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(共22张PPT)
第一章 数与式
第2课时 二次根式
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
(一)二次根式的概念与性质
1.概念：形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
（一）
（二）
（三）
2.二次根式有意义的条件：a≥0.
3.最简二次根式：(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
4.二次根式的性质：
(1)的双重非负性：①a≥0；②≥0.
(2)若a≥0，则()2＝a.
(3)＝｜a｜＝
（一）
（二）
（三）
1.要使有意义，则x的取值范围是　 　；
x≥－3
（一）
（二）
（三）
2.计算：
(1)()2＝　　；
(2)＝　　.
5
（一）
（二）
（三）
(二)二次根式的运算
1.加减法：先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
4.混合运算的顺序：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号).
3.除法：＝ (a≥0，b＞0).
2.乘法：·＝(a≥0，b≥0).
（一）
（二）
（三）
3.化简计算：
(1)＝________； (2)＝ ________ ；
(3)×＝ _________ ； (4)÷＝ ________ ；
(5)＋＝ _________.
2
4
4
（一）
（二）
（三）
(三)二次根式的估值
4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间.
3.对以上两个整数开方.
2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数.
1.先对二次根式平方.
（一）
（二）
（三）
考点1　二次根式的概念与性质
例1 若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是
[2025福建4分](　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
D
考点1
考点2
考点3
例2： 下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
B
考点1
考点2
考点3
例3： 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式 的结果为________．
考点1
考点2
考点3
－2b
考点2　二次根式的运算与估算[5年2考]
例4：
4
考点1
考点2
考点3
例5
3
例6：计算：
(1)×(－)＋；
解：原式＝－＋
＝－2＋＝－2＋1＝－1.
考点1
考点2
考点3
(2)｜2－｜－×＋.
解：原式＝2－－＋
＝2－－＋＝2－.
考点1
考点2
考点3
例7： 已知x＝2－，求代数式(7＋4)x2＋(2＋)x＋的值.
解：因为x＝2－，所以x2＝7－4，
所以原式＝(7＋4)(7－4)＋(2＋)(2－)＋
＝49－48＋4－3＋＝2＋.
考点1
考点2
考点3
考点3　二次根式的应用
例8： (1)已知是整数，则自然数n的所有可能的值为　 　；
(2)已知是整数，则正整数n的最小值为　　.
例9：已知a＝2＋，b＝2－，则代数式a2b－ab2的值等于　 　.
2，9，14，17，18
6
2
考点1
考点2
考点3
例10： 古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝.若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为　 　.
6
考点1
考点2
考点3
1.下列各式中，计算正确的是( )
A.＋＝ B.4－3＝1
C.2×3＝6 D.÷＝3
C
1
2
3
4
2．估计 的值应在[2025泉州七中模拟4分](　　)
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
3．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．[2025北京]
C
x≥1
1
2
3
4
1
2
3
4
“善思小组”的思路 “智慧小组”的思路
将＋，两个式子分别平方后，再进行比较 以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系比较
根据上面两个小组的思路，解决下列问题：
(1)填空：(＋)2＝　 　，()2＝　　.
5＋2
5
1
2
3
4
(2)①判断△ABC的形状，并说明理由；②判断＋与的大小.
解：①△ABC为直角三角形.
理由：∵＝2，＝3，＝5，
∴＋＝，∴△ABC为直角三角形.
②∵三角形任意两边之和大于第三边，∴＋＞.(共30张PPT)
第一章 数与式
第3课时　代数式、整式和因式分解
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
（四）
(一)代数式
3.求代数式的值：
①直接代入求值；②整体代入求值.
2.列代数式：根据实际问题情境，列出代数式，关键是找出各个量之间的数量关系.
1.概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
（一）
（二）
（三）
（四）
1.(1)x的2倍与y的 的和可以表示为______________；
(2)一件a元的上衣，打7折后再减去20元出售，则售价为____________元．
2．当x＝2时，代数式x2＋5x－6的值为______.
(0.7a－20)
8
（一）
（二）
（三）
（四）
(二)整式的相关概念
（一）
（二）
（三）
（四）
3.在代数式：
①x；②；③；④π；
⑤ －2x＋y2； ⑥ ； ⑦ －中，
单项式有___________；多项式有_________.(填序号)
①④⑦
⑤⑥
（一）
（二）
（三）
（四）
4.(1)－的系数是____，次数是____；
(2)－2x＋y2的项数是___，次数是___，一次项系数是___.
－
3
2
2
－2
（一）
（二）
（三）
（四）
(三)整式的运算
1.整式的加减：先去括号，再合并同类项.
(1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同.例如：3yx3与2x3y.
