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第三部分 练仿真 冲刺合格考
湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷(一)
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求.)
1.命题“ x∈R,x2-2x+1>0”的否定为 ( )
A. x0∈R,x20-2x0+1>0 B. x∈R,x2-2x+1≥0
C. x∈R,x2-2x+1≤0 D. x0∈R,x20-2x0+1≤0
2.已知集合 M={1,2,3},N={1,3,4},则 M∩N 等于 ( )
A.{1,3} B.{1,2,3,4}
C.{2,4} D.{1,3,4}
3.若复数3+4i=3+bi,i为虚数单位,则b= ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
4.若α是第一象限角,且cosα=4,则5 sinα=
( )
A.35 B.1 C.
1 3
2 D.2
5.函数f(x)= x+3+ 1 的定义域是 (x+2
)
A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)
C.[-3,-2)∪(-2,+∞) D.[-3,2)∪(2,+∞)
6.不等式x2-4>0的解集是 ( )
A.{x|-2C.{x|x>2} D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
7.“x=3”是“|x|=3”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
x+1,x≤1
8.函数f(x)= 则f(f(4))= ( )-x+3,x>1
A.0 B.-2 C.2 D.6
·1·
9.下列函数中为偶函数的是 ( )
A.y=cosx B.y=sinx C.y=x3 D.y=2x
10.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1= ( )
A.1
B.2
C.2
D.3
→ →
11.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且OA=a,OB
=b,
→
则BC可以表示为 ( )
A.a+b
B.a-b
C.b-a
D.-a-b
12.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),
制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围
是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),
[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这200名
学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( )
A.56 B.60
C.140 D.120
13.已知a=0.23,b=0.32,c=0.33,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.aC.c14.甲、乙两位同学的5次数学学业水平模拟考试成绩的方差分别为10.2和14.3,则以下解释比
较合理的是 ( )
A.甲比乙的成绩稳定 B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙的成绩稳定性无差异 D.甲比乙的成绩的标准差大
15.中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个
大于2的偶数可以表示为两个素数的和”.如4=2+2,6=3+3,8=3+5,…,现从3,5,7,11,
13这5个素数中,随机选取两个不同的数,其和等于16的概率是 ( )
A.1 B.1 C.310 5 10 D.
2
5
·2·
16.函数y=cos 1x+π2 3 ,x∈R的最小正周期是 ( )
A.π2 B.π C.2π D.4π
17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,若AA1=1,AB=A1C= 2,B1C1=2,
则异面直线A1C与B1C1 所成的角的余弦值为 ( )
A.1 B.32 6
C.6 3 26 D.8
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,A=30°,则△ABC的面积最大值为
( )
A.2+ 3 B.3+2 3
C.4+2 3 D.2+2 3
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)
19.已知0≤x≤4,则x(4-x)的最大值是 .
20.在△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a= 3,b= 2,A=60°,则B 的度数为
.
21.若函数f(x)=ax-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A 坐标为 .
22.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且向量b在向量a 上的投影向量为-1 ,则2a |a+2b|=
.
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算
步骤.)
23.某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管,随机选取了100名参保群
众,就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查,并将这100人的问卷根据
其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成如图所示频率
分布直方图.
·3·
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)已知满意度评分值在[80,90)内的男生数与女生数的比为3∶2,若在满意度评分值为[80,
90)的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人,并分别依次进行座谈,求前2人均为男生
的概率.
·4·
24.如图,O 是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角
形,C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D,求证:AC∥平面POD;
(2)如果△PAB 的面积是9,求此圆锥的表面积.
·5·
25.已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.
(1)求f(m+1)的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
·8·
■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■
湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷(一)
数学答题卡
姓 名
准考证号
考生条形码粘贴处
考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考
标记
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘
填 正确填涂 注 贴的条形码;
涂 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体
样 错误填涂 事 工整,笔迹清楚;
例 项 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无
效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本大题共18小题,每小题3分,共54分.
1.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 13.[A][B][C][D]
2.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 14.[A][B][C][D]
3.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 15.[A][B][C][D]
[ ][][][] 4.A B C D 10.[A][B][C][D] 16.[A][B][C][D]
5.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 17.[A][B][C][D]
6.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 18.[A][B][C][D]
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
19. 21.
20. 22.
■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■
·6·



■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■
三、解答题:本大题共3小题,每小题10分,共30分.
23.(10分)
24.(10分)
25.(10分)
■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■
·7·参考答案
第三部分 练仿真 冲刺合格考 11.D 在平行四边形ABCD 中,依题意,O
→C O→=- A
=-a, O→而 B=b, → → →所以BC=OC-OB=-a-b.故
湖南省普通高中学业水平合格性考试 选:D.
仿真模拟卷(一) 12.C 由题意得,自习时间不少于22.5小时的频率
为( )
1.D 命 题“ x∈R,x2-2x+1>0”的 否 定 为 0.16+0.08+0.04 ×2.5=0.7
,故自习时间
“ ,2 不少于 小时的人数为
,故
x0∈Rx0-2x0+1≤0” :
22.5 0.7×200=140
故选 D.
选
2.A 因为 M={1,2,3},N={1,3,4},
C.
所以 M∩N=
13.A 因为 =0.3x 在定义域上单调递减,所以0.32
{1,3};故选:
y
A.
>0.33,又y=x3 在定义域上单调递增,所以0.33
3.C 因为3+4i=3+bi,所以b=4.故选:C. >0.23,所以0.32>0.33>0.23,即b>c>a,故
4.A 因为α是第一象限角,且cosα=4,所以5 sinα
选:A.
14.A 由已知甲乙的方差知:10.2<14.3,即甲比乙
= 1-cos2α= 1-16=3,故选:25 5 A. 的成绩稳定,甲比乙的成绩的标准差小,所以 A
,、、
x 正确 BCD错误.故选
:
+3≥0 A.
