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第二节　概　率
基础过关
1. (2025邯郸模拟)如图，将六张扑克牌洗匀后，反面向上放在桌子上，现从中任意抽取两张，下列事件是必然事件的是(　　)
第1题图
A. 两张牌均为红心
B. 两张牌均为梅花
C. 两张牌均不是方块
D. 两张牌均为黑桃
2. (2025保定模拟)校运动会中，三级跳比赛以抽签方式决定每个人的比赛出场顺序，裁判将表示出场顺序的数字1，2，3，4，5分别写在5张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，摇匀后每人从中任意抽出一张，嘉淇第一个抽.下列事件中，可能性最大的是(　　)
A. 嘉淇抽到数字5
B. 嘉淇抽到数字大于3
C. 嘉淇抽到数字为奇数
D. 嘉淇抽到数字为2的倍数
3. (2025张家口模拟)嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，二人在距棋盘3米外随机投掷，若棋子落在已有棋子的方格中、压格线或掷到棋盘外则需重掷，掷到空格中则占据该空格，当三颗相同棋子连成一条线时获胜.某局比赛棋盘棋子如图所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷本次棋子嘉嘉获胜的概率为　　(　　)
第3题图
A. B. C. D.
4. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表，则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为(　　)
抛掷次数n 100 120 140 500 1 000 2 000 5 000
“正面朝上” 的次数m 58 62 75 275 550 1 100 2 750
“正面朝上” 的频率 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55
A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63
5. 如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是(　　)
A. B.
C. D.
6. (2025苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. (2025石家庄模拟)某市文化馆为弘扬中华优秀传统文化，举办了一场“传统文化知识竞赛”.参与者需要从10项传统文化项目中随机抽取一项，并根据抽到的项目回答相关问题.这10项传统文化项目分为三类：传统节日(春节、端午节、中秋节、重阳节)，传统艺术(书法、国画、剪纸)，传统体育(武术、蹴鞠、围棋)，参赛者随机抽取一项，下列说法正确的是(　　)
A. 抽到传统艺术与传统体育的概率相同
B. 抽到传统节日的概率是
C. 抽到传统艺术的概率是
D. 抽到端午节的概率是
8. 电影《哪吒之魔童闹海》深受人们的喜爱.老师为激励在学习中表现优异的同学，购买了2张哪吒卡片和2张敖丙卡片(除正面图案外，背面完全相同)作为奖品，将这4张卡片洗匀背面朝上置于桌面上，小明随机抽取2张，则抽取的2张卡片均是哪吒的概率为(　　)
A. B.
C. D.
9. (2025内蒙古)在单词class(班级)中随机选择一个字母，则选中字母“s”的概率是.
10. (2025成都)从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为_____________.
综合提升
11. (2025山西)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是_____________.
第11题图
12. (2025石家庄模拟)如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1，2，3，4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数(若指针正好停在等分线上，属右边区域)下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据：
次数 1 2 3 4 5 6
数字 3 2 3 4 1 4
(1)求转动转盘6次后记录的数据的众数；
(2)求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率；
(3)嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请用列表或画树状图的方法求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由.
第12题图
参考答案
1. C　【解析】根据题意，抽到的两张牌均不是方块是必然事件.
2. C　【解析】∵数字1，2，3，4，5分别写在5张相同的纸条上，∴嘉淇抽到数字5的可能性为，嘉淇抽到数字大于3的可能性为，嘉淇抽到数字为奇数的可能性为，嘉淇抽到数字为2的倍数的可能性为，＞＞，嘉淇抽到数字为奇数的可能性最大，故选C.
3. B　【解析】由题图可知总共有3个空格，当掷到中间空格或右上方空格时嘉嘉获胜，∴掷本次棋子嘉嘉获胜的概率为.
4. B　【解析】根据表中数据可知，试验中“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.55左右，故抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55.
5. D　【解析】A.指针落在阴影区域内的概率为；B.指针落在阴影区域内的概率是；C.指针落在阴影区域内的概率为；D.指针落在阴影区域内的概率为＝，∵＜＜＜，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项.
6. B　【解析】设红球的个数为x个，由题意得＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，即红球的个数为2个.
7. A　【解析】A.抽到传统艺术与传统体育的概率均为，正确，符合题意；B.抽到传统节日的概率是，错误，不符合题意；C.抽到传统艺术的概率为，错误，不符合题意；D.抽到端午节的概率是，错误，不符合题意，故选A.
8. A　【解析】将2张哪吒卡片分别记为A1，A2，2张敖丙卡片分别记为B1，B2，列表如下，由表格可得共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片均是哪吒的结果有2种，∴P(抽取的2张卡片均是哪吒)＝＝.
第一张 第二张
A1 A2 B1 B2
A1 － (A1，A2) (A1，B1) (A1，B2)
A2 (A2，A1) － (A2，B1) (A2，B2)
B1 (B1，A1) (B1，A2) － (B1，B2)
B2 (B2，A1) (B2，A2) (B2，B1) －
9.
10. 　【解析】画树状图如解图，共有6种等可能的结果，∵b2－4a≥0，∴b2≥4a，∴能使该一元二次方程有实数根的情况有3种，∴P(关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根)＝＝.
第10题解图
11. 　【解析】当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有四种等可能的结果，①两次都向左移动，则“”落在格子E处；②先向左再向右，则“”回到格子A；③先向右再向左，则“”回到格子A；④两次都向右移动，则“”落在格子C处，所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是.
12. 解：(1)由题意得，转动转盘6次后记录的数据的众数是3和4；
(2)由题意知，共有4种等可能的结果，其中第7次转动转盘后记录的数字是4的结果有1种，
∴第7次转动转盘后记录的数字是4的概率为；
(3)可能.
设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x，
∵这8次记录的数字的平均数不小于3，
∴≥3，
解得x≥7.
列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由列表可得，共有16种等可能的结果，其中两个数字之和大于等于7的结果有3种，
∴发生此情况的概率为.

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