(2)合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数不变.
例如：2ab＋3ab＝5ab.
（一）
（二）
（三）
（四）
2.整式的乘除：((1)～(6)中m，n为整数，a≠0，b≠0)
(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
(4)am÷an＝am－n；(5)a0＝1；(6)a－m＝；
(7)a (b＋c)＝ab＋ac；(8)(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn；
(9)乘法公式：
①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，
②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
（一）
（二）
（三）
（四）
5.已知－xny2与x3ym是同类项，则m＝____，n＝____.
6.计算：
(1)－4x＋6x＝_____；(2)a2＋a2＋a2＝______.
2
3
2x
3a2
(7)(－1)n＝
7.计算：
(1)x7·x8＝_____； (2)(x2)4＝____；
(3)(－2x)2＝_____；(4)x12÷x4＝____；
(5)20＝___； (6)4－2＝_____；
（一）
（二）
（三）
（四）
x15
x8
4x2
x8
1
（一）
（二）
（三）
（四）
8.－2(a－2b)去括号的结果是__________.
9. 计算：(x＋2)(x－2)＋(x＋2)2＝________.
2x2＋4x
－2a＋4b
（一）
（二）
（三）
（四）
(四)因式分解
1.概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
（一）
（二）
（三）
（四）
2.基本方法：
(1)提公因式法：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c).
(2)公式法
(3)*十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).
3.一般步骤：
（一）
（二）
（三）
10.分解因式：
(1)a2－2a＝________；
(2)3x(a－b)＋2y(a－b)＝________________；
(3)x2－1＝_____________；
(4)a3－2a2b＋ab2＝__________；
*(5)x2＋7x－18＝_____________.
a(a－2)
(a－b) (3x＋2y)
(x＋1)(x－1)
a(a－b)2
(x＋9)(x－2)
考点1
考点2
考点3
考点1　代数式
例1：【新课标新增实例】一个两位数的个位数字是a，十位数字是b(b≠0)，用代数式表示这个两位数为________.
例2：若a－2b＝2，则代数式4＋3a－6b的值为________．[2025漳州一检4分]
10b＋a
10
考点1
考点2
考点3
考点2　整式的运算[5年4考]
例3：【思维生长】下列运算正确的是[2024福建4分]( )
A.a3·a3＝a9 B.a4÷a2＝a2
C.(a3)2＝a5 D.2a2－a2＝2
B
考点1
考点2
考点3
向“运算规则转化”生长：若k为正整数，则
＝(　　)
A．k2k＋1 B．k2k
C．2kk D．k2＋k
B
考点1
考点2
考点3
例4： 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( )
A.a2＋ab＝a(a＋b)
B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D
考点1
考点2
考点3
例5： 已知a＋b＝5，ab＝3.
(1)求a2＋b2的值；
解：因为a＋b＝5，ab＝3，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝25－6＝19.
考点1
考点2
考点3
(2)求(a－b)2的值.
解：根据题意，得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝52－4×3＝25－12＝13.
考点1
考点2
考点3
例6：
考点1
考点2
考点3
＝－2a－16b＋2.
考点1
考点2
考点3
考点3　因式分解[8年3考]
例7：因式分解：x2＋x＝________.[2024福建4分]
例8：已知a＋b＝3，ab＝－4，则代数式a2b＋ab2的值为_____.[2025莆田模拟4分]
例9：已知m＋n＝5，m－n＝－1，则m2－n2＝__________．
x(x＋1)
－12
－5
考点1
考点2
考点3
例10：【代数推理】已知：(a－b)2＋4(a－2c)(b－2c)＝0(c≠0)．求证： ＝4.
证明：∵(a－b)2＋4(a－2c)(b－2c)＝0，
∴a2－2ab＋b2＋4ab－8ac－8bc＋16c2＝0，
∴a2＋2ab＋b2－8ac－8bc＋16c2＝0，
∴(a＋b－4c)2＝0，∴a＋b－4c＝0，∴a＋b＝4c.
1
2
3
4
5
1．下列运算中结果正确的是[2025泉州模拟4分](　　)
A．a3·a2＝a6 B．6a6÷2a2＝3a3
C．(－a2)3＝－a6 D．a＋a＝a2
C
1
2
3
4
5
2．为了美化校园，学校把一个边长为a米(a＞4)的正方形跳远沙池的一边增加1米，相邻的边减少1米改造成矩形的跳远沙池，则沙池的面积会(　　)
A．变小 B．变大
C．没有变化 D．无法确定
A
1
2
3
4
5
3．【代数推理】设abcd是一个四位数，下列说法正确的是[2025泉州模拟4分](　　)
A．若a＋c＝b＋d，则这个数是11的倍数
B．若a＋c＝b－d，则这个数是11的倍数
C．若a－c＝b＋d，则这个数是11的倍数
D．若a－c＝b－d，则这个数是11的倍数
A
1
2
3
4
5
4.已知x2＋kx＋9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为______.