5.C 根据题意可得 ,所以x∈[-3,-2)∪ 15.B 从3,5,7,11,13这5个素数中,随机选取两个x+2≠0
不同的数共有(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,(-2,+∞).故选:C.
7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)10
6.D x2-4=(x+2)(x-2)>0,解得x<-2或x>2,
种可能,其和等于16的结果(3,13),(5,11)2种
所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故
选:D. 等可能的结果,所以概率P=
2 1 故选:
10=5. B.
7.A 因为x=3 |x|=3,但是|x|=3 x=±3,所
16.D 函 数 y=cos 1x+π ,T=2π=4π.故
以“x=3”是“|x|=3”的充分不必要条件.故选:A. 2 3 1
2
x+1,x≤1
8.A 由 f(x)= ,则 f(f(4))= 选:D.-x+3,x>1
( ) 17.D 如图
,连接 AB,则 AB= 12+(2)2= 3,
f -1 =-1+1=0.故选:A. 1 1
, , , ,
9.A 对于A:y=cosx
由题知 所
的定义域为 R.因为f(-x) AC=1AB= 2BC=2 ∵B1C1∥BC
=cos(-x)=cosx=f(x),
以 即为所求角或其补角,所以
所以y=cosx 为偶函
∠A1CB cos∠A1CB=
π A
2
1C +BC2-AB21 2+4-3 3 3 2
数.故 A 正 确;对 于 B:对 于y=sinx,f = = = .故2 = 2A1C·BC 2× 2×2 4 2 8
选:
sinπ2=1
,f -π2
D.
=sin -π = -1,不 满 足2
f(-x)=f(x),故y=sinx 不是偶函数.故B错
误;对于C:对于y=x3,f(1)=13=1,f(-1)=
(-1)3=-1,不满足f(-x)=f(x),故y=x3 不
是偶函数.故C错误;对于D:对于y=2x,f(1)=
21=2,f(-1)=2-1=1,不满足2 f
(-x)=f(x),
18.A 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+
故y=2x 不是偶函数.故D错误;故选:A.
c2- 3bc=4≥2bc- 3bc(当且仅当b=c时取等
10.B 在长方体中,BD21=AB2+AD2+AA2 21,则2=
2 2 2 号),, ∴bc≤
4 =4(2+ 3)=8+4 3,∴S
1+1+AA 解得AA = 2.故选B. △ABC1 1 2- 3
·49·

1 1 , A3B1,B1A3,A3B2,B2A3, , 共= bcsinA= bc≤2+ 3 ∴△ABC 面积的最 B1B2 B2B1 20
个,
2 4 设“前2人均为男生”为事件 A,其包含的基本事
大值为2+ 3.故选:A. 件有:A1A2,A2A1,A1A3,A3A1,A2A3,A3A2 共
19.解析:因为0≤x≤4,故4-x≥0,则x(4-x)≤ 6个,
1(
4 x+4-x
)2=4,
所以P(A)=620=
3
10.
当且仅当x=4-x,即x=2时,取得最大值4.故
24.解:(1)∵AB 是底面圆的直径,
答案为:4.
∴AC⊥BC
答案:4.
∵弧BC 的中点为D,
20.解析:由正弦定理: asinA=
b ,可得:
sinB sinB= ∴OD⊥BC
bsinA 2 又AC,OD 共面,= ,由a>b可得a 2 A>B
,则:∠B=45°.
∴AC∥OD
答案:45° 又AC 平面POD,OD 平面POD,
21.解析:令x-1=0,则x=1,f(1)=a1-1+1=2, ∴AC∥平面POD.
所以函数图像恒过定点为(1,2).故答案为:(1,2) (2)设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,
答案:(1,2) ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形,
22.解析:设向量a,b的夹角为θ,
∴h=r,l= 2r
因为向量b在向量a 上的投影向量为-12a
,所以
由S 1 2△PAB=2×2rh=r =9
,得r=3
b ·cosθ· a =-1a,a 2 ∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=πr× 2r+πr2=
又 a =2,b =4,解得:cosθ=-1, ( )4 91+ 2π.
因为 a+2b 2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2= 25.解:(1)由f(1)=2,f(2)=-1,
68+4a · bcosθ=60, 得a+b=2,2a+b=-1,
即a=-3,所以 a+2b =215. b=5
,
故f(x)=-3x+5,
故答案为:215.
f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.
答案:215 (2)证明:任取x 23.解:(1)依题意,得(
1 2 1 2
0.005+x+0.035+0.030+
则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=
0.01)×10=1,解得x=0.02;
() ( ) , 3x -3x =3
(x -x ),
2 因为 0.005+0.02 ×10=0.25<0.50.25+ 1 2 1 2
因为 ,
0.035×10=0.6>0.5, x1[ , ) , , 所以f(x2)所以中位数在 7080 间 设为m -f
(x1)<0,
540 即函数f(x)在R上单调递减.则0.25+(m-70)×0.035=0.5,解得m= 7 . 湖南省普通高中学业水平合格性考试
(3)依题意,因为满意度评分值在[80,90)的男生 仿真模拟卷(二)
数与女生数的比为3∶2,
按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人,则抽 1.B 在复平面内,复数z=-1+i对应的点为(-1,
中男生3人,女生2人,依次分别记为A ,A ,A , 1),在第二象限.故选:B.1 2 3
B ,B , 2.B 函数y=tanx的最小正周期是 ;故选:1 2 π B.
对这5人依次进行座谈,前2人的基本事件共有: 3.C 因为 A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},所以
A1A2,A2A1,A1A3,A3A1,A1B1,B1A1,A1B2, A∩B={0,2},A∪B={-2,-1,0,1,2}, BA=
B2A1,A2A3,A3A2,A2B1,B1A2,A2B2,B2A2, {-2,-1,1}, AB 不存在,故选:C.
