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安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
2．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
3．若，，则等于（ ）
A． B． C．5 D．7
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
5．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　）
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人
6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
8．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
二、多选题
9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（ ）
A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
B．“至少有1名男生”与“全是男生”；
C．“至少有1名男生”与“全是女生”；
D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
10．在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ）
A．该组数据的极差为26
B．该组数据的众数为18
C．该组数据的分位数为19
D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
11．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．若非零空间向量，，满足，，则有
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
三、填空题
12．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .
13．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为 ．
14．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
四、解答题
15．某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测：
车间 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件产品来自相同车间的概率．
16．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以（单位：t，100≤≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将T表示为的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
18．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
19．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D B D C C AC BD
题号 11
答案 BCD
1．D
由于，得到，从而确定与的位置关系.
【详解】因为，，
则，
得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是，
所以与的位置关系是：或，
故选：D.
2．B
由空间向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为，，且，所以，解得，
故选：B.
3．A
先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【详解】，，则，
，，
，
故选：A
4．D
利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.
故选：D.
5．B
先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数.
【详解】解：先求抽样比＝，
再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30（人），乙校抽取5 400×＝45（人），丙校抽取1 800×＝15（人），
故选：B.
6．D
平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
7．C
根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
8．C
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
9．AC
【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，
它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确；
对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，
这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误；
对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，
它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确；
对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，
而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果，
它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误.
故选：AC
10．BD
【详解】对于A，该组数据的极差，故A错误，
对于B，该组数据的众数为出现频数最多的数据为18，故B正确，
对于C，该组数据的分位数为，取第6个，为20，故C错误，
对于D，若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D正确．
故选：BD．
11．BCD
举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D.
【详解】当非零空间向量，，时，
满足，，但与不平行，A错误；
三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确；
能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量，
由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确；
若，，共面，则，
可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾，
故可以构成空间向量的一个基底，D正确，
故选：BCD．
12．.
由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
13． /
【详解】解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在之间的概率为，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为： .
14．
【详解】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为
15．(1)这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量分别为1，3，2
(2)
【详解】（1）因为A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量之比为，
故这6件样品中来自A车间的产品数量为，来自B车间产品的数量为，
来自C车间产品的数量为，
故这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量分别为1，3，2.
（2）来自A车间的产品设为，来自B车间的产品设为，来自C车间产品设为，
在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，有以下情况：
，共15种情况，
其中这2件产品来自相同车间的情况有，共4种情况，
故这2件产品来自相同车间的概率为.
16．(1)见解析
(2)
(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
,平面
且,
所以平面,
又因为平面,所以.
（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以
因为平面,所以为平面的一个法向量，
所以,,
即二面角的余弦值等于.
17．（Ⅰ）（Ⅱ）0.7
【详解】试题分析：（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．
解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，
当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，
∴T=．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
考点：频率分布直方图．
18．（1），，；（2）
【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有即
解得，，．
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，；
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则
．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．

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