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(共30张PPT)
第三章 函　数
第14课时　二次函数的待定系数法及与方程、不等式的综合
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)确定函数解析式
1．二次函数解析式的三种形式．
一般式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标
三者互化：
（一）
（二）
2.利用待定系数法求函数解析式：
一设：设相应的解析式；
二代：将已知点的坐标代入解析式，得到方程(组)；
三解：解方程(组)；
四写：将参数值代回所设解析式，写出解析式.
（一）
（二）
3.利用函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象的几何变换确定新函数解析式：
（一）
（二）
(1)平移
平移方式(m＞0) 平移后二次函数的解析式 简记
向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 左加右减
向右平移 m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 上加下减
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m
（一）
（二）
(2)轴对称、旋转
变换方式 a 顶点坐标 解析式
轴对称 变换 关于x轴对称 －a (h，－k) y＝－a(x－h)2－k
关于y轴对称 a (－h，k) y＝a(x＋h)2＋k
旋转 变换 绕顶点旋转180° －a (h，k) y＝－a(x－h)2＋k
绕原点旋转180° －a (－h，－k) y＝－a(x＋h)2－k
（一）
（二）
1.已知二次函数y＝x2＋2x＋1.
(1)把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式为____________；
(2)把它的图象向左平移1个单位长度，就得到了抛物线y＝________；
(3)把它的图象向下平移1个单位长度，就得到了抛物线y＝____________；
(4)把它的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到了抛物线y＝______.
y＝(x＋1)2
(x＋2)2
(x＋1)2－1
x2＋3
（一）
（二）
2.某抛物线的顶点坐标为(－1，3)，且过点(2，8)，求此抛物线的解析式.
解：因为抛物线的顶点坐标为(－1，3)，所以可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋3.因为抛物线过点(2，8)，
所以8＝9a＋3，解得a＝，
所以抛物线的解析式为y＝(x＋1)2＋3.
（一）
（二）
3．已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，－2)，求此抛物线的解析式
解：设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－1)，将(0，－2)代入解析式，得－2＝－2a，解得a＝1.
所以抛物线的解析式为y＝(x＋2)(x－1)．
（一）
（二）
(二)二次函数与方程、不等式的综合
1.与方程的关系：
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标的值.
（一）
（二）
抛物线与x轴交点的个数 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac＞0 两个交点 有两个不相等的实数根
b2－4ac＝0 一个交点 有两个相等的实数根
b2－4ac＜0 没有交点 没有实数根
（一）
（二）
2.与不等式的关系：
a＞0 ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜x1或x＞x2
ax2＋bx＋c＜0的解集为x1＜x＜x2
a＜0 ax2＋bx＋c＞0的解集为x1＜x＜x2
ax2＋bx＋c＜0的解集为x＜x1或x＞x2
（一）
（二）
4.在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m如图所示，请你观察图象并回答下列问题：
(1)方程x2＋bx＋c＝0的解是______________；
(2)当_____________时，y1＞0；
x1＝0，x2＝4
x＜0或x＞4
（一）
（二）
(3)当____________时，y1＝y2；
(4)当___________时，y1＜y2；
(5)方程组的解是________________.
x＝－1或3
－1＜x＜3
或
考点1
考点2
考点1　确定函数解析式[5年5考]
例1：[2024福建中考节选4分]
答题模板与评分标准
已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．求二次函数的解析式.
解：将(－2，0)，(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，
得____________________，…………………………………1分
解得____________________，…………………………………2分
所以，二次函数的解析式为____________________．………4分
y＝x2＋x－2
考点1
考点2
例2：如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点C(0，－4)，交x轴于A，B两点，OC＝2OB，请求出a，b满足的关系式．
解：∵C(0，－4)，∴OC＝4.∵OC＝2OB，∴OB＝2，
∴B(2，0).将点B(2，0)，C(0，－4)的坐标代入
y＝ax2＋bx＋c，得
∴2a＋b＝2.
考点1
考点2
例3：已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，AB＝4.若该抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，求该抛物线的解析式.
解：∵y＝ax2－2ax＋c＝a(x－1)2－a＋c，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，AB＝4，
∴解得∴A(－1，0)，B(3，0).
考点1
考点2
∵抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，且a＜0，
∴该抛物线顶点的纵坐标为4，
∴该抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4.
将A(－1，0)的坐标代入，得4a＋4＝0，解得a＝－1.
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4.
考点1
考点2
例4：已知二次函数的解析式为y＝x2－2x＋c.[2025莆田荔城区模拟节选]
(1)若点(h，c)在该二次函数的图象上，求h的值；
解：∵点(h，c)在该二次函数的图象上，
∴h2－2h＋c＝c，
∴h2－2h＝0，解得h＝0或h＝2.
考点1
考点2
(2)若该二次函数图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后经过点(－2，5)，求平移后的二次函数解析式．
解：y＝x2－2x＋c＝(x－1)2＋c－1，∵二次函数图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数解析式为y＝(x＋1)2＋c＋2，
∵平移后的二次函数图象经过点(－2，5)，
∴5＝(－2＋1)2＋c＋2，解得c＝2，
∴平移后的二次函数解析式为y＝(x＋1)2＋4.