·50·

4.C 因为用分层抽样的方法,所以应抽取的男生人 小到大排列为-1,1,2,4,4,8,6×0.5=3,所以该组
数为9×25=5,故选:C. 数据第50百分位数是2+4=3,C选项错误;方差是45 2
5.D 根据函数的定义,对于一个x,只能有唯一的y -1-3 2+ 1-3 2+ 4-3 2+ 4-3 2+ 2-3 2+ 8-3 2
6
与之对应,只有D满足要求,故选:D.
→ 48 , 选项错误
6.A 根据向量加法的平行四边形法则可得AB+ =6=8D .
故选:B.
A→D →=AC,故选:A. 17.A 根据图像知:T=π,故T=π,ω=2,排除C.当
7.D 对于 A,四棱锥共有八条棱,故 A错误;对于 2 2
B,五棱锥共有六个面,故B错误;对于C,六棱锥共 x=0时y=3,排除B,当x=π时,y=-1,排除2
有七个顶点,故C错误;对于D,根据棱锥的定义 D.故选:A.
知,D正确.故选:D. 18.D 连接BC1,A1C1,在长方体 ABCD-A1B1C1D1
8.D 因为平面α∥平面β,m α,n β,所以 m,n无 中,易知 AD1∥BC1,所以∠A1BC1 为 异 面 直 线
公共点,所以m,n是不相交直线,故选:D. A1B 与AD1 所成角或其补角,又在长方体 AB-
9.A 当a=1时,a2=1,充分性成立;反过来,当a2= CD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2BC=2,所 以
1时,则a=±1,不一定有a=1,故必要性不成立,
2 A1B=BC1= 5,AC“ ” “ ” 1 1
= 2,在△A1BC1 中,由余
所以 a=1 是 a =1 的 充 分 而 不 必 要 条 件.故
选:A. 弦定理得cos∠A
5+5-2
1BC1= =
4.因为异
2× 5× 5 5
10.D 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=12+
面直线所成的角的取值范围是 ,π ,所以异面
22-2×1×2×1
0
2=3
,∴b= 3.故选:D. 2
直线 与 所成角的余弦值为4
11.C 根 据 对 数 的 换 底 公 式 得,log12=lg12
A1B AD1 5.
5 lg5=
lg3+lg4
lg10-lg2=
lg3+2lg2 2a+b,故选:
1-lg2 =1-a C.
12.C 由1<1<0,得b∴a2b<0,ab>0,
∴a+b13.B 设事件A 为只用现金支付,事件B 为只用非
故选:D.
现金支付,则P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(AB)
19.解析:原不等式可化为(x+2)(x-3)≤0,-2≤x
=1因为P(A)=0.45,P(AB)=0.15,所以P(B)
≤3.故答案为:[-2,3].
=0.4,故选B.
答案:[-2,3]
14.A f(1)=1-4+6=3,当x≥0时,x2-4x+6>
20.解析:由于命题“ x∈R,x2+2x+a≤0”是 假
3,所以0≤x<1或x>3;当x<0时,x+6>3,所
命题,
以-3f(1)的解集是
则该命题的否定“ x∈R,x2+2x+a>0”是真
(-3,1)∪(3,+∞),故选:A.
命题,
15.A 因为ccosB=a,所 以 由 余 弦 定 理 可 得c·
∴Δ=4-4a<0,解得a>1.
a2+c2-b2 ,即 2
2ac =a a +c
2-b2=2a2,所以c2=a2 因此,实数a的取值范围是(1,+∞).
b2, , :(, )+ 所以三角形的形状为直角三角形 故选:A. 故答案为 1 +∞ .
, ; 答案:(1,+∞)16.B 该组数据的众数是4A选项错误 平均数是
21.解析:根据斜二测画法的原则,由直观图知,原平-1+1+4+4+2+8=3,B选项正确;该组数据从6 面图形为直角三角形,且 AC=A'C'=3,BC=
·51·

2B'C'=4,所以AB2=AC2+BC2=9+16=25,所 10+9+8+6+7=8,
以AB=5, 5
2 2 2 2 2
故AB 边上中线长为AB=5
(10-8)+(9-8)+(8-8)+(6-8)+(7-8)
2 2=2.5.
故答案为: 5
2.5. = 2,所以乙的平均数为8,标准差为 2.
答案:2.5 (2)由(1)可知,甲、乙两名学生射箭命中环数的平
22.解析:白球编号为1,2,黑球记为a,b,c, 均数相等,但甲的标准差小于乙的标准差,这表明
共有10种 摸 法:(1,2),(1,a),(1,b),(1,c), 甲的成 绩 比 乙 更 稳 定 一 些.故 选 择 甲 参 赛 更
(2,a),(2,b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c). 合适.
其中,摸出两个黑球的方法有(a,b),(a,c),(b,c)共 25.解:(1)在ΔABC 中,
3种, 由正 弦 定 理 a b ,得
sinA =sinB 3sinBsinA=
故摸出2个黑球的概率为P=310. sinAcosB.
答案:3 又因为在ΔABC 中sinA≠0.
10
所以
:() 3sinB=cosB.23.解 1 在三棱锥A-BCD 中,取棱AC 的中点E,
法一:因为0所以tanB=sinBcosB=
3,
3
所以B=π6.
法二:3sinB-cosB=0即2sin B-π6 =0,
由AB=BC=AD=DC=2,得BE⊥AC,DE⊥AC,
所以B-π6=kπ
(k∈Z),因为0而 BE∩DE=E,BE 平 面 BDE,DE 平 面
BDE,因此AC⊥平面BDE,又BD 平面BDE, 所以B=π6.
所以AC⊥BD.
