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广东省珠海市 2025-2026学年九年级上学期
期中数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
1.新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过年月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的抛物线是( )
A. B.
C. D.
4.某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程( )
A. B.
C. D.
5.由二次函数可知( )
A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为
C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小
6.在抛物线上有，和三点，则、和的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
8.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是( )
A. 或
B.
C. 或
D.
10.二次函数的部分图象如图，则下列说法正确的有( )
；；；当时，；．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知关于的方程的一个根是，则该方程的另一个根是 ．
12.已知，是一元二次方程的两根，则 ．
13.如图，四边形中，，，，垂足是，若线段，则______．
14.飞机着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，则飞机着陆后滑行 米停下来，最后秒滑行了 米
15.如图，在边长为的正方形中，点是线段上异于，的动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最大面积为 ．
16.已知抛物线的图象如图所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图，当直线与图象恰有三个公共点时，则的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
用适当方法解下列方程：
；
．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
请画出关于轴对称的，点、、分别对应、、；
将以为旋转中心，顺时针旋转，点、、分别对应、、，请画出旋转后的图形．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
20.本小题分
如图所示，抛物线与直线分别交于轴和轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．
求抛物线的解析式；
左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后二次函数表达式．
21.本小题分
年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件．
若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？
22.本小题分
已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23.本小题分
跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离单位：与他在水平方向上移动的距离单位：近似满足函数关系已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
求与的函数表达式；
进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为．
求与的函数表达式；
当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值．
24.本小题分
等腰中，，，点为平面内一点．
如图，当点在边上时，且满足，求的值；
如图，内点满足，连接若，，求的长；
如图，点为内一点，，直接写出的最小值为______．
25.本小题分
如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
求二次函数的表达式；
过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接当时，求的面积；
如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
当点在抛物线上时，求点的坐标；
点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
2.【答案】
解：，
移项，得，
配方，得，
即．
故选：．
3.【答案】
解：抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的抛物线是：
，
故选：．
4.【答案】
解：根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：人，
第二轮传染后的感染人数为：人，
故可列方程为：，
故选：．
5.【答案】
解：
，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
函数有最小值，当时，随的增大而减小，
故选：．
6.【答案】
解：抛物线，
抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
点关于直线的对称点的坐标是，
图象过点、和，
又，
，
故选：．
7.【答案】
解：，
一元二次方程没有实数根．
故选：．
8.【答案】
解：如图，把点纵坐标代入中得：
舍去负值，
即，
所以．
故选：．
9.【答案】
解：由函数图象可知，
当时，
二次函数的图象在一次函数图象的下方，即，
所以不等式的解集为：．
故选：．
10.【答案】
解：由抛物线开口向下，即；对称轴，则，，
，选项正确
对称轴，
，
，选项正确；
当时，函数的值最大，
，选项正确；
抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为，
另一个与的交点为，
，选项正确；
图象与轴的交点和知时，，选项错误；
故选：．
11.【答案】
解：设另一个根为，
根据题意，得，
解得．
故答案为：．
12.【答案】
解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为．
13.【答案】
解：过点作交的延长线于点，如图，
，，
，
而，
四边形为矩形，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是边长为的正方形，
，
故答案为：．
14.【答案】

解：将化为顶点式可得：，
飞机着陆后滑行了秒，米停下来，
当时，，
米，
故答案为：，．
15.【答案】
解：将线段绕着点顺时针旋转得到，
，，
而四边形为正方形，
，，
，
≌，
，
正方形的边长为，
，
设，则，
，
的面积，
当时，的最大面积为．
故答案为：．
16.【答案】或
解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
，，
根据翻折变换，关于轴的对称点为，
曲线所对应的函数解析式为，
当直线与图象恰有三个公共点时，如图所示：
当直线过点时，，
解得：；
当直线过与只有一个公共点时，
即，
，
则，
的值为或．
故答案为：或．
17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，．
18.【答案】解：，，关于轴对称的对称点坐标，，，画图如下：
，，旋转后的坐标，，，重合画图如下：

19.【答案】解：已知关于的一元二次方程有实数根．
，
解得：；
该方程的两个实数根分别为，，
，，
，
解得：．
20.【答案】解：抛物线与直线分别交于轴和轴上同一点，交点分别是点和点，
将代入得，；将代入，得．
点的坐标是，点的坐标是．
抛物线与轴交于点、两点，对称轴为直线，
点的坐标为．
即抛物线与轴的两个交点，的坐标分别是，．
．
解得，，．
抛物线的解析式为：．
由题意得，抛物线为，
可设抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为．
．
或．
平移后的抛物线为或．
21.【答案】解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
22.【答案】解：是等腰三角形；
理由：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
当是等边三角形，，可整理为：
，
，
解得：，．
23.【答案】解：将，代入，得：
解得：
与的函数关系式为．
设，
将，代入，
得：
解得：，
．
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点，
设，则
，
当时，最大，此时．
24.【答案】；
；
．
解：，，
，
，
，
，，
，
；
如图，将线段绕点逆时针旋转 得到，连接，，过作于，过作于，则，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
将绕点顺时针旋转，得到，连接，，如图，
由旋转可知：，，，，，
，是等边三角形，
，，，
，
，
，，三点共线，
，
的最小值为，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和含的直角三角形的特征求解即可；
将线段绕点逆时针旋转 得到，连接，，过作于，过作于，则，，，，先证≌，则，根据含的直角三角形的特征和勾股定理分别求出，即可；
将绕点顺时针旋转，得到，连接，，根据旋转的性质可证，是等边三角形，进而可证，，三点共线，根据求解即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
25.【答案】解：把代入得，，
二次函数的表达式为；
令，得或，
，
设直线为，代入得，
，
，
，，
，
；
过作轴，垂足为，
，，
，
，，
≌，
，，
设，则，代入得
，
，
或，
或．
连接，，
，，，
≌，
，
由知，
，，
，
，
或，
点的坐标为或．

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