考点1
考点2
考点2　二次函数与方程、不等式的关系[5年2考]
例5：如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋c＞mx＋n的解集为 ( )
A.x＞－1 B.x＜3
C.－1＜x＜3 D.x＜－1或x＞3
D
考点1
考点2
例6：已知二次函数y＝x2－2x－3，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有3个交点时，m的值为( )
A. B.
C.3或 D.3或
D
考点1
考点2
例7：在平面直角坐标系内，已知点A(－1，1)，点B(1，1)，若抛物线y＝x2－ax＋1(a>0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．
0考点1
考点2
例8：【思维生长】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－ktx＋t2－k.求证：当k＝2时，抛物线与x轴有两个交点．[2025福州质检节选]
证明：当k＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－2tx＋t2－2，令y＝0，则x2－2tx＋t2－2＝0，
∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2)＝8>0，
∴方程x2－2tx＋t2－2＝0有两个不相等的实数根，
∴当k＝2时，抛物线与x轴有两个交点．
考点1
考点2
向“逆向思维”生长：已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a<0)．若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)，且x2＝－2x1，求证：a＋b2＝0.[2025三明三元区一模节选]
证明：∵该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)，
∴x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根，
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象可得，方程 ax2＋bx＋c＝2的两个根为________________．
x1＝x2＝2
1
2
3
2．已知二次函数y＝－x2－4x＋3，将其图象向右平移k(k>0)个单位长度，得到新的二次函数y1的图象，使得当x＝3时，y1取得最值，则实数k的值为________．[2025龙岩二模改编]
5
1
2
3
3.已知二次函数y＝2x2＋bx＋c(a≠0).
(1)若该函数图象的对称轴为x＝1，且过点(0，3)，求该函数的解析式；
解：∵对称轴为x＝1，∴－＝－＝－＝1，
∴b＝－4.把点(0，3)代入y＝2x2－4x＋c，得c＝3，
∴该函数的解析式为y＝2x2－4x＋3.
1
2
3
(2)若方程2x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，
求证：2b＋8c≥－1.
证明：∵方程2x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝b2－8c＝0，∴b2＝8c，
∴2b＋8c＝2b＋b2＝b2＋2b＋1－1＝(b＋1)2－1.
∵(b＋1)2≥0，∴(b＋1)2－1≥－1，∴2b＋8c≥－1.
1
2
3(共29张PPT)
第三章 函　数
第11课时　一次函数的图象和性质
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
（四）
(一)一次函数的定义、图象与性质
1.概念：y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，特别地，当b＝0时，一次函数 y＝kx为正比例函数.
（一）
（二）
（三）
（四）
2．一次函数与正比例函数的关系：
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y＝kx平行的一条直线，它可以由直线y＝kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)．
（一）
（二）
（三）
（四）
3.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与性质：
k＞0 k＜0
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
（一）
（二）
（三）
（四）
k决定直线的倾斜方向和倾斜程度，b决定直线与y轴的交点情况.
（一）
（二）
（三）
（四）
(二) 一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况
向左平移m个单位长度 y＝kx＋b y＝k(x＋m)＋b
向右平移m个单位长度 y＝kx＋b y＝k(x－m)＋b
向上平移n个单位长度 y＝kx＋b y＝kx＋b＋n
向下平移n个单位长度 y＝kx＋b y＝kx＋b－n
1.已知一次函数的解析式为y＝2x－3.
(1)该函数的图象与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为________.
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中画
出该一次函数的图象.
（一）
（二）
（三）
（四）
(0，－3)
如图所示．
(3)该函数图象经过第___________象限，y随x的增大而________.
(4)若点A(－1，y1)，B(2，y2)在该函数的图象上，则y1________y2.(填“>”“<”或“＝”)
(5)将一次函数y＝2x－3的图象向上平移2个单位长度，得到新的一次函数的解析式为__________________.
一、三、四
增大
<
y＝2x－1
（一）
（二）
（三）
（四）
(6)直线y＝2x可由y＝2x－3向________平移________个单位长度得到，将y＝2x向右平移4个单位长度，所得直线的解析式为__________________.
上
3
y＝2(x－4)
（一）
（二）
（三）
（四）
（一）
（二）
（三）
（四）
(三)待定系数法求函数解析式
步骤
（一）
（二）
（三）
（四）
2.已知y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y关于x的函数解析式为_________.
3.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)与点(2，5)，则这个函数的解析式为_____________.
y＝x
y＝2x＋1
（一）
（二）
（三）
（四）
(四)一次函数与方程(组)、不等式的关系
1．一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系：
从函数图象看方程的解 从函数图象看不等式的解集
（一）
（二）
（三）
（四）
2.一次函数与二元一次方程组的关系：
(1)从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时相应的两个一次函数的值相等，以及这个值是多少；
(2)从“形”看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
（一）
（二）
（三）
（四）
4.如图，先观察图象，然后填空：
(1)当x________时，y1＝y2；
＝－2
(2)方程组 的解是___________；
(3)不等式x＋4＞－2x－2的解集是________.