()
() , , 2 由正弦定理得
a = c ,
2 由a=2 2 得 AE=CE= 2 而 AB=2, sinA sinC
AE⊥BE,则 BE= AB2-AE2= 2,同 理 DE 而sinC= 3sinA,
= 2, 所以c= 3a,①
又BD=2,于是BE2+DE2=BD2,有BE⊥DE, 由余弦定理b
2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2
π
因此△BDE 的面积S=1BE·DE=1, -2accos ,2 6
由(1)知 AC⊥平 面 BDE,则VA-BCD =VA-BDE + 即a2+c2- 3ac=9,②
V 1 1 1 1 把 代入 得 ,C-BDE= AE·S+ EC·S= × 2×1+ × ① ② a=3c=3 3.3 3 3 3
湖南省普通高中学业水平合格性考试
2×1=2 2,3 仿真模拟卷(三)
所以三棱锥A-BCD 的体积是2 2 1.A 由已知,集合A={0,1,2,3},B={2,4},所以3 .
A∩B={2}.故选:A.
24.解:(1)8+9+7+9+7=8,5 2.B 由题意知,2π=360°,所以π=180°.故选:B.
(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2 3.D A.y= x
4定义域为 R,y=(x)4 定义域为
5 [0,+∞),
3
定义域不同,不是同一函数;B.y= x3
2
=2 5,所以甲的平均数为 ,标准差为2 5; 定义域为5 8 5 R
,y=x 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),x
·52·

定义域不同,不是同一函数;C.y= x2+x 定义域 14.B 因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为
为(-∞,-1]∪[0,+∞),= x· x+1 90°,所以|a+b|= (a+b)2= a2+2a·b+b2y 定义域 =
为[0,+∞),定义域不同,不是同一函数;D.y= 1+4= 5,故选:B.
1 与y= 1 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 15.D 对A,b可能在平面α,故A错误;对B,a,b可x x2
能相交,故B错误;对C,b可能在平面α,故C错
y= 1 = 1 ,故两函数为同一函数.故选:2 x D. 误;利用排除法,故D正确;故选:D.x
→ → → → → → → → 16.D 由图可知函数的定义域中不含0,且函数图像
4.A AC-BD+CD-AB=AC+DB+CD+BA=
→ → 关于原点对称,f(x)=x+cosx 与f(x)=x-AC+CD+D→B →+BA=0.故选:A. cosx的定义域均为R,不符合题意,故A、B错误;
( )
5.B 因为复数 i i1-3i i+3 31+3i=(1+3i)(1-3i)=10=10+ 对于C:f(x)= x ,则cosx f
(0)= 0 ,故 错cos0=0 C
1i.故选:10 B. 误;对于D:f(x)=cosx定义域为{x|x≠0},且
6.C 由于98>55,
x
所以98不能作为编号.故选:C.
( )
7.A 因为a,b∈R,且a(x),符合题
得a+3A正确,BCD错误,故选:A. 17.C 因为a,b都是正数,所以 1+b 1+4a =5
8.B 由题意可知f(2)=a2
a b
=4,解得a=2或a=-2
(舍).故选:B. +b+4a≥5+2 b·4a=9,当且仅当a b a b b=2a>
9.C “棉花的纤维长度大于275mm”的概率为50×
0时取等号.故选:C.
0.0040+50×0.0064=0.52.故选:C.
在长方 中,因为平面
10.D 从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人的基本事件 18.B ABCD-A1B1C1D1 ABCD∥
有(甲、乙),(甲、丙),(甲、丁),( , ,乙、丙),(乙、丁), 平面A1B1C1D1 A1C1 平面 A1B1C1D1 所以B
(丙、丁),共6种,甲 被 选 中 的 基 本 事 件 有(甲、 正确,A、C错误;因为A1C1∩平面BCC1B1=C1,
乙),(甲、丙),(甲、丁),共3种,所以甲被选中的 所以A1C1 与平面BCC1B1 不平行,故D错误.故
概率为p=3=1,
选:
故选:D. B.6 2 19.解析:由于是任意取一球,所以是随机事件,故答
11.D 因为一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集
案为:随机.
是 -1,12 3 ,所以方程ax2+bx+2=0的两根 答案:随机
x-1
-1 1 b 20.解析:当x≥0时,f(x)=e =1,得x=1;当x<2 +3=-a
为-1和1,且a<0,所以 , 0时,f(x)=x
2=1,得x=-1,综上,x=±1,故
2 3 -1 ×1 2 答案为: 2 3=a ±1.
解得:a=-12,b=-2,所 以a+b=-14,故 答案:±1
选:D. : a a( )21.解析 ∵1+bi= 1-i a a1+i=(1+i)(1-i)=2-2i
,则
12.C 函数y= x的定义域为[0,+∞),函数y= a
log2x的定义域为(0,+∞),

函数y=x3 的定义域 2=1 a=2
,解得 ,
为R,函数y=1的定义域为{x x x≠0
}.故选:C. b=-a b=-1 2
13.A 偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则
因此,a+bi= 2-i= 22+(-1)2= 5.
由偶函数的图像关于y 轴对称,则有f(x)在[1,
2]上单调递增,即有最小值为f(1),最大值f(2). 故答案为:5.
对照选项,A正确.故选:A. 答案:5
·53·



22.解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以 湖南省普通高中学业水平合格性考试
5=2+c2-2c,所以c=3或c=-1(舍去),所以 仿真模拟卷(四)
S 1△ABC=2bcsinA=
3.故答案为:32 2. 1.B 集合A={x∈N|- 3≤x≤ 3}={0,1}.对于
答案:32 A:-1∈A 不对.对于B:0∈A 对;对于C:3∈A
23.解:(1)由频率分布直方图得样本平均分 不对;对于D:2∈A 不对.故选:B.
x=55×0.15+65×0.25+75×0.4+85×0.15+ 2.B ∵z=(2+i)i=2i+i2=-1+2i,∴z对应的复
95×0.05=72. 平面内的点为(-1,2),位于第二象限.故选:B.
