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微专题（六）坐标参数、投影图的分析与应用
1．晶胞参数计算
(1)晶胞参数
晶胞的形状和大小可以用6个参数来表示，包括晶胞的3组棱长a、b、c和3组棱相互间的夹角α、β、γ，即晶格特征参数，简称晶胞参数。
(2)晶体结构的相关计算
①空间利用率＝×100%。
②金属晶体中体心立方堆积、面心立方堆积中的几组计算公式（设棱长为a）：
a．面对角线长＝a。
b．体对角线长＝a。
c．体心立方堆积4r＝a（r为原子半径）。
d．面心立方堆积4r＝a（r为原子半径）。
(3)宏观晶体密度与微观晶胞参数的关系
2．晶胞原子分数坐标的确定
(1)概念
以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标。原子分数坐标参数表示晶胞内部各原子的相对位置。
(2)原子分数坐标的确定方法
①依据已知原子的分数坐标确定坐标系取向。
②一般以坐标轴所在正方体的棱长为1个单位。
③从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标。
3．原子坐标参数与投影图
(1)面心立方堆积模型的投影分析
①原子10～15分别位于六个面的面心，原子1的坐标为(0，0，0)，则确定坐标参数：10、11、12、13、14、15。
②投影图
(2)体心立方堆积模型的投影分析
①若原子1、原子3、原子7的坐标分别为(0，0，0)、(1，1，0)、(1，1，1)，则原子2、原子4、原子5、原子6、原子8、原子9的坐标分别为(0，1，0)、(1，0，0)、(0，0，1)、(0，1，1)、(1，0，1)、。
②投影图
(3)以金刚石晶胞为例的投影图分析
①若a原子为坐标原点，晶胞边长的单位为1，则原子1、2、3、4的坐标分别为、、、。
②投影图
题型一晶体密度的有关计算
【例1】　（2024·北京卷）白锡和灰锡是单质Sn的常见同素异形体。二者晶胞如图：白锡具有体心四方结构；灰锡具有立方金刚石结构。
(1)灰锡中每个锡原子周围与它最近且距离相等的锡原子有4个。
(2)若白锡和灰锡的晶胞体积分别为V1 nm3和V2 nm3，则白锡和灰锡晶体的密度之比是。
解析：(1)灰锡具有立方金刚石结构，金刚石中每个碳原子以单键与其他4个碳原子相连，在空间构成正四面体，且该碳原子在正四面体的体心，所以灰锡中每个锡原子周围与它最近且距离相等的锡原子有4个。(2)根据均摊法，白锡晶胞中含锡原子数为8×＋1＝2，灰锡晶胞中含锡原子数为8×＋6×＋4＝8，所以白锡与灰锡的密度之比为∶＝。
【即时训练1】　氮化硼是一种性能优异的新型材料，立方氮化硼晶胞结构如图。
立方氮化硼中N的配位数为4。已知立方氮化硼密度为d g·cm-3，NA代表阿伏加德罗常数的值，立方氮化硼晶胞中面心上6个氮原子相连构成正八面体，该正八面体的边长为××1010pm（列式即可）。
解析：由题图可知，立方氮化硼中N的配位数为4；面心上6个氮原子构成正八面体，该正八面体的边长等于面对角线的一半，设BN晶胞边长为a cm，1个晶胞中含有4个硼原子，含有氮原子数为8×＋6×＝4，则1个晶胞中含有4个BN，所以d＝，解得a＝，故正八面体的边长为××1010 pm。
题型二晶胞中原子分数坐标的确定
【例2】　（2021·山东卷节选）XeF2晶体属四方晶系，晶胞参数如图所示，晶胞棱边夹角均为90°，该晶胞中有2个XeF2分子。以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称为原子的分数坐标，如A点原子的分数坐标为。已知Xe—F键长为r pm，则B点原子的分数坐标为；晶胞中A、B间距离d＝ pm。
解析：题图中大球的个数为8×＋1＝2，小球的个数为8×＋2＝4，根据XeF2的原子个数比可知大球是氙原子，小球是氟原子，该晶胞中有2个XeF2分子；由A点坐标知该原子位于晶胞的中心，且每个坐标系的单位长度都记为1，B点在棱的处，其坐标为；如图中y是底面对角线的一半，y＝a pm，x＝ pm，所以d＝＝ pm。