x＞－2
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1　一次函数的概念、图象与性质
例1：过A，B两点画一次函数y＝－x＋2的图象，已知点A的坐标为(0，2)，则点B的坐标可以为______________________．
(填一个符合要求的点的坐标即可)[2025苏州]
(1，1)(答案不唯一)
考点1
考点2
考点3
考点4
例2：光从空气进入水中的光路图如图所示，建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则下列关于k1与k2的大小关系中，正确的是( )
A.k2＜0＜k1
B.k1＜0＜k2
C.k1＜k2＜0
D.k2＜k1＜0
D
考点1
考点2
考点3
考点4
例3：【思维生长】已知一次函数y＝(k－3)x＋1，函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k<0 C．k>3 D．k<3
向“代数推理”生长：A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝(m－2)x＋5上相异的两点，若 >0，则m的取值范围是[2025泉州永春联考4分](　　)
A．m>2 B．m<2 C．m≥2 D．m≤2
D
A
考点1
考点2
考点3
考点4
考点2　一次函数图象的平移
例4：【思维生长】将直线y＝3x向下平移2个单位长度，所得的函数图象过点(a，2)，则a的值为________．
向“含参函数”生长：在平面直角坐标系中，将一次函数y＝x＋m(m为常数)的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点．若点A(－1，n)在一次函数y＝x＋m的图象上，则n＝______．
－3
考点1
考点2
考点3
考点4
考点3　待定系数法求解析式[5年1考]
例5：若正比例函数y＝kx的图象过点(1，5)，则k的值为__________．
5
例6： 已知一次函数y＝kx＋b的图象过点A(3，5)与B(－4，－9)．
(1)求这个一次函数的解析式；
解：解：∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(3，5)与B(－4，－9)，
∴解方程组得
∴这个一次函数的解析式为y＝2x－1.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)若点C的坐标为(1，1)，求证：A，B，C三点共线.
证明：∵当x＝1时，y＝2×1－1＝1，∴点C在该一次函数的图象上，
又∵该一次函数的图象过点A，B，∴A，B，C三点共线.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
考点4　一次函数与方程(组)、不等式的关系[5年1考]
例7： 已知直线y＝3x－5与y＝2x＋b交点的坐标为(1，－2)，则方程组 的解为________，b的值为________．
－4
考点1
考点2
考点3
考点4
例8：如图，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则不等式k(x－1)＋b＞0的解集是_____.[2025泉州六中模拟改编]
x＞0
1
2
3
1.已知一次函数y＝2x＋b的图象经过点(0，3)，则b的值为___.[2024龙岩模拟4分]
3
1
2
3
2．如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数y＝kx＋1(k>0)的图象不可能经过点________________．[2025泉州石狮质检4分]
A
1
2
3
3.如图，直线l1对应的函数解析式为y＝－3x＋3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B，直线l1、l2交于点C.
(1)求直线l2对应的函数解析式；
1
2
3
解：设直线l2对应的函数解析式是y＝kx＋b，根据题意得解得
则直线l2对应的函数解析式是y＝x－6.
1
2
3
(2)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为　 　.
(6，3)(共21张PPT)
第三章 函　数
第12课时　一次函数的应用
教材梳理篇
课堂精讲——聚焦福建中考
1
当堂小练
2
教材梳理篇
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1　利用一次函数解决跨学科问题[5年1考]
例1：大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：
考点1
考点2
考点3
考点4
若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为(　　)
A．9 ℃ B．10 ℃ C．11 ℃ D．12 ℃
气温(℃) … 13 15 17 19 …
蟋蟀鸣叫次数(次/分钟) … 70 84 98 112 …
B
考点1
考点2
考点3
考点4
例2：弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为________千克．[2025福建4分]
0.8
考点1
考点2
考点3
考点4
考点2　利用一次函数解决分段函数问题
例3：蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在0 ℃以下的气温条件超过3 h，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时至8时的霜冻预警，室外气温y(单位：℃)随时间x(单位：h)的变化图象(图象由两条有公共端点的线段组成)如图所示．
(1)当0≤x≤4时，求y与x的函数解析式；
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升10 ℃至设定温度后维持恒温．若该蔬菜大棚在第二天4时48分开启恒温设备，则该蔬菜大棚________遭受冻害(填“会”或“不会”)．[2025厦门集美区三模改编]
不会
考点1
考点2
考点3
考点4
考点3　利用一次函数解决方案决策问题
例4：过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，今年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y(元)与员工每周生产的产品数量x(件)之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．结合图象解答下列问题：
(1)求方案二的y关于x的函数解析式．
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案？
解：由题图可得，
若每周生产的产品数量不足30件，则选择方案二；
若每周生产的产品数量为30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；
若每周生产的产品数量超过30件，则选择方案一．
考点1
考点2
考点3
考点4
考点4　利用一次函数解决最值问题[5年2考]
例5：在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型(记作A)和工程车模型(记作B)共100台，已知售出3台A模型和2台B模型共收入130元，售出4台A模型和3台B模型共收入180元．
(1)求A，B两种模型每台的售价各是多少元；
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多，并求出总收入的最大值．
考点1
考点2
考点3
考点4
∵10>0，∴w随m的增大而增大，
∴当m＝66时，w有最大值，为10×66＋2 000＝2 660.
此时，100－m＝34，
∴准备A模型66台，B模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2 660元．
考点1
考点2
考点3
考点4
提分笔记
1
2
1.某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y(单位：厘米)与观察时间x(单位：天)的关系如图所示(AC是线段，直线CD平行于x轴).下列说法正确的是( )
①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；
②直线AC的函数解析式为y＝x＋6；
③第40天时，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为15厘米.
