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(共82张PPT)
第1课时　利用磁场控制带电粒子运动
核心素 养目标 1.了解带电粒子在磁场中的偏转及其应用。
2.会分析带电粒子在有界磁场中的运动问题。
3.会处理带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　利用磁场控制带电粒子运动
带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，如图所示，由几何关系得tan＝，因此对于一定的带电粒子（m、q一
定），可以通过调节B和v0的大小来控制粒子的偏转角度θ。
知识点二　利用磁场控制粒子的运动方向的特点
　只改变带电粒子的运动 ，不改变带电粒子的速度
。
方向　
大
小　
【情景思辨】
　早期电视机使用的显像管，是利用随电视信号变化的磁场控制电子
束的运动路径，如图所示。
判断下列说法正误。
（1）磁场和电场都可以控制带电粒子的运动方向。 （　√　）
（2）显像管中的线圈产生的磁场是不变化的。 （　×　）
（3）电子束撞击荧光屏时荧光屏会发光。 （　√　）
（4）利用磁场控制带电粒子，既能改变粒子的运动方向，又能改变
粒子的动能。 （　×　）
√
×
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　利用磁场控制带电粒子运动
1. 研究带电粒子在匀强磁场中运动问题的三个关键点
关键点1：
定圆心 方法①圆心一定在速度的垂线上：
作两点（通常选入射点和出射点）
速度的垂线，两条垂线的交点即为
圆心，如图甲
方法②圆心一定在弦的中垂线上：
作弦PM的中垂线，与其中一点速度
的垂线的交点即为圆心，如图乙
关键点
2：求半
径 几何法 若已知出射点相对于入射点侧移距离
x，则满足R2＝d2＋（R－x）2
关键点
3：明确
几个角
度关系
速度的偏转角φ等于圆心角θ，等于弦
切角α的2倍
进、出同一直线边界时速度方向与该
边界的夹角相等
2. 带电粒子在磁场中的运动时间的两种计算方法
（1）利用弧长求解，t＝。
（2）利用圆心角求解，t＝T。
3. 带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点
（1）直线边界：进出磁场具有对称性。
（2）平行边界：存在临界条件。
（3）圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【典例1】　如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－
16 kg的粒子，在直线上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强
度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上另一点P。
（1）求粒子做圆周运动的周期；
答案： 1.8×10－6 s　
解析： 作出粒子轨迹，可知粒子由O到P
的大圆弧所对的圆心角为300°，则＝周
期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
（2）求磁感应强度B的大小；
答案： 0.314 T
解析：粒子做圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供，则Bqv＝
，又T＝
所以B＝＝T＝0.314 T。
（3）若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大？
答案： 3.49×105 m/s
解析：由几何知识可知，半径R＝lOP＝0.1 m
故粒子的速度v＝＝m/s≈3.49×105 m/s。
【典例2】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁
感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一
个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方
向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
答案： 负电荷　　
解析： 粒子的运动轨迹如图所示，由
左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向
改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为
B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速
度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B'多大？
此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
答案： B　
解析：设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧
所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R'＝＝r，
又R'＝，所以B'＝B，
粒子在磁场中运动所用时间
t＝T＝×＝。
1. （多选）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水
平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当
它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、
60°，关于它们在磁场中运动过程，下列结论正确的是（　　）
A. 轨迹半径之比为1∶2 B. 速度之比为2∶1
C. 时间之比为3∶2 D. 周期之比为2∶1
解析： 　设粒子的入射点到磁场下边界的
磁场宽度为d，粒子轨迹如图所示。粒子1、2
的轨迹圆心分别为O1、O2。由几何关系可
知，第一个粒子轨道半径R1＝d，第二个粒子
轨道半径R2满足R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，所以两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为R1∶R2＝1∶2，故A正确；由R＝可知v与R成正比，所以速度之比也为1∶2，故B错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，与粒子的速度大小无关，所以粒子周期之比为1∶1，故D错误；
由于粒子1、2的偏转角分别为90°、60°，所以
粒子1运动的时间为，粒子2运动的时间为，所
以时间之比t1∶t2＝3∶2，故C正确。
2. 如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的
匀强磁场区，对于从ab边离开磁场的电子，下列判断正确的是
（　　）
A. 从a点离开的电子速度最小
B. 从a点离开的电子在磁场中运动时间最长
C. 从b点离开的电子运动半径最小
D. 从b点离开的电子速度偏转角最小
解析： 　根据带电粒子的运动轨迹可知，从a点离开的电子运动
半径最大，偏转角最小；从b点离开的电子运动半径最小，偏转角
最大。根据R＝可知，从a点离开的电子运动速度最大。根据t＝
T可知，从a点离开的电子在磁场中运动时间最短。综上可知，选
项C正确。
要点二　带电粒子在磁场中运动的临界问题和多解问题
1. 带电粒子在磁场中运动的临界问题
分析带电粒子在磁场中运动的临界问题，注意应用以下结论：
