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分课时学案
课题 5.4二元一次方程组与一次函数第2课时 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两个已知条件(点坐标或数量关系)列方程组求解函数表达式； 2.能运用 “图象法估算 + 代数法精准求解” 解决一次函数相关实际问题(如行程、收费问题)，明确两种方法的适用场景； 3.经历 “实际问题→建立函数模型→列方程组求解→验证应用” 的过程，深化数形结合与建模思想，提升问题转化能力； 4.通过小组合作分析多情境问题，增强合作交流与逻辑表达能力，体会数学在生活中的实用价值。
重点 1.掌握待定系数法求一次函数解析式的核心步骤(设解析式→列方程组→解方程组→写解析式)； 2.能运用二元一次方程组解决一次函数相关的实际问题，区分图象法与代数法的应用场景。
难点 在实际问题中，准确建立 “实际数量关系” 与 “一次函数模型” 的关联，如行程问题中 “距离 - 时间” 函数的系数意义、收费问题中 “免费额度” 的数学表达，避免因模型建立错误导致解题偏差。
教学过程
导入新课 复习导入： 1.一次函数的图象是什么形状？画一次函数y=3x-2的图象，需要确定哪两个关键点？请写出这两个点的坐标并说明理由。 2.我们知道二元一次方程组的解与两对应一次函数图象的交点有关，若两一次函数y=x+1和y=一2x+4的图象相交，你能通过解方程组求出交点坐标吗？ 3.某商店售卖笔记本，购买2本花10元，购买5本花22元，若笔记本的总价y(元)与购买数量(本)满足一次函数关系，你能想到用什么方法找出这个函数关系吗？
新知讲解 探究活动一： A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s(单位:km)都是骑行时间t(单位:h)的一次函数。骑行1 h乙距离A地 80 km；骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同伴交流。 小亮:如图5-6可以分别画出两人s与t之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了! (1)用自己的方法做一做。 (2)小亮的方法求出的结果准确吗？ 探究活动二： 例题精讲 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元. (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李 待定系数法概念： _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究活动三： 尝试思考： 例　已知函数y=2x+b的图象经过点(a，7)和(-2，a)，求这个函数的表达式.
课堂练习 巩固训练 1.图象经过两点(2，3)，(-1，-3)的一次函数的表达式为 (　　) A.y=x+1B.y=x-2C.y=2x-1 D.y=-2x+1 2.如图，过点(2，-1)的直线l1:y=kx+b(k≠0)与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1，a)。 (1)求a的值； (2)求直线l1的表达式。 3.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 (　　) A.9 cmB.10 cmC.10.5 cm D.11 cm 4.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系。现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度。 水银柱的长度x/cm4.2…8.29.8体温计的读数y/℃35.0…40.042.0
(1)求y关于x的函数关系式； (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数。
作业布置 基础达标： 1.某超市对某种水果采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额y（元）的函数关系如图所示，小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为( ) A. B. C. D. 2.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187
根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距为( ) A.26.8厘米 B.26.9厘米 C.27.5厘米 D.27.3厘米 3.某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据下面表格中的数据： 鸡的质量（千克）0.511.522.533.54烤制时间（分）406080100120140160180
设鸡的质量为x千克，烤制时间为t分，则当时， ( ) A.98 B.100 C.108 D.120 4.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，根据图中给出的数据信息，可以知道高度和碗的个数的一次函数关系.若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，则它的高度为( ) A. B. C. D. 能力提升： 5.小红、小丽假期在同一超市购买同种水果，付款金额y(元)与购买x(千克)之间的函数图象如图所示，小红一次性购买6千克，小丽每次买3千克，连续买2次，小红比小丽少花几元( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系如下表： 行李重量x/千克……行李费用y/元…5…
根据表中信息，可知携带千克行李所需费用是_____________元. 7.甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，当______时，两车相遇. 拓展迁移： 8.为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元. (1)当和时，求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元. ①当时，求出w与x间的函数表达式； ②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
参考答案：
例题精讲：
例：解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
根据题意，得
②-①，得30k=5，解得k=.
将k=代入①，得b=-5.
所以y与x之间的函数表达式为y=x-5.
(2)令y=0，即x-5=0，解得x=30.