因此,初赛平均分的估计值为72分. 3.A 若x=4,则24=42=16,即2x=x2 成立,故充
(2)根据频率分布直方图,设40名选手进入复赛 分性成立;显然x=2时22=22=4,即2x=x2,故由
的最低分数为x,依题意成绩落入区间[90,100] 2x=x2 推不出x=4,故必要性不成立;故“x=4”是
的频率是0.05,成绩落入区间[80,90)的频率是 “2x=x2”的充分不必要条件;故选:A.
0.15,按初赛成绩由高到低进行排序,前12.5% 4.C 不等式ax2-5x+c<0的解集为{x|2的初赛选手进入复赛,可判断x在[80,90)内, 以2,3是方程ax2-5x+c=0的两个实数根所以
则(90-x)×0.015+0.05=0.125,解得x=85.
因此,估 计 能 进 入 复 赛 选 手 的 最 低 初 赛 分 数 为 2+3=
5,2×3=c,则a=1,c=6,故选:a a C.
85分. 5.C 对命题“任意x∈R,都有x2+3x+2>0”的否
2
24.解:(1)由于 D,E 分别是PA,PC 的中点,所以 定为:存在x∈R,使得x +3x+2≤0.故选:C.
DE∥AC, 6.B cos76°sin59°-cos121°sin104°=cos76°sin59°-
由于DE 平面ABC,AC 平面ABC, cos(180°-59°)sin(180°-76°)=cos76°sin59°+
所以DE∥平面ABC. cos59°sin76°=sin(76°+59°)=sin135°= 2 故
() 2
.
2 依题意PC⊥平面ABC,所以PC⊥AC.
选:
, , B.由于AB 是圆O 的直径 所以AC⊥BC →
由于PC∩BC=C,所以AC⊥平面PBC, 7.A 由A(1,3),B(4,-1),所以AB=(3,-4),所
A→由于DE∥AC,所以DE⊥平面PBC, → B以向量AB的 方 向 相 反 的 单 位 向 量 为- → =
由 于 DE 平 面 BDE,所 以 平 面 BDE⊥ 平 AB
面PBC. -3,45 5 .故选:A.
25.解:(1)根据题意,得200 5x+1-3x ≥3000, 8.C 这两个班学生的数学总分为ma+nb,故这两个
整理,得5x-14-3≥0,即5x2-14x-3≥0, 班学生的数学平均分为
ma+nb 故选:
x m+n
. C.
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10. 9.C 对于A,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m 与α 相
故要 使 生 产 该 产 品2小 时 获 得 的 利 润 不 低 于 交或m⊥α,故A错误;对于B,由 m∥β,β⊥α可得
3000 ,x [3,
,
10]. m∥α或m 与α相交或m α 故B错误
;对于C,由元 的取值范围是
() , m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以2 设利润为y元 m⊥α
,故C正
确;对于D,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m 与
则y=900·x 100 5x+1-3x α相交或m α,故D错误.故选:C.
π 2π=9×104 5+1x-3 10.C 因 为 y=3sin x-5 =3sin x-x2 5 +
2 π
=9×104 -3 1-1 +61 , ,所以只要把函数5 y=3sinx+
π 图像上所
x 6 12 5
故当x=6时,ymax=457500. 有的点向右平行移动2π个单位长度,即可得到函5
故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该
数
产品时获得的利润最大,最大利润为457500元. y=3sin x-π 的图像.故选:5 C.
·54·

11.B 2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比2013 B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},
年多,A错;2013—2018年,空气中细颗粒物的年 {c,A,B}共10种.其中恰有2只做过测试的取法
日均值逐年下降,B正确;2007年(含2007年)之 有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,
前空气中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立 A},{b,c,B}共6种,所以恰有2只做过测试的概
方米,C错;2000—2018年,空气中二氧化硫的年 率为6=3,选B.
日均值最低的年份是2018年,D错.故选:B. 10 5
-1.5 18.D 作出分段函数f(x)的图像,如图
12.D y =40.9=21.81 ,y2=80.48=21.44,y3= 12
=21.5,根据y=2x 在 R上是增函数,所以21.8>
21.5>21.44,即y1>y3>y2.故选:D.
13.B ∵f(x)=2sin2x+ 5cos2x=3sin(2x+φ),
其中tan = 5φ ,2 ∴f
(x)最小正周期T=2π 故2=π.
选:B.
14.D ∵ a = b =1,向量a与b 的夹角为60°,
方程 (
· · x
)-m=0有4个互不相等的实根,则函
∴a b= a bcos60°=1 f2 数y=f(x)与 直 线y=m 有4个 交 点,当 m∈
∴ 3a-4b = (3a-4b)2 (-1,1)时,符合题意,但f(x)是 R上的奇函数,
= 9a 2-24a·b+16b 2 有f(0)=0,故m≠0,所以m 的取值范围是:m∈
(-1,0)∪(0,1).故选:D.
= 9-12+16= 13.
4 1
故选:D. 19.解析:由果蔬类抽取4种可知,抽样比为 ,20=5
15.B 因为∠C=90°,BC=2AC=2,所以△ABC 是
故 ( ) 1
直角三角形,两条直角边分别是BC=2, ,
n= 20+15+10 ×
AC=1 5
=9.
由圆锥的定义可得:将三角形绕 AC 旋转一周得 答案:9
到的圆锥的底面半径为2,高为1,其体积为V1= 20.解析:第一次为黑色的概率为2,第二次为黑色的3
1π×22×1=4π;将三角形绕BC 旋转一周得到3 3 概率为2两次都是黑色的概率为2
3 3×
2=4,故3 9
的圆锥的底面半径为1,高为2,其体积为V1=
4π 答案为
4
9.
1π×12×2=2π;
V1= 3 =2,即3 3 V 2π V1∶V2= 答案:42
3 9
2∶1,故选:B. 21.