A.①②③　　　　　　 B.②④
C.②③　　　　　　 D.①②③④
A
1
2
2．随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间．某公司用两种充电桩(图①)对目前电量为20%的新能源汽车充电．经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，其电量y与充电
时间x(单位：h)的函数图象分别为图②中
的线段AB，AC.根据以上信息，回答下列问题：
1
2
(1)求线段AB和线段AC所对应的函数解析式；(写出取值范围)
1
2
1
2
(2)在某次出行之前，李梅要对余电10%的电车充电，先用快速充电桩充电，再用普通充电桩充电，要求用 h完成充电，请你设计一个合理的充电方案．(共25张PPT)
第三章 函　数
第9课时　平面直角坐标系
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)平面直角坐标系中点的坐标特征
1.点的坐标的特征
(1)如图，点在象限内或坐
标轴上.
（一）
（二）
(2)如图，点在各象限角平分线上.
第一、三象限角平分线上的点xA＝yA；
第二、四象限角平分线上的点xB＝ －yB.
（一）
（二）
(3)点在平行于坐标轴的直线上．
①与x轴平行的直线上的点的纵坐标)都相等；
②与y轴平行的直线上的点的横坐标)都相等．
（一）
（二）
2.点的坐标的意义
点到坐标轴及原点的距离(如图)：
(1)点P到y轴的距离是｜x｜，即线段PM的长度.
(2)点P到x轴的距离是｜y｜，即线段PN的长度.
(3)点P到原点的距离是，即线段PO的长度.
（一）
（二）
1.填空：
(1)点(－2，3)所在的象限是第___象限；点(0，－4)是_______上的点；
(2)点P(－5，a)在第一、三象限的角平分线上，则a的值为________；
(3)点C(3，－4)到x轴的距离为____，到y轴的距离为_____，到原点的距离为________．
二
y轴
－5
4
3
5
（一）
（二）
(二)点的坐标变换
1.点的平移变换(a>0，b>0)
点P(x，y)向左平移a个单位长度P1(x－a，y)，
点P(x，y)向右平移a个单位长度P2(x＋a，y)，
点P(x，y)向上平移b个单位长度P3(x，y＋b)，
点P(x，y)向下平移b个单位长度P4(x，y－b)．
（一）
（二）
2.点的对称变换(如图)
（一）
（二）
2.已知点P(－1，2).
(1)点P先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标是_______；
(2)点P关于x轴的对称点的坐标是__________；
(3)点P关于原点的对称点的坐标是_________.
(4)点P关于原点对称的点的坐标是__________.
(2，0)
(－1，－2)
(1，2)
(1，－2)
考点1
考点2
考点1　平面直角坐标系中点的坐标特征
例1：已知点P(a－2，2a＋6)，Q(4－a，a－3)．
(1)若点P在第二象限，则a的取值范围是___________；
(2)若点P到x轴的距离是5，则a的值是__________________；
(3)若点P在y轴上，则点Q在第________象限；
(4)若线段PQ∥x轴，则点P的坐标为_________________；
(5)若a＝0，则线段PQ的长为__________．
－3四
(－11，－12)
考点1
考点2
考点1
考点2
例2：在平面直角坐标系中，点P所在的象限是[2025泉州泉港区模考4分]( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
考点1
考点2
例3： 如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(－2，1)．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(－2，－1) D．(2，1)
B
考点1
考点2
考点2　点的坐标变换[5年1考]
例4：【思维生长】在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标分别是(－1，－1)，(－1，2)，(3，－1)，则第四个顶点的坐标是(　　)
A．(2，2) B．(3，2) C．(3，3) D．(2，3)
B
考点1
考点2
向“分类讨论思想”生长：将一个边长为2的正方形放在平面直角坐标系中，使它的两条对称轴分别与坐标轴重合，则这个正方形四个顶点的坐标分别为___________________________
_______________________________________________．
考点1
考点2
例5：【思维生长】平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(0，)，则坐标原点O关于直线AB对称的点O'的坐标为__________.
考点1
考点2
向“逆运算”生长：如图，M是正六边形EFGHPQ的中心．在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0，0)，点E的坐标为
(－1，0)，则点H的坐标为(　　)
A．(－2，0)
B．(1，1)
C．(1，0)
D．(2，0)
C
考点1
考点2
例6：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，4)，C(5，1)，△A1B1C1是由△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)画出△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所作.
考点1
考点2
(2)直接写出点B1，C1的坐标；
解：B1(－4，－4)，C1(－5，－1).
考点1
考点2
(3)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，画出对应的图形，并直接写出B2，C2的坐标.[2024南平一检改编]
解：如图，△AB2C2即为所作.
B2(－2，4)，C2(1，5).