即当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.
巩固训练：
1.C
2.解:(1)因为点P(-1，a)在直线l2:y=2x+4上，所以a=-2+4=2。
(2)将点(2，-1)，(-1，2)代入y=kx+b，
得解得
所以直线l1的表达式为y=-x+1。
3.B
4.解:(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b。根据题意，得
解得
所以y=1.25x+29.75。
(2)当x=6.2时，y=1.25×6.2+29.75=37.5。
答:此时体温计的读数为37.5 ℃。
作业设计：
1.答案：B
2.答案：D
3.答案：C
4.答案：A
5.答案：C
解析：如图，设的解析式为，
由图知，，解得，
的解析式为，
设直线的解析为，
由图知，，解得，
直线的解析为，
小红一次性购买6千克，费用为 (元)，
小丽每次买3千克，连续买2次，费用为 (元)，
(元)，
故选：C.
6.答案：
解析：设行李费用y（元）与行李重量x（千克）的一次函数关系式：，
把和代入，得
解得，所以
把代入，得
故答案为：.
7.答案：
解析：设甲所在的直线为 ，乙所在的直线为 ，
将代入，得：，解得，
∴甲所在的直线的表达式：；
将，代入可得：，
解得：.
∴乙所在直线的表达式为：；
当两车相遇时有：，解得：，
∴当时，两车相遇.
故答案为：.
8.答案：(1)
(2)①
②购买A种200本，B种100本时，总费用最少，最少总费用为5800元
解析：(1)当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，
得
解得，
，
综上，；
(2)①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元.
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5.4二元一次方程组与一次函数第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 五单元
课题 5.4二元一次方程组与一次函数 课时 第2课时
课标要求 依据 2022 版数学新课标 “数与代数” 领域要求，本节需引导学生运用二元一次方程组解决一次函数相关问题(含待定系数法求解析式、函数图象的实际应用)，深化 “数”(方程组)与 “形”(函数图象)的融合认知，发展数形结合思想。通过实际情境(行程、行李费计算)的求解，培养运算能力、逻辑推理与数学建模素养，落实 “用数学方法分析解决实际问题” 的课程目标，掌握待定系数法这一核心方法，为后续二次函数、反比例函数的学习奠定基础，强化代数与几何的综合应用意识。
教材分析 本节是第五章 “二元一次方程与一次函数” 的应用深化课时，承接第 1 课时 “概念关联”，聚焦 “方法应用” 与 “实际解题”。教材以 “相向而行行程问题”“行李费与行李质量关系” 为载体，先通过不同解题思路(图象法、代数法)对比，凸显代数法的准确性，再引出 “待定系数法” 求一次函数解析式，遵循 “实际问题→方法对比→核心方法提炼→应用巩固” 的思路。本节内容不仅完善 “方程与函数” 的关联体系，更将待定系数法转化为可操作的解题工具，是连接函数概念与实际应用的关键，为后续函数综合问题提供方法支撑。
学情分析 学生已理解二元一次方程与一次函数的概念关联，掌握方程组解法与函数图象绘制，但面对 “用待定系数法求函数解析式” 时，易忽略 “两个条件确定两个系数” 的本质；在实际问题中，难以准确将 “函数关系” 转化为 “方程组模型”，如行程问题中 “距离 - 时间” 函数与速度的关联、行李费问题中 “免费携带质量” 的求解逻辑。此外，部分学生对 “图象法估算” 与 “代数法精准求解” 的适用场景区分不清，需通过方法示范与情境辨析突破难点。
教学目标 1.掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两个已知条件(点坐标或数量关系)列方程组求解函数表达式； 2.能运用 “图象法估算 + 代数法精准求解” 解决一次函数相关实际问题(如行程、收费问题)，明确两种方法的适用场景； 3.经历 “实际问题→建立函数模型→列方程组求解→验证应用” 的过程，深化数形结合与建模思想，提升问题转化能力； 4.通过小组合作分析多情境问题，增强合作交流与逻辑表达能力，体会数学在生活中的实用价值。
教学重点 1.掌握待定系数法求一次函数解析式的核心步骤(设解析式→列方程组→解方程组→写解析式)； 2.能运用二元一次方程组解决一次函数相关的实际问题，区分图象法与代数法的应用场景。
教学难点 在实际问题中，准确建立 “实际数量关系” 与 “一次函数模型” 的关联，如行程问题中 “距离 - 时间” 函数的系数意义、收费问题中 “免费额度” 的数学表达，避免因模型建立错误导致解题偏差。