解析:在△ABC 中,B=45°,C=60°,则A=180°-
B-C=75°,因此,角B 是最小角,边b是最短边,
16.D ∵sin2 C=1-cosC=a-b,2 2 2a ∴b=acosC
,由正
由正弦 定 理 得: b = c ,又c=1,即b=
弦定理可得sinB=sinAcosC,所以,sinAcosC= sinB sinC
sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,则cosAsinC csinB=sin45° 6,
, sinC sin60°
=3
=0
∵00,∴cosA=0, 所以最短边的边长等于 63.
∵03.
角形.
6
故选:D. 答案:3
17.B 设其中做过测试的3只兔子为a,b,c,剩余的 22.解析:由条件x+3y=5xy,两边同时除以xy,得
2只为A,B,则从这5只中任取3只的所有取法 3 1
有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{,, },{,,
到 + =5,acA ac x y
·55·

那么3x+4y=1(5 3x+4y
) 3+1 =1 所以 且13+ BF∥GE BF=GE.x y 5
12y+3x ≥1 13+2 12y×3xx y 5 =5x y
等号成立的条件是12y=3x,即x=2y,即x y x=1
,
y=12.
所以3x+4y的最小值是5,
故答案为:5.
答案:5 故四边形BFEG 为平行四边形,所以BG∥EF.
因为BG 平面PAB,EF 平面PAB,所以EF∥
23.解:(1)f(0)=sinπ= 33 2. 平面PAB.
2
() () 3 1 1 25.解:(1)由f(x)=x +bx+c有两个零点 和 ,2 因为fx =sinx+2cosx-2sinx=2sinx
0 -2
f(0)=02+b×0+c=0
3 即有 ,+ cosx=sin x+π , f(-2)=(-2)2-2b+c=02 3
解得b=2,c=0,
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
即f(x)=x2+2x,
(3)由已知0≤x≤π,得π2 3≤x+
π≤5π,3 6 由f(x)和g(x)的图像关于原点对称,
() 2
所以,当x=π时,
所以 x =-x +2x.
函数f(2 x
)=sin x+π 的最 g3 (2)f(x)≥g(x)+6x-4即x2+2x≥-x2+2x+6x
小值为1. -4,2
解:() : ,
即x2-3x+2≥0得不等式的解为{x|x≥2或x≤1}.
24. 1 证明 设AC 与BD 的交点为O
()() 2, ( )
2 ,
因为底面ABCD 是边长为2的菱形 所以 AC⊥ 3fx =x +2x= x+1 -1
当m+1≤-1,即 m≤-2时,f(x)的 最 大 值
BD,且OB=OD=1 ,2BD g(m)=m2+2m,
, 1 , 当m>-1时,()的最大值因为AC=2 所以OA=OC= AC=1 fx g
(m)=(m+1)2+
2 2(m+1)=m2+4m+3,
在Rt△AOB 中,OB= AB2-OA2= 3,故 BD
当-2=2OB=2 3, 2
+2m,
所以S 1△ABD=2BD
·OA=12×2 3×1= 3. 当-32时,f(x)的最大值g(m)=(m+
因为PA⊥平面ABC,所以PA 为三棱锥P-ABD
2
的高, 1)+2(m+1)=m
2+4m+3.
所以三棱锥的体积V=1S ·h=1× 3×2 第四部分 练真题 完胜合格考3 △ABD 3
2 3 2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试= 3 . 1.B 由元素与集合的关系可知:若集合A={0,1,2},
(2)取PA 的中点G,连接GE、GB,
则0∈A,1∈A,2∈A,3 A.故选:B.
因为E 为PD 的 中 点,所 以 GE∥AD 且GE=
2.D 对A,其定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故
1
2AD
, A错误;对B,其定义域为[0,+∞),故B错误;对
F BC , , ,又因为 为 的中点,四边形ABCD 为菱形, C 由题意得x+1>0 解得x>-1 则其定义域为
(-1,+∞),1 故C错误
;对D,显然其定义域为 R,
所以BF∥AD 且BF=2AD. 故D正确.故选:D.
·56·

3.B 由题意得4=2m,解得m=2.故选:B. 13.C 令f(x)=lg(x-1)=0,解得x=2,则其零点
4.A 因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社 为2.故选:C.
区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲,共有
14.A ∵由y=sinx到y=sin x+π ,只是横坐标
四种选择方法:甲、乙、丙、丁,所以该志愿者选择甲 6
π π
社区的概率为1.故选:
由x变为x+ ,∴要得到函数A. 6 y=sin x+ 的4 6
: , , 图象,只需把函数 的图象上所有的点向5.D 由纯虚数的概念 实部为0 虚部不为0 对比选 y=sinx
项可知,选项中复数为纯虚数的是3i.故选:D. 左平行移动π个单位长度.故选:6 A.
6.A 将(2,4)代入y=xα 得:4=2α,解得:α=2.故 15.C 因为△ABC 是边长为2的等边三角形,所以
选:A. ∠BAC=60°, → → → →所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=
7.B 函数y=3x 单调递增,且过点(0,1),B选项满 1 故选:
足条件.故选:B. 2×2×2=2. C.
8.C 由不等式性质可知:x-y<0等价于x“x-y<0”是“x2
π 3
9.C 方法一:当x>0时,() 9 ·9 17.C
对于A,由于f(0)=sin = ≠0,f(x)不f x =x+x≥2 x x 3 2
为奇函数,故A错误;对于B,f(x)的最小正周期
=6,所以f(x)=x+9(x x>0
)得最小值是6.方法
为2π=π,故B错误;对于C,显然f(x)的最大值2
二:因为函数f(x)=x+9(x>0)在(0,3)上单调x
为1,故 C正 确;对 于 D,当 x∈ -5π,π 时,
递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f (x)=f(3) 1212min
=3+3=6.故选:C. 2x+π∈ -π,π ,由复合函数单调性、正弦函3 2 2
10.D 对A,取x=1,则x2+1=2,则“ x∈R,x2+ 5π π
1=0”为假命题;对B,
数单调性可知 ()在 , 上单调递增,故
取x=1,则x2=1,则“ x∈ fx -1212
R,x2>1”为假命题;对C,x∈R时,|x|+1≥1恒 D错误.故选:C.