1．如图是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B
1
2
3
4
5
2．点M在第四象限，它到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点M的坐标为__________．
(4，－1)
1
2
3
4
5
3．已知过A(a，－2)，B(3，－4)两点的直线平行于y轴，则a的值为________．
3
1
2
3
4
5
4．在平面直角坐标系xOy中，作点P(1，－1)关于y轴的对称点P1，再将点P1向上平移3个单位长度，得到点P2，则点P2的坐标为________．
5．在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A(6，5)，当点B的坐标为________时，线段AB的长度最短．
1
2
3
4
5
(－1，2)
(6，0)(共25张PPT)
第三章 函　数
第13课时　二次函数的图象和性质
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
(一)二次函数的概念
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
（一）
（二）
（三）
1.若关于x的函数y＝(a－2)x2－x是二次函数，则a的取值范围是__________.
a≠2
（一）
（二）
（三）
(二)二次函数的图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
开口方向 a>0，开口向上 a<0，开口向下
（一）
（二）
（三）
对称轴 直线x＝－
顶点坐标
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，
y随x的增大而减小
（一）
（二）
（三）
最值 抛物线最小值 抛物线有最大值
（一）
（二）
（三）
2.在给出的平面直角坐标系中画出二次函数y＝－(x－1)2＋3的图象，并回答下列问题.
解：画出二次函数y＝－(x－1)2＋3的图象如图所示.
（一）
（二）
（三）
(1)函数图象的开口向_____；
(2)函数图象的对称轴为直线______；
(3)函数图象的顶点坐标为________；
(4)当x______时，y随x的增大而增大，
当x______时，y随x的增大而减小；
(5)当_______时，y有最大值，最大值为___.
下
x＝1
(1，3)
＜1
＞1
x＝1
3
（一）
（二）
（三）
(三)二次函数图象的特征与系数a，b，c的关系
系数 符号 图象的特征
a，b b＝0 对称轴为y轴
a，b同号(ab>0) 对称轴在y轴左侧
a，b异号(ab<0) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
（一）
（二）
（三）
3.如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，观察图象，用“>”“<”或“＝”回答下列问题：
(1)a______0，b______0，c______0；
(2)2a－b______0；
(3)a＋b＋c______0，4a＋2b＋c______0.
＞
＞
＝
＞
＝
＞
考点1
考点2
考点1　二次函数的图象与性质[5年5考]
例1： 对于二次函数y＝5x2－3的图象，下列说法正确的是(　　)
A．开口向下 B．当x＝0时，函数取得最小值－3
C．对称轴是直线x＝－3 D．顶点坐标是(－3，0)
B
考点1
考点2
例2：已知二次函数y＝x2－bx＋c的图象经过A(1，n)，B(3，n)，则b的值为( )
A.2 B.－2
C.4 D.－4
C
例3：【思维生长】已知抛物线y＝x2＋2x－3经过(－2，y1)和(2，y2)两点，则y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
<
考点1
考点2
向“逆向推理”生长：已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a>0)，点(t，y1)，(t＋2，y2)都在该抛物线上，且y1t>－2
考点1
考点2
向“分类讨论思想”生长：二次函数y＝ax2－4ax＋3的图象上有A(a，y1)，B(4，y2)两点．下列说法正确的是________(填序号)．[2025厦门湖里区三模改编]
①当a>4时，y12时，y1③当a<0时，y1y2.
③
考点1
考点2
向“代数推理”生长：已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点
(4，0)．
(1)求该抛物线的对称轴；
考点1
考点2
解：将点(4，0)的坐标代入y＝ax2＋bx，得16a＋4b＝0，即b＝－4a，所以－ ＝2，
故该抛物线的对称轴是直线x＝2.
(2)点A(x1，y1)和B(x2，y2)分别在抛物线y＝ax2＋bx和y＝x2－2x上(A，B与原点都不重合)．若a＝ ，且x1＝x2，比较y1与y2的大小．[2025安徽中考节选]
考点1
考点2
考点1
考点2
例4：已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(a>0)，当0≤x≤5时，求函数的最大值和最小值(用含a的式子表示)．
解：因为a>0，所以二次函数图象开口向上．又因为0≤x≤5，二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以当x＝1时，y最小＝a－2a＋3＝3－a；当x＝5时，y最大＝25a－10a＋3＝15a＋3，所以当a>0，且0≤x≤5时，函数的最大值为15a＋3，最小值为3－a.
考点1
考点2
考点2　二次函数图象的特征与系数a，b，c的关系
根据函数图象判断相关结论：
结论形式 解题思路
2a＋b 比较－ 和1的大小
2a－b 比较－ 和－1的大小
a＋b＋c 当x＝1时，看纵坐标的正负
a－b＋c 当x＝－1时，看纵坐标的正负
4a＋2b＋c 当x＝2时，看纵坐标的正负
4a－2b＋c 当x＝－2时，看纵坐标的正负
考点1
考点2
例5：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下几个结论：①abc<0；②a＋b＋c<0；③4a＋c>2b；④2a－b＝0；⑤m(am＋b)＋b②③④⑤
考点1
考点2
例6：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是(　　)
A．a<0 B．c<0
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
C
1.垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2－2x＋4交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，则下列关于x1＋x2的关系式正确的是( )
A.x1＋x2＜2 B.x1＋x2＞2
C.x1＋x2＝2 D.x1＋x2≥3
C
1
2
3
2．点A(a，m)，B(3，n)，C(a＋6，m)均在抛物线y＝x2－2kx上，若m>n，则k的值不可能是[2025漳州一模4分](　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
D
1
2
3
3．已知二次函数的解析式为y＝x2－2x＋c.当－1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥－4.[2025厦门同安一中一检节选]
1
2
3
证明：∵y＝x2－2x＋c＝(x－1)2＋c－1，
∴函数图象的对称轴为直线x＝1，∵1＞0，－1≤x≤2，
∴当x＝－1时函数取得最大值，当x＝1时函数取得最小值，∴m＝1＋2＋c＝c＋3，n＝1－2＋c＝c－1，∴mn＝(c＋3)(c－1)＝c2＋2c－3＝(c＋1)2－4≥－4，即mn≥－4.(共28张PPT)
第三章 函　数
第15课时　二次函数的应用
教材梳理篇
考点1　抛物线形问题
例1： 如图是抛物线形拱桥，当
拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.水面下降1 m，
水面宽度增加_________m.