（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运
动的轨迹与边界相切。
（2）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角
越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
（3）当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆
心角越大的，运动时间越长。
2. 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的分析思路
（1）带电粒子在匀强磁场中运动造成多解的常见情况如下：
①带电粒子的电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒
子，可能带正电，也可能带负电。当粒子具有相同速度时，
正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，导致多解。如图甲所
示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场。若带正电，其轨迹
为a；若带负电，其轨迹为b。
②磁场方向的不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述
条件只给出磁感应强度的大小，而未说明磁感应强度的方
向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图乙所
示，带正电的粒子以速率v垂直进入匀强磁场。若B垂直纸面
向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
③临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越
有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，它可能穿过去
了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，于是形成了多
解。如图丙所示为带负电的粒子的运动轨迹。
④运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁
场的空间中运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，
如图丁所示。
（2）解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考
虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程。画出各种可能
的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知
识求解。
答案：（2＋）（q为正电荷）
或（2－）（q为负电荷）
【典例3】　如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强
度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量
为q的带电粒子（不计重力）沿图示方向垂直磁场射入，要使
粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速率v的最大值可能是
多少。
解析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪
种电荷。
若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN'
相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力知：qvB
＝m
得轨道半径：R＝
又d＝R－
解得v＝（2＋）。
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN'相切的圆弧，则
有：R'＝，d＝R'＋，
解得v'＝（2－）。
1. （多选）如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上
射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下
的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离
子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°，则所加磁场的磁
感应强度B应满足（　　）
解析： 　当所加匀强磁场方向垂直纸
面向里时，由左手定则可知负离子向右
偏转；负离子被约束在OP之下的区域的
临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，
如图所示（大圆弧），由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，得B＞，选项A错误，B正
确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子
向左偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图所示（小圆弧），由几何知识知R1＝，所以当
离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以得B＞，选项C正确，D错误。
2. （多选）长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度为B，板间距离也为L，极板不带电。现有质量为m、电荷量为
q的带正电粒子（重力不计），从左边极板间中点处垂直磁场以速
度v水平入射，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法
是（　　）
解析： 　欲使粒子不打在极板上，如图所示，带
正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中做圆周
运动的半径R＜，粒子在磁场中做圆周运动由洛伦
兹力提供向心力，根据qvB＝m，可得粒子做圆周
运动的半径R＝，所以粒子不打到极板上且从左边射出时，＜，即v＜，若带正电的粒子恰好从右边射出，如图所示，设此时粒子的半径为R，由图可知R2＝L2＋，可得粒子此时做圆周运动的半径R＝，则粒子从右边射出不打在极板上须＞，即v＞，综上，欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜或v＞，选项A、B正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 如图，在正方形abcd范围内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场，两
个相同电子以不同的速率，从a点沿ab方向垂直磁场方向射入磁
场，其中甲电子从c点射出，乙电子从d点射出。不计重力，则甲、
乙电子（　　）
A. 速率之比为1∶2
B. 在磁场中运行的周期之比为1∶2
C. 速度偏转角之比为1∶2
D. 在磁场中运动时，动能和动量均不变
解析： 　设磁场区域边长为l，电子在磁场中做匀
速圆周运动，设电子电荷量为q，由洛伦兹力提供
向心力，则有Bqv＝m，解得v＝，两个电子的
运动轨迹如图所示。电子甲从c点离开，轨迹半径