教法与学法分析 教法采用问题驱动法、对比教学法，结合多媒体演示，通过实际情境设问引导学生自主探究待定系数法；学法以 “情境分析 — 模型建立 — 方法选择 — 求解验证” 为主线，学生通过对比图象法与代数法、模仿待定系数法步骤，主动建构解题认知，实现 “教师引导、学生主动应用” 的教学效果。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习导入： 1.一次函数的图象是什么形状？画一次函数y=3x-2的图象，需要确定哪两个关键点？请写出这两个点的坐标并说明理由。 一次函数的图象是一条直线；画y=3x-2的图象，可找 (0， -2)(令x=0，得y=-2)和 (1， 1)(令x=1，得y=1)，因为两点确定一条直线。 2.我们知道二元一次方程组的解与两对应一次函数图象的交点有关，若两一次函数y=x+1和y=-2x+4的图象相交，你能通过解方程组求出交点坐标吗？ 解方程组，将y =x+1代入y = -2x +4，得x+1=-2x+4，解得x=1，代入得y=2，交点坐标为(1， 2)。 3.某商店售卖笔记本，购买2本花10元，购买5本花22元，若笔记本的总价y(元)与购买数量(本)满足一次函数关系，你能想到用什么方法找出这个函数关系吗？ 可先设一次函数解析式为y = kx + b，再将 “x=2时y=10”“x=5时y=22” 代入，通过找k和b的值确定函数关系。 出示导入问题，引导学生解答并关联 “两点确定直线” 与 “函数关系”，回顾 “方程组与函数交点” 的联系。 独立解题、分享思路，讨论 “两个购买案例对找函数关系的作用”。 紧扣教材进度，用旧知铺垫 “用两个条件建函数关系” 的思路，避免超前概念。
探究活动一： A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s(单位：km)都是骑行时间t(单位：h)的一次函数。骑行1 h乙距离A地 80 km；骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？说出你的方法，并与同伴交流。 小亮、小明、小颖解决这个问题的思路如下。 小亮：如图5-6，可以分别画出两人s与t之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了! 小明：对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b。当t=0时，s=100；当t=1时 s=80。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙的s与t之间的函数表达式为s=-20t+100。同样可以求出甲的s与t之间的关系式，再联立这两个关系式，求解方程组就行了! 因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt，当t=2时s=30，即30=2k，k=15，所以s=15t。 联立，得解得 所以，经过 h后两人相遇。 小颖：骑行1 h乙距离A地80 km，即乙的速度是20 km/h，骑行2 h甲距离A地30 km，即甲的速度是15 km/h，设经过t h后两人相遇，则15t+20t=100， 所以t=，即经过 h后两人相遇。 (1)你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果是否一致。 明白，小亮：用图象法可以解决问题。 小明：用列方程组的方法可以解决问题。 小颖：用一元一次方程的方法可以解决问题。 (2)小亮的方法求出的结果准确吗？ 不准确，因为图中的交点不能准确的确定。 总结：用图象法可以解决问题，用方程组的方法也可以解决问题，用一元一次方程的方法也可以解决问题.用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以获得问题的准确结果，因此为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 分析行程问题中 “s-t是一次函数”，对比三种解法，强调代数法求准确解的优势。 用 “两点求函数解析式” 的思路模仿解题，对比图象法与代数法结果。 让学生理解代数解法本质，为待定系数法铺垫。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元. (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 分析：(1)设出函数表达式，根据相应的数值，列出方程组，求出k，b的值.(2)根据(1)中的函数表达式，要想让旅客免费携带行李，即满足y≤0，求得x的最大值. 解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b. 根据题意，得 ②-①，得30k=5，解得k=. 将k=代入①，得b=-5. 所以y与x之间的函数表达式为y=x-5. (2)令y=0，即x-5=0，解得x=30. 即当x=30时，y=0. 所以旅客最多可免费携带30 kg的行李. 概念：像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 总结归纳：利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤 1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b。 2.代：将已知条件代入上述表达式中得到关于k，b的二元一次方程组。 3.解：解这个二元一次方程组得k，b。 4.求：代入k，b的值，求出一次函数的表达式。 引导学生设y=k x+b，列方程组求飞、b，首次明确“待定系数法“ 并板书"设→代→解→写”步骤。 独立列方程组求解析式，计算免费携带行李质量，记录方法步骤。 正式引入待定系数法，依托旧知推导步骤，符合教材认知逻辑。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 尝试思考：已知函数y=2x+b的图象经过点(a，7)和(-2，a)，求这个函数的表达式. 解：将(a，7)和(-2，a)代入y=2x+b，得 解方程组，得 所以a的值是1，b的值是5，该函数的表达式为y=2x+5. 总结归纳：待定系数法的核心要点： 1.设式规范：无论是否含参数，均设一次函数为y=kx+b(正比例函数为y=x)； 2.代入准确：将点的横坐标对应、纵坐标对应则代入解析式，避免“横纵坐标颠倒”或“符号遗漏”； 3.