(2－4)
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
例2：某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示.该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为_______W.
220
考点4
例3：为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是(　　)[2025浙江]
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点(15，85)在该函数图象上
D
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点2　面积问题
例4： 如图，用一段长为32 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x m，苗圃园的面积为y m2. (1)求y关于x的函数解析式.
考点4
考点1
考点2
考点3
解：由题意可知，平行于墙的一边BC的长为(32－2x) m，
∴y＝AB·BC＝x(32－2x)＝－2x2＋32x.
∵墙长为18 m，∴0＜32－2x≤18，∴7≤x＜16，
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x2＋32x(7≤x＜16).
考点4
考点1
考点2
考点3
(2)当x为何值时，苗圃园的面积最大？最大面积为多少平方米？
解：∵y＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128(7≤x＜16)，
∴当x＝8时，y取得最大值，此时y＝128，
即当x＝8时，苗圃园的面积最大，最大面积是128 m2.
考点4
考点1
考点2
考点3
例5：一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2 m，面积为1.5 m2.甲、乙两人分别按图①、图②用它设计一个长方形桌面．请分别求出图①、图②中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数解析式，并分别求出面积的最大值．[2025连云港节选]
考点4
考点1
考点2
考点3
解：∵∠C＝90°，BC＝2 m，面积为1.5 m2，∴AC＝1.5 m，
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点3　利润最值问题
例6：某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，每涨价1元，月销售量就减少10千克.
(1)写出月销售量y(单位：千克)与售价x(单位：元/千克)之间的函数关系式；
解：y＝500－10(x－50)＝1 000－10x.
考点4
考点1
考点2
考点3
(2)当售价x定为多少时，会获得最大月利润？并求出最大月利润.
解：设月利润为w元.
∴w＝ y(x－40)＝ (1 000－10x)(x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000＝
－10(x－70)2＋9 000.
当x＝70时，w有最大值，此时w＝9 000.
∴当售价定为70元/千克时，会获得最大月利润，最大月利润为
9 000元.
考点4
考点4　在实际问题中建立函数模型
例7：综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
考点1
考点2
考点3
考点4
【研究背景】
已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
考点1
考点2
考点3
考点4
【数据收集】
研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x (标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
考点1
考点2
考点3
考点4
【数据分析】
如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
考点1
考点2
考点3
考点4
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的解析式；
考点1
考点2
考点3
考点4
解：观察上述各点的分布规律，估计y关于x的函数是二次函数，设该二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入，
考点1
考点2
考点3
考点4
∴y＝－7x2＋28x＋35，将其余点的坐标分别代入解析式，易知均符合该解析式，
∴该二次函数的解析式为y＝－7x2＋28x＋35.
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．[2025兰州]
考点1
考点2
考点3
考点4
解：当x＝0时，y＝35，∴种子自然发芽率为35.由题中数据可知，当x＝4时，y＝35.当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝5，结合图象可知抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4例8：综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安检通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；
考点1
考点2
考点3
考点4
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30)．
结合上述信息，请完成下述问题：
考点1
考点2
考点3
考点4
(1)当开通3条安检通道，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为____________________．
考点1
考点2
考点3
考点4
w＝－x2＋42x＋100
18x
【模型应用】
(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大值为多少？
考点1
考点2
考点3
考点4
解：w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541(0≤x≤30)，∵－1<0，∴抛物线开口向下，∴当x＝21时，w取得最大值，为541.即排队人数在第21分钟达到最大值，最大值为541.
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道？请说明理由．
考点1
考点2
考点3
考点4
解：可开设7条安检通道．理由：设开设m条安检通道，则w＝y－6mx＝－x2＋60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)x＋100，∴对称轴为直线x＝3(10－m)．
考点1
考点2
考点3
考点4
又∵最多可开放9条，∴ ≤m≤9.
∵m为正整数，∴m的最小值为7，∴可开设7条安检通道．
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．[2025深圳]
考点1
考点2
考点3
考点4(共23张PPT)
第三章 函　数
第10课时　变量与函数
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)函数的相关概念
1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．
2．函数的表示方法：①解析式法；②列表法；③图象法．
（一）
（二）
3.自变量的取值范围：自变量的取值应使函数关系式有意义，同时在实际问题中，应使实际问题有意义.
类型 分式型 偶次根型 分式＋偶次根型
自变量需满足 分母≠0 被开方数≥0 分母≠0且被开方数≥0
示例 y＝ （x≠－1） y＝ （x≥－1） y＝
（x＞－1）
（一）
（二）
4.函数值：如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
（一）
（二）
1.在横线上直接写出下列函数自变量的取值范围.