±6
1
2
3
4
5
5.先化简，再求值：(x－1)2＋(x－1)(x＋3)，其中x＝
－.
解：(x－1)2＋(x－1)(x＋3)＝x2－2x＋1＋x2＋3x－x－3＝
2x2－2.
当x＝－时，原式＝2×(－)2－2＝2.(共26张PPT)
第一章 数与式
第4课时　分　式
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
(一)分式的相关概念
1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.
（一）
（二）
（三）
2．分式中，①若分式有意义 B≠0；
②若分式无意义 B＝0；
③若分式＝0 A＝0且B≠0.
（一）
（二）
（三）
1.对于分式，
(1)当x≠___时，分式有意义；
(2)当x＝___时，分式无意义；
(3)当x＝___时，分式的值为0.
2.当x_______时，分式的值为0.
3
3
0
＝－1
（一）
（二）
（三）
(二)分式的基本性质
1.基本性质：
(1)分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，
即＝(用于通分)，＝ (用于约分)，其中A，B，C是整式.且C≠0
(2)符号法则：＝＝－＝－.
（一）
（二）
（三）
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式
（一）
（二）
（三）
3.约分：
(1)＝_____；
(2)＝_______.
2y
（一）
（二）
（三）
4.把，通分，则＝______， ＝_______.
5.分式与的最简公分母是__________.
2(x＋y)2
（一）
（二）
（三）
(三)分式的运算
（一）
（二）
（三）
6.计算：
(1)－＝____；
(2)－x＝____；
(3)3xy·＝_____；
(4)·＝____；
(5)÷＝________；
(6)＝_________.
1
2y3
考点1
考点2
考点3
考点1　分式的相关概念
例1：[思维生长]要使分式有意义，则x的值可以是_________________(写出一个符合要求的x的值)．
[2025厦门翔安区二检4分]
1(答案不唯一)
考点1
考点2
考点3
向“二次根式”生长：要使代数式 有意义，则x的取值范围是______________．[2025福州延安中学三模4分]
x≥－1且x≠0
考点1
考点2
考点3
例2： 若分式的值等于0，则x的值为( )
A.－1 B.0
C.1 D.±1
A
考点1
考点2
考点3
考点2　分式的基本性质
例3：下列分式从左到右的变形不一定正确的是( )
A.＝ B.＝
C.－＝ D.＝
B
考点1
考点2
考点3
考点3　分式的运算[5年4考]
A
考点1
考点2
考点3
D
考点1
考点2
考点3
－6
12
考点1
考点2
考点3
例6：[2025福建8分]
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
例7：化简求值：÷，其中(m，n)在一次函数y＝x－的图象上.
解：原式＝÷＝·＝，
∵(m，n)在一次函数y＝x－的图象上，
∴n＝m－，∴m－n＝，∴原式＝＝.
1
2
3
4
5
1.要使分式有意义，则x的值不可能为( )
A.1 B.－1
C.0 D.2
A
1
2
3
4
5
2.下列等式一定成立的是( )
A.＋＝ B.＝
C.＝ D.＝－
C
1
2
3
4
5
3.照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝＋(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝( )
A. B.
C. D.
C
1
2
3
4
5
3
1
2
3
4
5(共34张PPT)
第一部分
第一章 数与式
第1课时 实 数
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
1.按定义分：
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(一)实数的分类
2.按性质分：正数，0，负数
注意：0既不是正数，也不是负数.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
1.把下列实数填在相应的横线上：
(1)负数：　 　；
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(2)分数：　 　；
(3)无理数：　 　.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(二)实数的相关概念及性质
1.数轴：
(1)数轴的三要素：
(2)实数与数轴上的点一一对应.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
2.(1)相反数：若a，b互为相反数，则a＋b＝0.
4.绝对值：
(1)代数意义：｜a｜＝绝对值具有非负性.
(2)几何意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离.
3. 倒数：若a，b互为倒数，则ab＝1.注意：0没有倒数。
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
2.如图，点A，B表示数轴上的两个点.
(1)点B表示的数的相反数是　　；
倒数是　　；绝对值是　　；
(2)A，B两点之间的距离是　　；
(3)到点A的距离为3个单位长度的点表示的数是　 　.
－3
3
2
4或－2
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(三)科学记数法
把一个整数或有限小数记成a×10n的形式.