解验结合：解方程组求出k、b后，需代入原函数，验证所有已知点是否在图象上，确保结果正确； 4.本质关联：方法本质是“利用两点确定一条直线”，通过两个条件建立方程组，求解函数系数”，与一次函数图象性质一致。 引导学生分析 “两点列两方程求a、b”，纠正代入错误，强调解后验证。 代入点坐标列方程组求解，验证结果，总结含参数代入的注意事项。 强化待定系数法应用，突破含参数代入难点。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.图象经过两点(2，3)，(-1，-3)的一次函数的表达式为 (　　) A.y=x+1B.y=x-2C.y=2x-1 D.y=-2x+1 2.如图，过点(2，-1)的直线l1：y=kx+b(k≠0)与直线l2：y=2x+4相交于点P(-1，a)。 (1)求a的值； (2)求直线l1的表达式。 3.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 (　　) A.9 cmB.10 cmC.10.5 cm D.11 cm 4.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系。现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度。 水银柱的长度x/cm4.2…8.29.8体温计的读数y/℃35.0…40.042.0
(1)求y关于x的函数关系式； (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 待定系数法：概念(用两个条件列方程组求k、b)、步骤(设→代→解→写)； 实际应用：行程问题(s-t函数求相遇时间)、收费问题(y-x函数求免费额度)； 方法对比：图象法(直观估算)、代数法(待定系数法，精准求解)。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 5.4二元一次方程组与一次函数第2课时 待定系数法概念： 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 设-代-解-写 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.某超市对某种水果采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额y(元)的函数关系如图所示，小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为( ) A.18kg B.19kg C.20kg D.21kg 2.大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d(cm)20212223身高h(cm)160169178187
根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距为( ) A.26.8厘米 B.26.9厘米 C.27.5厘米 D.27.3厘米 3.某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据下面表格中的数据： 鸡的质量(千克)0.511.522.533.54烤制时间(分)406080100120140160180
设鸡的质量为x千克，烤制时间为t分，则当时， ( ) A.98 B.100 C.108 D.120 4.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，根据图中给出的数据信息，可以知道高度和碗的个数的一次函数关系.若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，则它的高度为( ) A.22.5 cm B. 25.5cm C. 31.5cm D. 24.5cm 能力提升： 5.小红、小丽假期在同一超市购买同种水果，付款金额y(元)与购买x(千克)之间的函数图象如图所示，小红一次性购买6千克，小丽每次买3千克，连续买2次，小红比小丽少花几元( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y(元)与行李重量x(千克)之间的关系如下表： 行李重量x/千克……行李费用y/元…5…
根据表中信息，可知携带千克行李所需费用是_____________元. 7.甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，当______时，两车相遇. 拓展迁移： 8.为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元. (1)当和时，求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元. ①当时，求出w与x间的函数表达式； ②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
教学反思 本节通过实际情境引入待定系数法，多数学生能掌握基本解题步骤，但部分学生仍存在 “忽略函数系数的实际意义”“列方程组时条件对应错误” 的问题。后续需增加 “函数系数解读” 的专项练习，如分析行程函数中 k 的速度意义、收费函数中 b 的截距意义；同时，可设计 “同一问题两种方法求解” 的任务，强化方法适用场景的区分。此外，应补充更多生活场景题(如水电费计算)，进一步提升学生建模与应用能力，更好落实核心素养。
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第五章 二元一次方程组