(1)y＝x2；_______________________
x为任意实数
(2)y＝；__________________________
x≠1
(3)y＝._____________________
x≥2
（一）
（二）
(1) y＝3x－5 __________；
(2) y＝ __________；
(3) y＝ __________.
10
2
2.在横线上直接写出当x＝5时下列函数的函数值.
（一）
（二）
(二)函数的图象
函数的画图步骤：列表→描点→连线.
考点1
考点2
考点1　函数的相关概念
例1： 汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知平均耗油量为0.1 L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
(2)指出自变量x的取值范围；
它们的关系为y＝50－0.1x.
由题意得0≤0.1x≤50，
∴自变量x的取值范围是0≤x≤500.
考点1
考点2
例1： 汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知平均耗油量为0.1 L/km.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.
因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油．
考点1
考点2
考点2　函数的表示方法及图象
例2：【思维可视化】在体重管理年，王爷爷为了保持健康，积极锻炼，骑车是他常选的运动方式．如图，折线表示王爷爷骑车离家的距离y(千米)与时间x的关系．王爷爷9：00离开家，15：00回到家．请你根据图回答下列问题．
考点1
考点2
(1)【看坐标轴】观察时间看____________，观察距离看______________；
(2)【看线】图中表示休息阶段的是________，表示返程阶段的是________；(填序号)
横轴(或x轴)
纵轴(或y轴)
②④
⑤⑥
考点1
考点2
(3)【看点】__________________时间段离家最远，最远距离为________千米，11：00～12：30骑行了________千米；
(4)【找等量关系】9：00～10：30的平均速度为________千米/时，11：00～12：30的平均速度为______千米/时，返回家时的平均速度是________千米/时．
12：30～13：30
45
15
20
10
30
考点1
考点2
提分笔记
识图“四看”
1．看坐标轴——看图象横、纵坐标的实际意义；
2．看线———从左到右看，图象是上升、下降还是水平；
3．看点———看图象的特征点，如起点、终点、交点、最高点、最低点等；
4．找等量关系——根据变量x，y所带单位，找出等量关系，进行列式计算．
考点1
考点2
例3：【思维生长】下面是物理课上测量铁块A的体积实验，如图，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是[2025漳州一检4分](　　)
B
考点1
考点2
向“图象推理”生长：现有四种奶茶杯子，小茗同学使用饮水机用恒定不变的水速往其中一种奶茶杯子里注水，该杯子里的水位高度h(cm)与注水时间t(s)的关系如图所示．下列是这几种奶茶杯子竖直放置的截面图，则小茗使用的奶茶杯子是(　　)
A
考点1
考点2
向“实践应用”生长：在坪山区聚龙山湿地公园中，白鹭捕食小鱼体现捕食关系，水鸟被舌状绦虫寄生形成寄生关系，落羽杉与水生植物争夺阳光属竞争关系，而蜜蜂为荔枝树传粉、蚂蚁保护蚜虫获取蜜露，生动展现了生物间的互利共生．捕食关系、寄生关系、竞争关系和共生关系在生态学中被称为生物间的相互作用．它们可以通过不同形态的曲线来描述．其中共生关系又叫互利共生，是两种生物彼此和谐互利地生活在一起，下列选项能表示共生关系的是(　　)
A
考点1
考点2
向“数形结合”生长：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→C→D的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则AB的长为________．
1
2
3
1．小颖准备乘出租车到距家超过3 km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
则小颖应付车费y(元)与行驶
里程数x(km)(x>3)之间的关
系式为_________________．
y＝1.8x＋2.6(x>3)
里程数/km 收费/元
3 km以内(含3 km) 8.00
3 km以外每增加1 km 1.80
1
2
3
2．小南和小凯进行百米赛跑，小南比小凯跑得快，若两人同时起跑，小南肯定赢．现在小南让小凯先跑若干秒，图中l1，l2分别表示两人的路程和小凯出发时间之间的关系．下列说法中错误的是(　　)
A．l2表示小南的路程和时间的关系 B．小南的速度为7 m/s
C．小凯先跑了11 m D．最终小凯会赢得比赛
D
1
2
3
3.有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质.小华根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是__________________；
x≥－2且x≠0
1
2
3
(2)下表是y与x的几组对应值，其中m的值为____；
x －2 － －1 － 1 2 3 4 …
y 0 － m － 1 …
－1
1
2
3
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各组对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象.
解：如图.(共32张PPT)
第三章 函　数
第16课时　反比例函数
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
(一)反比例函数的概念、图象及性质
1.概念：形如y＝(k≠0，k为常数)的函数，叫做反比例函数.还可以写成xy＝k或y＝kx－1(k≠0)的形式.
2．反比例函数解析式的确定：待定系数法．
（一）
（二）
（三）
3.图象及性质：
k的符号 k＜0 k＞0
大致图象
所在象限 第二、四象限 第一、三象限
（一）
（二）
（三）
增减性 在每一象限内，y随x的增大而增大 在每一象限内，y随x的增大而减小
对称性 关于直线y＝x或直线y＝－x成轴对称，关于原点成中心对称
（一）
（二）
（三）
1.(1)下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_______(填序号)，在其图象所在每一象限内，y的值随x的值增大而增大的有_____(填序号)；
①y＝；②y＝；③y＝；④y＝－.
