 2
， > | = = ，
√ 6×√ 3 3
故直线 与平面 所成角的正弦值为√ 2．
3
(3)解：由(2)可知 = (0,0,1)， = (1,1,0)，设 = = (0,2 , )(0 ≤ ≤ 1)，则 = +
= (0,2 , 1 )，
= 0, + = 0,
设平面 的一个法向量 1 1 11 = ( 1, 1, 1)，则{ 即{ 令 = 1 .解得 = = 0, 2 1 + (1 ) = 0,
1 1
1 1
1， 1 = 2 ，故 1 = ( 1,1 , 2 )，
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= 0, + = 0,
设平面 的一个法向量为 2 = ( 2,
2 2 2
2, 2)，由{ 得{ 令 = 1，解得 = 1，

2 2
2 = 0,
2 = 0,
2 = 0，故 2 = (1, 1,0)，
|2 2| 3√ 11
所以|cos 1 , 2 | = = 11 ，
√ 2 6 4 +2 √ 2
| 1| 3√ 11 1 1
即 = 11 ，整理，得8 2 + 2 1 = 0，解得 = 或 = (舍去)．
√ 2 3 2 +1 4 2
1
故 = ．
4
19. 解：(1)由题意，得函数
( ) = 2sin cos + 2√ 3 2 √ 3
1 √ 3
= sin2 + √ 3cos2 = 2( sin2 + cos2 )
2 2

= 2 (2 + )，
3

由2 ≤ 2 + ≤ 2 + ( ∈ )，
2 3 2
5
解得 ≤ ≤ + ( ∈ )，
12 12
5
所以 ( )的单调递增区间为[ , + ]( ∈ )；
12 12

(2)当 ∈ [ , ]时，2 + ∈ [ , ]，
3 3 3 3
√ 3
所以sin(2 + ) ∈ [ , 1]，
3 2
则 ( ) ∈ [ √ 3, 2]，

当2 + = 即 = 时，
3 3 3
函数 ( )取得最小值为 √ 3；

当2 + = 即 = 时，
3 2 12
函数 ( )取得最大值为2；
5
(3)由题意得 ∈ [ , ]时，
6 6
1
( ) ( + )
2 6 12
= 2 sin 2cos2 ≥ 4有解，
2+ 2
而此时 > 0，即 ≥ 有解，

2+ 2
只需要 ≥ ( )

即可，
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2 + cos2 3 2 2
=
sin sin
3 5
= 2sin ， ∈ [ , ]，
sin 6 6
1
令 = , ∈ [ , 1]，
2
3 1
则 = 2 在[ , 1]上单调递减，
2
2+ 2
所以当 = 1时， = 1，即( ) = 1，
所以{ | ≥ 1}．
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