如：3 500＝3.5×103，2万＝2×104，6亿＝6×108.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
3.用科学记数法表示下列各数：
(1)16 700＝　 　；
(2)0.000 022＝　 　；
1.67×104
2.2×10－5
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(四)数的开方
平方根 算术平方根 立方根
a≥0 ±
a<0 无 无
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
4.计算：
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
2
－3
±4
－3
0
2
(五)实数的大小比较与估值
1.数轴比较法：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
2.性质比较法：
正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小.
3.作差比较法：
若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；
若a－b＜0，则a＜b.
5.常见估值：≈1.414，≈1.732，≈2.236.
4.平方比较法：若a＞b＞0，则＞.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
5.比较大小(填“>”“<”或“＝”)：
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
<
<
<
>
6.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则｜a＋b｜＝　 　，｜a－b｜＝　 　.
－a－b
b－a
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
考点1　实数的分类及正负数的意义[5年3考]
例1：下列实数中，是无理数的是 [2024福建4分]( )
A.－3 B.0
C. D.
D
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
例2：为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，她将体重增加1.5 kg记作＋1.5 kg，那么体重减少1 kg应记作______kg.(理解正负数的意义)
[2025福建4分]
－1
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
考点2　实数的相关概念[5年1考]
例3：【思维生长】2 025的相反数是[2025龙岩一模4分](　　)
A
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
向“绝对值”生长：若一个数的绝对值是2，则这个数是[2025厦门一中模拟4分](　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．0
向“符号化简”生长：下列式子中，化简结果为5的是[2025福州屏东中学二模4分](　　)
A．＋(－5) B．－(＋5) C．－(－5) D．－|－5|
C
C
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
例4：如图，点A与点B在数轴上，AB＝5，点A对应的数为－1，则点B所对应的数为______．[2025厦门同安一中一检4分]
【拓展设问1】若点C是AB的中点，则点C表示的数是________．
【拓展设问2】将点A先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度，到达点D，则点D表示的数是________．
4
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
2
考点3　科学记数法[5年4考]
例5：在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破40 000 000次．数据40 000 000用科学记数法表示为
[2025厦门一中二模4分](　　)
A．4×106 B．4×107 C．4×108 D．0.4×108
B
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
【拓展设问】数据5 670万用科学记数法表示为_________．
5.67×107　
例6： 体积为8的立方体的棱长是[2025厦门六中二模4分]
(　　)
A．8的平方根 B．8的算术平方根
C．8的立方 D．8的立方根
例7： 如果m＋3，m－1是一个正数的两个平方根，则m＝　 　.
D
－1
考点4　算数平方根、平方根、立方根
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
考点5　实数的大小比较[5年3考]
例8：【思维生长】下列实数中，最小的数是
[2025福建4分](　　)
A.－1 B.0
C. D.2
A
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
向“数形结合”生长：如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最大的实数为(　　)
[2025三明三元区三模4分]
A．d B．c C．b D．a
向“数形结合——逆向思维”生长：无理数a在数轴上对应点的位置如图所示，则无理数a可能是______．(写出一个即可)
A
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
考点6　实数的常见运算[5年5考]
答题模版与评分标准
解：原式＝________________　依次计算零指数幂、绝对值、算术平方根
………………………………………………6分
＝_________．　　 合并得出结果
………………………………………………8分
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
例9：[2025福建8分]
例10：计算：
(1)(－1)0＋｜－5｜－；[2024福建8分]　　　　
解：原式＝1＋5－2＝4.　　　　　　　　　　　　
(2)＋｜－2｜－.
解：原式＝3＋2－2＝3.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
1.特殊的负整数指数幂：
a－1＝(a≠0)，如：2－1＝，＝－2.
口诀：倒底数(底数a变)，反指数(指数－1变1)
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
2.去绝对值符号：＝
1．下列实数中最小的是[2025莆田模拟4分](　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－
D
1
2
3
4
5
2．根据福州市文旅局的数据统计，2025年“五一”假日期间，全市累计接待游客约30 986 800人次，数据30 986 800用科学记数法可表示为[2025福州延安中学三模改编](　　)
A．30.986 8×106 B．3.098 68×106
C．3.098 68×107 D．309 868×102
C
1
2
3
4
5
3．如图，a，b是数轴上的两个数，则a－b可能是[2025厦门翔安区二模4分](　　)
A．－3
B．0
C．0.5
D．1
A
1
2
3
4
5
4.2－的相反数是　 　，｜－2｜＝　 　.
－2
2－
1
2
3
4
5
5.计算：
1
2
3
4
5

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