①②③
④
（一）
（二）
（三）
2. 已知点(2，y1)，(1，y2)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2的大小关系为________(用“＜”号连接)；
y2（一）
（二）
（三）
(二)反比例函数与几何图形结合
k的几何意义：过双曲线y＝(k为常数，k≠0)上
任意一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线段PA，
PB，所得矩形PAOB的面积S＝｜xy｜＝｜k｜.
（一）
（二）
（三）
3.如图，点M为反比例函数y＝(x>0)图象上的一点，过点M作MA⊥y轴，垂足为A，若△OAM的面积为2，则k的值为(　　)
A.2　　B．－2　　C．4　　D．－4
（一）
（二）
（三）
C
(三)反比例函数的应用
结合实际问题，建立反比例函数模型，用待定系数法确定函数解析式，进而解决相关问题.
（一）
（二）
（三）
4.在电压不变的情况下，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．当R＝4 Ω时，I＝5 A．则电流I与电阻R之间的函数解析式为I＝__________.
（一）
（二）
（三）
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1　反比例函数的概念、图象及性质[8年7考]
例1：若反比例函数y＝的图象过点(－2，1)，则常数k＝________．[2025福建4分]
－2
考点1
考点2
考点3
考点4
例2：若在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则数m的取值范围是[2025龙岩一模改编]( )
A.m＞0 B.m＜0
C.m＞3 D.m＜3
D
考点1
考点2
考点3
考点4
例3：反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是(　　)
A．16 B．11
C．8 D．6
B
考点1
考点2
考点3
考点4
例4：【思维生长】P(x1，y1)，Q(x2，y2)为反比例函数y＝的图象上两点，若x1＋x2＝0，且x1A．y1y2
C．y1＋y2＝0 D．y1－y2＝0
C
考点1
考点2
考点3
考点4
向“数形结合思想”生长：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝在第一象限的图象与⊙O交于A，B两点，若点A(1，2)，则点B的坐标为____________．[2024福建4分]
(2，1)
考点1
考点2
考点3
考点4
考点2　反比例函数与几何图形结合
例5：【思维生长】如图1，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝(x<0)图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD.若四边形ABCD的面积为3，则k的值为(　　)
A．3 B．－4 C．－3 D．－6
C
考点1
考点2
考点3
考点4
向“平移变换”生长：在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝(x>0)图象上的一点，如图2，将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O′A′，点A′落在反比例函数y＝(x<0)的图象上，已知线段OA扫过的面积为8，则
k＝________．[2025福州19中三模4分]
－5
考点1
考点2
考点3
考点4
向“三角形”生长：如图3，点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，点C在反比例函数y＝(x>0)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为C，交y轴于点A.若△ABC的面积为5，则k＝__________．[2025泉州实验中学三模4分]
－2
考点1
考点2
考点3
考点4
例6：【思维可视化】
思维过程
(1)问题转化：求k→求xy→尝试分别求x和y，或是整体求xy→即点A或点B的坐标或其坐标之积．
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)作辅助线．
(3)分析条件：由点B为边AC的中点，
可得点A、B的横纵坐标之间有什么关系？
由S△AOC＝6 OC·yA，思考OC与A、B横坐标的关系，k的值为________．
解：如图．
考点1
考点2
考点3
考点4
如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC＝BD，若OC＝3，△AOB的面积为4，则k的值为(　　)
B
考点1
考点2
考点3
考点4
考点3　反比例函数与一次函数的综合
例7：如图，正比例函数y＝－x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为________．[2025龙岩二模4分]
1
考点1
考点2
考点3
考点4
例8：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x－3的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(4，m).
(1)求△AOB的面积；
解：∵一次函数y2＝x－3的图象过点A(4，m)，
∴m＝4－3＝1，∴A(4，1).
将点A(4，1)的坐标代入y1＝，得k＝4，∴y1＝.
设点B的坐标为(n，n－3)(n＜0)，将点B(n，n－3)
的坐标代入y1＝，得n－3＝，解得n1＝4(舍去)，
n2＝－1，经检验，n＝－1是原方程的解.
∴B(－1，－4).设一次函数y2＝x－3的图象交y轴于点C，易得C(0，－3)，
∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC＝×3×1＋×3×4＝.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)若y1＞y2，则x的取值范围为____________________．
x＜－1或0＜x＜4.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点4　反比例函数的应用
例9：小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上点O处，并可绕点O转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始
终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉
力的大小F与l的变化，如下表：
考点1
考点2
考点3
考点4
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
(1)表格中a的值是________；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
100
解：F与l之间的函数图象，
如图所示．
考点1
考点2
考点3
考点4
(3)根据图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？
解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小．
1．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当它的最快移动速度v＝4.5 m/s时，其载重后总质量m＝________kg.[2025龙岩二模4分]
80
1
2
3
2．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A，B两点，若点A的坐标为(2，－3)，则点B的坐标为________．
(－2，3)
1
2
3
3．如图是双曲线C1：y1＝－(x>0)和双曲线C2：y2＝－(x>0)，设点A在C1上，AB⊥y轴于点B，交C2于点D，AC⊥x轴于点C，交C2于点E，则四边形ADOE的面积为(　　)
A．4
B．3
C．2
D.
C
1
2
3

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