5.4二元一次方程组与一次函数第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两个已知条件(点坐标或数量关系)列方程组求解函数表达式；
01
能运用 “图象法估算 + 代数法精准求解” 解决一次函数相关实际问题(如行程、收费问题)，明确两种方法的适用场景；
02
经历 “实际问题→建立函数模型→列方程组求解→验证应用” 的过程，深化数形结合与建模思想，提升问题转化能力；
03
通过小组合作分析多情境问题，增强合作交流与逻辑表达能力，体会数学在生活中的实用价值。
04
02
新知导入
复习导入：
1.一次函数的图象是什么形状？画一次函数y=3x-2的图象，需要确定哪两个关键点？请写出这两个点的坐标并说明理由。
2.我们知道二元一次方程组的解与两对应一次函数图象的交点有关，若两一次函数y=x+1和y=-2x+4的图象相交，你能通过解方程组求出交点坐标吗？
一次函数的图象是一条直线；
画y=3x-2的图象，可找 (0， -2)和 (1， 1)，因为两点确定一条直线。
解方程组，将y=x+1代入y=-2x+4，得x+1=-2x+4，
解得x=1，代入得y=2，交点坐标为(1， 2)。
02
新知导入
3.某商店售卖笔记本，购买2本花10元，购买5本花22元，若笔记本的总价y(元)与购买数量(本)满足一次函数关系，你能想到用什么方法找出这个函数关系吗？
可先设一次函数解析式为y = kx + b，
再将 x=2时y=10，x=5时y=22代入，
通过找k和b的值确定函数关系。
03
新知讲解
A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s(单位:km)都是骑行时间t(单位:h)的一次函数。骑行1 h乙距离A地 80 km;骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同伴交流。
小亮、小明、小颖解决这个问题的思路如下。
小亮:如图5-6，可以分别画出两人s与t之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了!
小明:对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b。当t=0时，s=100;当t=1时s=80。
将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙的s与t之间的函数表达式为s=-20t+100。
同样可以求出甲的s与t之间的关系式，再联立这两个关系式，求解方程组就行了!
因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt，当t=2时s=30，
即30=2k，k=15，所以s=15t。
联立，得解得
所以，经过 h后两人相遇。
03
新知讲解
小颖:骑行1 h乙距离A地80 km，即乙的速度是20 km/h，
骑行2 h甲距离A地30 km，即甲的速度是15 km/h，
设经过t h后两人相遇，则15t+20t=100，
所以，
即经过后两人相遇。
03
新知讲解
(1)你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果是否一致。
(2)小亮的方法求出的结果准确吗？
(1)明白，小亮:用图象法可以解决问题。
小明:用列方程组的方法可以解决问题。
小颖:用一元一次方程的方法可以解决问题。
(2)不准确，因为图中的交点不能准确的确定。
03
新知讲解
用图象法可以解决问题，用方程组的方法也可以解决问题，用一元一次方程的方法也可以解决问题.用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以获得问题的准确结果，因此为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
方法总结
03
新知讲解
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元;张华带了90 kg的行李，交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李
例
分析
(1)设出函数表达式，根据相应的数值，列出方程组，求出k，b的值.
(2)根据(1)中的函数表达式，要想让旅客免费携带行李，即满足y≤0，求得x的最大值.
03
新知讲解
解析
解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
根据题意，得
②-①，得30k=5，解得k=.
将k=代入①，得b=-5.
所以y与x之间的函数表达式为y=x-5.
03
新知讲解
解析
(2)令y=0，即x-5=0，
解得x=30.
即当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.
03
新知讲解
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
概念
03
新知讲解
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤
1.设:用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b。
2.代:将已知条件代入上述表达式中得到关于k，b的二元一次方程组。
3.解:解这个二元一次方程组得k，b。
4.写:代入k，b的值，写出一次函数的表达式
方法总结
03
新知讲解
已知函数y=2x+b的图象经过点(a，7)和(-2，a)，求这个函数的表达式.