【即时训练2】　(1)以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标。如图1中原子1的坐标为，则原子2和3的坐标分别为、。
(2)超高热导率半导体材料——砷化硼(BAs)的晶胞结构如图2所示，则1号砷原子的坐标为。
解析：(1)原子1的坐标为，则坐标系为，原子2在晶胞底面的中心，原子2的坐标为；原子3在坐标系z轴所在棱处，原子3的坐标为。(2)根据晶胞结构可知1号砷原子距离坐标原点的距离为晶胞体对角线的，所以坐标为。
题型三晶胞投影图的分析
【例3】　（2024·河北卷）金属铋及其化合物广泛应用于电子设备、医药等领域。如图是铋的一种氟化物的立方晶胞及晶胞中MNPQ点的截面图，晶胞的边长为a pm，NA为阿伏加德罗常数的值。下列说法错误的是(　D　)
A．该铋氟化物的化学式为BiF3
B．粒子S、T之间的距离为a pm
C．该晶体的密度为 g·cm-3
D．晶体中与铋离子最近且等距的氟离子有6个
解析：根据题给晶胞结构，由均摊法可知，该晶胞中含有Bi3+的个数为1＋12×＝4，含有F－的个数为8＋8×＋6×＝12，故该铋氟化物的化学式为BiF3，A正确；将晶胞均分为8个小立方体，由晶胞中MNPQ点的截面图可知，晶胞体内的8个F－位于8个小立方体的体心，以M为原点建立坐标系，令N的原子分数坐标为(0，0，1)，与Q、M均在同一条棱上的F－的原子分数坐标为(1，0，0)，则T的原子分数坐标为，S的原子分数坐标为，所以粒子S、T之间的距离为×a pm＝a pm，B正确；由A项分析可知，每个晶胞中有4个Bi3+、12个F－，晶胞体积为(a pm)3＝a3×10-30 cm3，则晶体密度为ρ＝＝ g·cm-3＝ g·cm-3，C正确；由晶胞中MNPQ点的截面图可知，晶胞体内的8个F－位于8个小立方体的体心，晶体中与铋离子最近且等距的氟离子有8个，D错误。
【即时训练3】　（2024·安徽安庆二模）北京冬奥会使用的碲化镉(CdTe)太阳能电池，能量转化效率较高。立方晶系CdTe的晶胞结构如图甲所示，其晶胞参数为a pm。下列说法正确的是(　A　)
A．Cd的配位数为4
B．相邻两个Te的核间距为 pm
C．晶体的密度为 g·cm-3
D．若按图乙虚线方向切甲，可得到图丙
解析：由晶胞甲可知，Cd位于8个顶角和6个面心，Te位于体内，故Cd的配位数即离某个镉原子距离相等且最近的碲原子个数为4，A正确；相邻两个Te的核间距为面对角线的一半，即a pm，B错误；Cd位于8个顶角和6个面心，Te位于体内，则一个晶胞中含有Cd的个数为8×＋6×＝4，碲原子个数为4个，故一个晶胞的质量为 g，晶胞参数为a pm，则一个晶胞的体积为(a×10-10)3 cm3，故晶体的密度为 g·cm-3，C错误；若按图乙虚线方向切甲，得不到图丙，D错误。
投影问题解题思路
晶体投影问题本质上是把三维空间晶体结构中的粒子投影到二维平面上。解答此类问题的思维流程如下：
1．（2024·河北张家口一模）稀磁半导体LixZnyAsz的立方晶胞结构如下图所示，已知N、Q两点对应的原子分数坐标分别为和，阿伏加德罗常数的值为NA，下列说法错误的是(　D　)
A．该晶体的化学式为LiZnAs
B．该晶体中M点的原子分数坐标为
C．晶体的密度为 g·cm-3
D．若以锂原子为晶胞顶角，则锌原子位于晶胞的棱心和面心
解析：由晶胞示意图可知，Li位于晶胞12条棱上和体心上，则一个晶胞中含有Li个数为12×＋1＝4，Zn位于8个顶角和6个面心，则一个晶胞中含有Zn的个数为8×＋6×＝4，4个As位于晶胞体内，故该晶体的化学式为LiZnAs，A正确；根据晶胞示意图，结合N、Q两点对应的原子坐标分别为和，可知该晶体中M点的原子坐标为，B正确；由A项分析可知，1 mol晶胞中含有4 mol LiZnAs，晶体的密度为ρ＝＝＝ g·cm-3，C正确；由题干晶胞示意图可知，若以锂原子为晶胞顶角，则锌原子位于晶胞的棱心和体心，D错误。