成立,则不存在x∈R,使得|x|+1=0,则其为假 18.B 由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为3.2
命题;对D,x+2=0,解得x=-2,则“ x∈R, ×300+3.6×(500-300)=960+720=1680元.故
x+2=0”为真命题.故选:D. 选:B.
11.B 因为母线BC⊥底面,则AC 与圆柱底面所成 19.解析:若复数z1=3+2i,z2=2+4i,则z1+z2=
角即为∠CAB,又因为 AB 为圆柱底面直径,则 3+2i+2+4i=5+6i.
BC ⊥AB,因为 AB=BC,所以∠CAB=45°.故 故答案为:5+6i.
选:B. 答案:5+6i
12.D A选项,甲的平均产量为 20.解析:由题意得显然cosα≠0,则sinα ,即cosα=3 tanα
1020+958+980+1150+910+1200=62186 6 ≈ =3.
1036kg,乙的平均产量为 故答案为:3.
1116+1090+1120+1058+1132+1251 答案:
6 =
6767 3
6 21.解析:由比例分配的分层抽样得:男生应该抽取的
≈1128kg>1036kg,A错误;B选项,甲的最高
人数为: 9
产量为1200kg,乙的最高产量为1251kg,B错
25×25+20=5.
误;C、D选项,由折线图可知甲的波动更大,所以 故答案为:5.
乙的产量更稳定,D正确.故选:D. 答案:5
·57·

22.解析:因为a=4bsinA,由正弦定理可得sinA= 所以b=0;
4sinBsinA, (3)由(2)知:f(x)=(a2+2a)x2-4a-3,
因为A∈(0,π),所以sinA≠0, 对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[-1,0],使 得
(
所以1=4sinB,sinB=1. fx1
)≤g(x2)恒成立,
4 将问题转化为:f(x1)max≤g(x2)max,
故答案为:1 当 2
4 a +2a>0
时,即a<-2或a>0,
∵f(x)开口向上,对称轴为x=0,
答案:1
4 ∴f(x)在[1,2]上单调递增,
23.解:(1)根据频数分布图得该名运动员100次射靶 ∴f(x)
2
max=f(2)=4a +4a-3,
中,射中8环的频数最多, ∵g(x)=2x 在[-1,0]上单调递增,
则这名运动员射击成绩的众数为8环. ∴g(x) =g(0)=20max =1,
(2)由题意,该运动员在100次训练中,射中9环 ∴f(x1)max≤g(x2)max,
的频数为25, 即4a2+4a-3≤1,
由频率估计概率得名运动员射击一次命中9环的
解得:-1- 5≤a≤-1+ 5,
概率为25=1
2 2
100 4.
∴02
环的频数为25+15=40, 当a +2a=0时,即a=-2或a=0,
由频率估计概率得名运动员射击一次命中大于8 ∴f(x)=-4a-3为常函数,
40 2, ∴f
(x)max=-4a-3,
环的概率为
100=5 ∵g(x)=2x 在[-1,0]上单调递增,
则根据独立事件的乘法公式得他两次命中环数都 ∴g(x)max=g(0)=20=1,
大于8环的概率为2×2=4. ∴f(x1)max≤g(x2)max,5 5 25
即-4a-3≤1,
24.解:(1)因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
解得:a≥-1,
则PA⊥AB,
所以a=0;
所以,PA= PB2-AB2= (2)2-12=1 当a2+2a<0时,即-2则V =1PA·S =1×1×1×1 ∵f(x)开口向下,对称轴为x=0,P-ABCD 3 正方形ABCD 3
∴f(x)在[1,2]上单调递减,
=13. ∴f(x)max=f(1)=a
2-2a-3,
x
(2)因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,则 ∵g(x)=2 在[-1,0]上单调递增,
PA⊥BD, ∴g(x)max=g(0)=2
0=1,
因为底面ABCD 为正方形,所以AC⊥BD, ∴f(x1)max≤g(x2)max,
即a2又因为AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC, -2a-3≤1,
所以BD⊥平面PAC. 解得:1- 5≤a≤1+ 5,
25.解:(1)∵g(x0)=3, ∴1- 5≤a<0;
∴2x0=3,
综上所述:实数a的取值范围为:1- 5,-1+ 5 .
解得:x =log3; 2 0 2
(2)∵f(x)为偶函数, 2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试
∴f(-x)=(a2+2a)x2-bx-4a-3=f(x)= 1.A 由题意得A∩B={1},故选:A.
(a2+2a)x2+bx-4a-3, 2.B 由题意得“ x∈R,x2+x+1<0”的否定是
∴-bx=bx恒成立, x∈R,x2+x+1≥0,故选:B.
·58·

3.D 任选一个基地研学,共有4种选择,则红色教育 A→故 D=1 a+b ,
基地有2种选择,所以选择红色教育基地的概率是 2
故选:B.
1,故选:
2 D. 15.A 由正切函数的图像与性质可知y=tanx 在
4.B 由 题 意 得 x≥0,即 f x = x定 义 域 是 -π,π 上单调递增,图像为A,故选:2 2 A.
0,+∞ ,故选:B. 16.C 由题意得在抽取的10人中,男生6人,女生4
5.B 由题意得i 1+i =i-1=-1+i,故选:B.
人,故样本平均数为170×6+160×4=166,估计
6.A 若两直线垂直于同一个平面,则两直线平行. 10
故选:A. 该校学生的平均身高是166cm.故选:C.