解:将(a，7)和(-2，a)代入y=2x+b，
得
解方程组，得
所以a的值是1，b的值是5，该函数的表达式为y=2x+5.
03
新知讲解
待定系数法的核心要点：
1.设式规范：无论是否含参数，均设一次函数为y=kx+b(正比例函数为y=x)；
2.代入准确：将点的横坐标对应、纵坐标对应则代入解析式，避免“横纵坐标颠倒”或“符号遗漏”；
3.解验结合：解方程组求出k、b后，需代入原函数，验证所有已知点是否在图象上，确保结果正确；
4.本质关联：方法本质是“利用两点确定一条直线”，通过两个条件建立方程组，求解函数系数”，与一次函数图象性质一致。
03
新知讲解
04
巩固训练
1.图象经过两点(2，3)，(-1，-3)的一次函数的表达式为 (　　)
A.y=x+1 B.y=x-2 C.y=2x-1 D.y=-2x+1
C
解:(1)因为点P(-1，a)在直线l2:y=2x+4上，
所以a=-2+4=2。
(2)将点(2，-1)，(-1，2)代入y=kx+b，
得解得
所以直线l1的表达式为y=-x+1。
2.如图，过点(2，-1)的直线l1:y=kx+b(k≠0)与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1，a)。
(1)求a的值;
(2)求直线l1的表达式。
3.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 (　　)
A.9 cmB.10 cmC.10.5 cm D.11 cm
B
4.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系。现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度。
水银柱的长度x/cm 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y/℃ 35.0 … 40.0 42.0
04
巩固训练
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数。
解:(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b。根据题意，得
解得
所以y=1.25x+29.75。
(2)当x=6.2时，y=1.25×6.2+29.75=37.5。
答:此时体温计的读数为37.5 ℃。
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:待定系数法：概念(用两个条件列方程组求k、b)、步骤(设→代→解→写)；
实际应用：行程问题(s-t函数求相遇时间)、收费问题(y-x函数求免费额度)；
方法对比：图象法(直观估算)、代数法(待定系数法，精准求解)。
1.某超市对某种水果采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额y(元)的函数关系如图所示，小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为( )
A.18kg B.19kg C.20kg D.21kg
06
作业设计
基础达标：
B
2.大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据：
根据上表解决下面这个实际问题：
姚明的身高是226厘米，他的指距为( )
A.26.8厘米 B.26.9厘米 C.27.5厘米 D.27.3厘米
A
指距d(cm) 20 21 22 23
身高h(cm) 160 169 178 187
3.某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据下面表格中的数据：
设鸡的质量为x千克，烤制时间为t分，则当时， ( )
A.98 B.100 C.108 D.120
06
作业设计
C
基础达标：
鸡的质量(千克) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间(分) 40 60 80 100 120 140 160 180
4.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，根据图中给出的数据信息，可以知道高度和碗的个数的一次函数关系.若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，则它的高度为( )
A.22.5 cm B. 25.5cm C. 31.5cm D. 24.5cm
A
06
作业设计
能力提升：
5.小红、小丽假期在同一超市购买同种水果，付款金额y(元)与购买x(千克)之间的函数图象如图所示，小红一次性购买6千克，小丽每次买3千克，连续买2次，小红比小丽少花几元( )
A.4 B.3 C.2 D.1
C
6.旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y(元)与行李重量x(千克)之间的关系如下表：
根据表中信息，可知携带110千克行李，
所需费用是_____________元.
行李重量x/千克 … …
行李费用y/元 … 5 …
17.5
7.甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，
当t=______时，两车相遇.
06
作业设计
能力提升：
解:设甲所在的直线为 ，乙所在的直线为 ，
将代入，得：，解得，
∴甲所在的直线的表达式：；
将，代入可得：，解得：.
∴乙所在直线的表达式为：；
当两车相遇时有：，解得：，
∴当时，两车相遇.
06
作业设计
8.为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元.
(1)当0≤x≤50和x>50时，求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元.
①当x>50时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
迁移拓展：
06
作业设计
迁移拓展：
解:(1)当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，得
解得，
，
综上，；
06
作业设计
迁移拓展：
(2)①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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