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第七章　图形的变化
第一节　尺规作图
基础过关
1. (2025石家庄模拟)如图，已知∠AOB，点C，D分别是OA，OB上的点，且OC＝OD，分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，画射线OE，则∠AOE与∠EOB的关系为(　　)
第1题图
A. ∠AOE＞∠EOB
B. ∠AOE＝∠EOB
C. ∠AOE＜∠EOB
D. 不能确定
2. (2025承德模拟)在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是(　　)
　　
第2题图
A. 甲 B. 乙
C. 甲和乙 D. 都不正确
3. (2025沧州模拟)已知△ABC(BC＞AB)，用尺规作图在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是(　　)
A.
B.
C.
D.
4. (2025邯郸模拟)根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是(　　)
A. B.
C. D.
5. 如图，已知直线l与直线m相交于点A，在直线m上有一点B(不与点A重合)，过点B用尺规作出直线n∥l，下列作法中，不一定正确的是　　(　　)
第5题图
A. B.
C. D.
6. (2025唐山模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是(　　)
第6题图
A. ∠BDE＝∠BAC
B. ∠BAD＝∠B
C. DE＝DC
D. AE＝AC
7. 如图，在△ABC中，AC＞AB.
(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)在(1)的条件下，连接BD，若CD＝2CE，求∠ADB的度数.
第7题图
8. 如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D＝2∠B.
(1)用无刻度直尺和圆规在线段BC上求作一点E，使得AE＝BE，连接AE；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠CAD＝∠ACB，请证明(1)中得到的四边形AECD是平行四边形.
第8题图
综合提升
9. (2025石家庄模拟)如图，用尺规过圆外一点P作已知☉O的切线，下列作法不正确的是(　　)
　　　　　
第9题图
A. 如图①，作PO中垂线交PO于点D，再以D为圆心，DP为半径，作☉D交☉O于点A，连接PA
B. 如图②，以O为圆心，PO为半径作圆弧交PO延长线于点D，再以D为圆心，BC为半径作弧，两弧交于点A，连接PA
C. 如图③，先用尺规过点D作PO垂线，再以O为圆心，PO为半径画弧交垂线DM于点B，再以P为圆心，BD为半径画弧交☉O于点A，连接AP
D. 如图④，以P为圆心，PO为半径画弧，再以O为圆心，PO为半径画弧，两弧交于点D，连接OD交☉O于点A，连接PA
10. (2025绥化)尺规作图(温馨提示： 以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹)
【初步尝试】
如图①用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP.使扇形OMN 的面积被直线OP平分.
【拓展探究】
如图②，若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4.
图①
图②
第10题图
参考答案
1. B　【解析】由尺规作图知射线OE平分∠AOB，∴∠AOE＝∠EOB.
2. C　【解析】根据作图痕迹正确的是图②，图③，故选C.
3. B　【解析】∵PA＋PC＝BC，PB＋PC＝BC，∴PA＝PB，∴点P为AB的垂直平分线与BC的交点，故选B.
4. B　【解析】因为三角形的外心是三角形各边的垂直平分线的交点，故选项B中，利用直尺可以作出三角形的外心.故选B.
5. D　【解析】A选项的作图原理为作一个角等于已知角，利用同位角相等即可证得平行线；B选项的作图原理为作一条线段等于已知线段(得到平行四边形)，利用平行四边形的性质即可证得平行线；C选项的作图原理为作等腰三角形及角平分线，利用内错角相等即可证得平行线；D选项当且仅当点A到长弧与直线l交点的距离等于长弧所在圆的半径时，直线n∥l，故D选项不一定正确.
6. B　【解析】根据尺规作图的痕迹可得，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B＋∠BDE＝∠B＋∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，∴AE＝AC，∵无法确定DE是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意.
7. 解：(1)如解图，DE即为所求作；
第7题解图
(2)如解图，
由(1)可知，DE垂直平分线段BC，
∴∠BDE＝∠CDE，DE⊥BC，
∵CD＝2CE，∴∠CDE＝30°，
∴∠BDE＝∠CDE＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴∠ADB＝180°－∠BDC＝120°.
8. (1)解：如解图，点E即为所求作；
第8题解图
(2)证明：∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝2∠B，
∵∠D＝2∠B，
∴∠AEC＝∠D，
在△ACE和△CAD中，
，
∴△ACE≌△CAD(AAS)，
∴AE＝CD，CE＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形.
9. D　【解析】A.如解图①，连接OA，∵OP为☉D的直径，∴∠PAO＝90°，∵OA是☉O的半径，∴PA为☉O的切线；B.如解图②，过点O作OE⊥AP于点E，∴∠PEO＝90°，PD为☉O的直径，∴∠PAD＝90°，∴∠PEO＝∠PAD＝90°，∴OE∥AD，∴OE＝AD，∵AD＝BC，∴OE＝BC，∴OE为☉O的半径，∴PA为☉O的切线；C.如解图③，连接OA，OB，由作图可知∠BDO＝90°，OP＝OB，AP＝BD，∵OA＝OD，∴△APO≌△DBO(SSS)，∴∠BDO＝∠PAO＝90°，∵OA为☉O的半径，∴PA为☉O的切线；D.由作图知OP＝OD＝PD，∴△DOP是等边三角形，∴只有A为OD的中点时，则OA⊥AP，此时PA为☉O的切线，∵点A的位置不确定，∴不能判断PA一定为☉O的切线.
第9题解图
10. 解：【初步尝试】如解图①，直线OP即为所求作；(作法不唯一)
第10题解图①
(2)【拓展探究】如解图②，弧CD即为所求作.(作法不唯一)
第10题解图②

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