1 1
7.D 由题意,正方体中得BD ∥BD,故异面直线 17.D 由幂函数的性质得33>23>1,由对数函数性1 1
AC 与B D 所成的角,即正方形对角线AC 与BD 质得a=log32b>a,故选:D.1 1
0.1-a
的夹角π,故选:D. 18.C 当t=0.1时,y=1,代入解析式得 116 =1,2
t-0.1
3 得, a=0.1
,令 1 =0.25,解 得t=0.6,即
8.C 由 题 意 及 三 角 函 数 的 定 义 得sinα= 故 16 2
a=0.1,: t0=0.6
,故选:C.
选 C.
19.解析:将, , 2
,4 代入
9.C 对于A 取特殊值 a=-1,b=-2,满足条件, y
=ax 得a2=4 a=2,
故答案为:
但不满足结论,故A错误;对于B,由a>b,
2.
若c=
答案:
0,
2
则ac=bc,故B错误;对于C,由同向不等式的性
20.解析:由 a= 1,2 ,b= 2,2 ,可 得, , a+b=质知 a>bc>d可推出a+c>b+d,故C正确;对
于D,取a=3,b=0,c=-1,d=-2,满足条件,但 3,4 ,所以 a+b = 3
2+42=5,
, : 故答案为:ac答案:
10.D 由正弦函数与余弦函数的性质可知 5y=sinx,
21.解析:由图可知人数最多的组别为[40,50)一组,
y=sin2x为奇函数,y=cosx,y=cos2x 为偶函
故众数的估计值为45,
数,故A,B错误,y=cosx 的最小正周期为2π,
故答案为:45.
y=cos2x的最小正周期为π,故C错误,D正确, 答案:45
故选:D. 22.解析:由题意,“完美函数”能平分圆的周长和面
11.A 正方体是特殊的长方体,而长方体不一定是 积,且图像是一条连续不断的曲线,
正方体,所以p是q 的充分不必要条件.故选:A. 所以圆 心 在 坐 标 原 点 时,“完 美 函 数”一 定 为 奇
12.D 因为00, 函数,
2
所以x 4-x ≤ x+4-x2 =4, 则符合题意的一个“完美函数”为y=2x(答案不
唯一).
当且仅当x=4-x,即x=2时,等号成立, 故答案为:y=2x(答案不唯一).
所以 x 4-x ≤ 4=2, 答案:y=2x(答案不唯一)
所以 x 4-x 的最大值为2.故选:D. 23.解:(1)证明:由于D,E 分别为母线PB,PC 的中
2 2 2 点,所以DE∥BC,
13.C 由 余 弦 定 理 可 得:cosA =b +c-a2bc = 由于DE 平面ABC,BC 平面ABC,所以DE∥
9+16-4 7 平面ABC.
2×3×4=8.
故选:C.
(2)AC 为底面圆的直径,B 是底面圆周上不同于
14.B 由题意得A→D →=AB+B→D →=AB+1B→C →=AB A,C 的任意一点,2
所以AB⊥CB,又AB=BC= 2,
+1(2 A
→C-A→B)=12A
→B+12A
→C, 所以AC= AB2+BC2=2,
·59·

因此底面圆的半径为1AC=1, ③当0故圆锥PO 的体积为1π×12×2=2π 33 3. 由h' x =x+2cosx+2sinx
24.解:(1)由图可知2018年至2022年农产品网络零
=3+2 2sin x+π >0
售额逐渐增大. x 4
(2)由题意得扇形图中茶叶的占比为1-14%- h x 在x∈ 0,π 上单调递增,
11%-5%-30%-22%=18%, 2
故从A 市2022年网络零售农产品中随机抽取一 h 1 =3ln1+2 2sin 1-π >0,4 h π4 =
件,估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为18%
3lnπ+2 2sin π-π =3lnπ<3ln1=0,
+22%=40%=2 4 4 4 45.
( π3)记任意两天中至少有一天零售额超过1万元 所以存在唯一实数x0∈ ,1 ,使得4 h x0 =0,
为事件A, 因为f x =3lnx 在x∈ 0,+∞ 上单调递增,
则A 为两天零售额都没有超过1万元, π
P(A)=1-P(A ) ,=1-0.4×0.4=0.84. 所以f 4 25.解:(1)函数f x =3lnx,定义域为 0,+∞ , 因为f 1 =0,所以f x0 <0,
由对数函数的性质可知,f x 在 0,+∞ 上单调 因为h(x0)=0,即3lnx0+2(sinx0-cosx0)=0,
递增,
所以3lnx =2 -sinx +cosx =2 2cosx
所以f x 单调递增区间为 0,+∞ ,
0 0 0 0
无单调递
减区间. +π ,4
(2)因为g x =2 sinx-cosx =22sin x-π ,4 因为x ∈ π,1 ,所以π0 4 4又因为sin x-π4 ∈ -1,1 ,当sin x-π4 = ∈ π,7π ,
, 2 12
1时 g x max=2 2.
(3)证明:令h x =f x +g x =3lnx+2(sinx 令t=x0+
π,由 在 π,7π 单调递减,
4 y=cost 2 12
-cosx)(x>0),
7π π π 2- 6
①当x≥π时,f x =3lnx≥3lnπ>3lne=3, 得cost>cos ,即12=cos 3+4 = 4
g x =2(sinx-cosx)=2 2sin x-π4 ≥ cos x π 2- 60+4 > ,4
-2 2>-3,
则当x≥π时,h x =f x +g x >0,没 有 所以2 2cos x +π0 4 >2 2× 2- 64 =1- 3,
零点;
又因 π ,所 以
②当π3lnx0=2 2cos x0+ 3lnx0>
,则
2 4 4<4 lnx>0
, 4
1- 3,
sin x-π ,4 >0 即f x0 >1- 3,
h x =f x +g x =3lnx+2 2sin x-π > 综上所述:方程f x +g x =0有唯一实根x0,4
, 且1- 3< x <0.0 没有零点; f 0
·60·

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