2．（2024·九省联考江西卷）朱砂（硫化汞）在众多先秦考古遗址中均有发现，其立方晶系β型晶胞如下图所示，晶胞参数为a nm，A原子的分数坐标为(0，0，0)，阿伏加德罗常数的值为NA，下列说法正确的是(　C　)
A．S的配位数是6
B．晶胞中B原子分数坐标为
C．该晶体的密度是ρ＝ g/m3
D．相邻两个Hg的最短距离为a nm
解析：由晶胞图知，S的配位数是4，A错误；由A的原子分数坐标为(0，0，0)，结合投影图知，晶胞中B的原子分数坐标为，B错误；由晶胞图可知，S个数为4×1＝4，Hg个数为6×＋8×＝4，故该晶体的密度是ρ＝ g/m3＝ g/m3，C正确；相邻两个Hg的最短距离为面对角线的一半，为a nm，D错误。
3．（2024·辽宁葫芦岛一模）一种由Cu、In、Te组成的晶体如图，晶胞参数和晶胞中各原子的投影位置如图所示，晶胞棱边夹角均为90°。已知：A点、B点的原子分数坐标分别为(0，0，0)、，下列叙述不正确的是(　A　)
A．铟原子的配位数为2
B．该晶体的化学式为CuInTe2
C．C点的原子分数坐标为
D．该晶体的密度为 g·cm-3
解析：根据晶胞结构图，观察上下底面的In可以看出铟原子的配位数为4，故A错误；晶胞中位于顶角、面上和体内的铜原子个数为8×＋4×＋1＝4，位于棱上和面上的铟原子个数为6×＋4×＝4，位于体内的碲原子个数为8，则铜、铟、碲的原子个数为4∶4∶8＝1∶1∶2，晶体的化学式为CuInTe2，故B正确；A点、B点原子的分数坐标分别为(0，0，0)、，结合C点原子的位置可知C点的原子分数坐标为，故C正确；由B项计算可知该晶胞含有4个CuInTe2，则该晶体的密度为ρ＝＝ g/cm3＝ g·cm-3，故D正确。
4．(1)铜原子与氯原子形成化合物的晶胞如图1所示（灰球代表铜原子，白球表示氯原子）。
①以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标，图1中原子1的坐标为，则原子2和3的坐标分别为、。
②已知该晶体的密度为ρ g/cm3，阿伏加德罗常数的值为NA，则该晶体中铜原子和氯原子的最短距离为××1010pm（只写计算式）。
(2)TiO2的一种晶胞具有典型的四方晶系结构（如图2所示），以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标。晶胞中A、B的原子分数坐标分别为(0.31，0.31，0)、(0.81，0.19，0.5)。已知晶胞含对称中心，则C、D原子分数坐标分别为(0.19，0.81，0.5)、(0.69，0.69，1)。
解析：(1)①图1中原子1的坐标为，则坐标系是，从晶胞内的2、3点分别向x、y、z轴上作垂线，即可得出2、3两点的原子分数坐标分别为（，1，）、。②设晶胞边长为a cm，该晶体的密度为g/cm3，得a＝，该晶体中铜原子和氯原子的最短距离为晶胞体对角线的，为××1010 pm。(2)根据晶胞中A、B的原子分数坐标分别为(0.31，0.31，0)、(0.81，0.19，0.5)和晶胞含对称中心可得，0.31＋0.69＝1，0.81＋0.19＝1，0.5＋0.5＝1，则C、D原子分数坐标分别为(0.19，0.81，0.5)、(0.69，0.69，1)。
5．（2024·甘肃卷节选）某含钙化合物的晶胞结构如图甲所示，沿x轴方向的投影为图乙，晶胞底面显示为图丙，晶胞参数a≠c，α＝β＝γ＝90°。图丙中Ca与N的距离为a pm；化合物的化学式是Ca3N3B，其摩尔质量为M g·mol-1，阿伏加德罗常数的值是NA，则晶体的密度为×1030 g·cm-3（列出计算表达式）。
解析：图丙中，Ca位于正方形顶点，N位于正方形中心，故Ca与N的距离为a pm；由均摊法可知，晶胞中Ca的个数为8×＋2＝3，N的个数为8×＋2×＝3，B的个数为4×＝1，则化合物的化学式是Ca3N3B；其摩尔质量为M g·mol-1，阿伏加德罗常数的值是NA，晶胞体积为a2c×10-30 cm3，则晶体的密度为×1030 g·cm-3。

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