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第三节　图形的对称
基础过关
1. (2025北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
2. 下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
A B C D
3. (2025山西)科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是(　　)
　A 　 B
C 　D
4. (2025福建)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(　　)
　A B
C　　　　　　D
5. [北师八上习题改编]图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为(　　)
第5题图
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
6. (2025邢台模拟)如图，若有一条线段与线段a成轴对称，则这条线段可以是(　　)
第6题图
A. b B. c
C. d D. e
7. 如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是(　　)
A B C D
8. 如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝(　　)
第8题图
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 无法确定
9. (2025保定模拟)如图，直线AB，CD交于点O，∠AOD＝60°，若AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，且点P在射线OD上(不与点O重合)，则点M，N中必有一个在(　　)
第9题图
A. ∠AOC的平分线上
B. ∠AOD的平分线上
C. ∠BOC的平分线上
D. 射线OA上
10. (2025石家庄模拟)如图，在4×4的正方形网格中，直线a外，有A，B两点.在直线a上求一点P，使PA＋PB最短，则点P的位置应选在点______________处.(填图中的字母)
第10题图
11. 如图，直线a∥b，a与b之间的距离为8，△ABC与△A1B1C1关于直线a成轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线b成轴对称，则CC2的长为______________.
第11题图
综合提升
12. (2025保定模拟)如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为(　　)
第12题图
A. 40° B. 45° C. 60° D. 80°
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB.过点C作直线CP，点P始终在AB上方，点A关于直线CP的对称点为E，连接AE，BE，直线BE交直线CP于点F.
(1)若∠PCA＝18°，则∠CBF＝______________°；
(2)若90°＜∠PCA＜180°，在备用图中补全图形，用等式表示AC，BF，EF之间的数量关系，并证明.
第13题图
备用图
参考答案
1. D
2. C
3. D
4. D
5. D
6. B　【解析】由题图可知，若有一条线段与线段a成轴对称，则这条线段可以是c.
7. A
8. A　【解析】如解图，连接OM，∵点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，∴∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，∴∠M1OA＋∠M2OB＝∠MOA＋∠MOB＝∠AOB＝40°，∴∠M1OM2＝∠M1OA＋∠M2OB＋∠AOB＝40°＋40°＝80°，故选A.
第8题解图
9. A　【解析】由题意知等边△MNP的位置如解图，连接OM，设MP与AB交于点K，MN与CD于点L，∵AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，∴MK＝MP，ML＝MN，AB⊥PM，CD⊥MN，∵MN＝MP，∴MK＝ML，∵OM＝OM，∴Rt△OMK≌Rt△OML(HL)，∴∠MOK＝∠MOL，∴OM平分∠AOC，∴点M，N中必有一个在∠AOC的平分线上.
第9题解图
10. C　【解析】如解图，作点B关于直线a的对称点N，连接AN交a于点C.
第10题解图
11. 16　【解析】如解图，连接CC1，设CC1与直线a交于点E，CC2与直线b交于点H，∵直线a∥b，a与b之间的距离为8，△ABC与△A1B1C1关于直线a成轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线b成轴对称，∴C1，C，C2共线，CE＝C1E，C1H＝C2H，EH＝CE＋CH＝8，∴CC2＝C2H＋CH＝C1H＋CH＝C1E＋EH＋EH－CE＝2EH＝16.
第11题解图
12. A　【解析】如解图，连接AB'，BB'，过点A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC＝∠BAB'，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE＝∠DAB'，∴∠CAE＝∠B'AC＋∠B'AE＝(∠BAB'＋∠DAB')＝∠BAD＝×100°＝50°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝180°－∠AEC－∠CAE＝40°.
第12题解图
13. 解：(1)27；
【解法提示】如解图①，连接EC.∵A，E关于直线CP对称，∴∠ACP＝∠ECP＝18°，CE＝CA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ECA＋∠ACB＝36°＋90°＝126°，∵CA＝CE＝CB，∴∠CBF＝∠CEB＝×(180°－126°)＝27°.
第13题解图①
(2)补全图形如解图②所示，结论：EF2＋BF2＝2AC2.
证明：设∠ACP＝∠PCE＝α，连接AF，
第13题解图②
∴∠ACE＝360°－2α，∠ECB＝360°－2α－90°＝270°－2α，
∵CA＝CE＝CB，
∴∠AEC＝∠CAE＝(180°－360°＋2α)＝α－90°，∠CEB＝∠CBE＝(180°－270°＋2α)＝α－45°，
∴∠AEB＝∠CEB－∠CEA＝45°，
∵点A，点E关于CF对称，
∴FA＝EF，
∴∠FAE＝∠FEA＝45°，
∴∠AFB＝90°，
∴AF2＋BF2＝AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，
∴EF2＋BF2＝2AC2.

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