为l，电子乙从d离开，轨迹半径为l，则速率之比为＝＝＝，故A错误；电子的运行周期T＝，＝1，故B错误；由图可知，甲电子的偏转角是90°，乙电子的偏转角是180°，则速度偏转角之比为1∶2，故C正确；电子在磁场中运动时，速度的大小不变，方向发生变化，故其动能不变，动量变化，故D错误。
2. （多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向
里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与
MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为
（　　）
解析： 　由于带电粒子的电性不确定，
其可能轨迹如图所示。由qvB＝m和T＝
得T＝。由图可知，若为正电荷，轨
迹对应的圆心角为300°，若为负电荷，轨
迹对应的圆心角为60°，则对应的运动时间分别为t1＝T＝，t2＝T＝。选项A、D正确。
3. （多选）如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁
感应强度为B，方向垂直纸面向里。电荷量为q、质量为m的带正电
粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度
方向偏转了60°角，（不计粒子的重力）则（　　）
解析： 　设该带电粒子在匀强磁场中做匀
速圆周运动的半径为R，运动轨迹如图所示，
由几何关系可知，∠OO'A＝30°，由图可知，
粒子做圆周运动的半径为R＝O'A＝r，选项A
正确；根据牛顿第二定律，有Bqv＝m，则v＝
，故粒子的入射速度v＝，选项B正确；由几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝·＝，选项C正确，D错误。
4. 如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v由A点垂直射入磁感应
强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方
向与电子原来的入射方向成30°夹角，则电子的质量是多少？电子
穿过磁场的时间是多少？
答案：　
解析：电子在匀强磁场中运动，只受洛伦兹力的作
用，故其轨迹是圆周的一部分，又因洛伦兹力方向
总是与速度方向垂直，即过轨迹上两点作速度的垂
线，其交点即为圆心O，如图所示。
由几何关系可知，弧AC所对的圆心角θ＝30°，OC为半径，则R＝＝2d，由evB＝m得R＝，所以m＝；
因为弧AC所对的圆心角是30°，故电子穿过磁场的
时间t＝T＝×＝＝。
5. 如图所示，矩形有界磁场MNPQ的NP边长为2L，MN边长为4L，在
该区域中存在垂直MNPQ平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子从
P点垂直磁场边界NP以初速度v0进入磁场，带电粒子从MN的中点
离开磁场，不计粒子的重力。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的时间；
答案： 　
解析： 由几何关系可知粒子在磁场中做圆
周运动的半径为R1＝2L
粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝
粒子在磁场中运动的时间为
t＝T
联立解得t＝。
（2）若该粒子从M点离开磁场，粒子从P点进入磁场的速度为
多大？
答案： 2.5v0
解析：该粒子从M点离开磁场，设粒子
从P点进入磁场的速度为v，粒子在磁
场中做圆周运动的半径为R2，如图所示
由几何关系可得（R2－2L）2＋（4L）2
＝
解得R2＝5L
由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B＝m，qvB＝m
联立解得v＝2.5v0。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
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题组一　利用磁场控制带电粒子运动
1. 电荷量为q的带电粒子以垂直于匀强磁场的速度v，从M点进入磁场
区域，经偏转后，沿初速度方向运动距离为d，偏转距离为L，从N
点离开磁场，如图所示，若磁场的磁感应强度为B，重力可忽略不
计，那么（　　）
A. 该粒子带正电
C. 洛伦兹力对带电粒子做的功是W＝BqvL
D. 带电粒子在N点的速度大小也为v
解析： 　由左手定则判断可知该粒子带负电；带电粒子在磁场中
运动时间t＝≠；洛伦兹力对带电粒子一定不做功；洛伦兹力不
改变速度大小，带电粒子在N点时速度大小仍为v。故选项D正确。
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2. （多选）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点
沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力，下列
说法正确的有（　　）
A. a、b均带正电
B. a在磁场中飞行的时间比b的短
C. a在磁场中飞行的路程比b的短
D. a在P上的落点与O点的距离比b的近
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解析： 　离子要打在屏P上，都要沿顺时针方向
偏转，根据左手定则判断，离子都带正电，选项A
正确；由于是同种离子，质量、电荷量相同，初速
度大小也相同，由qvB＝m得R＝，可知它们做
圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，选项C错误；由t＝可知，a在磁场中运动的时间比b的长，选项B错误；从图上可以看出，选项D正确。
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3. （2024·四川内江高二期末）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向
里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入
磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以
相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离
开磁场，则为（　　）
B. 2 D. 3
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解析： 　电子1、2在磁场中都做匀速圆周运
动，根据题意作出电子1、2的运动轨迹，如
图所示，电子1垂直射入磁场，从b点离开，
则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆
心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，轨迹圆心为O，根据半径公式R＝可知，电
子1和电子2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间为t1＝＝，电子2运动的时间为t2＝＝，所以＝3。故选D。
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4. 如图所示，在圆形区域内充满匀强磁场，从圆形磁场最高点P以垂
直磁场且正对圆心O方向先后射入两个带正电的粒子A、B。粒子A
为质子H），粒子B为α粒子He），A、B射出磁场时速度的
偏转角分别为30°和60°，不考虑粒子重力，则两粒子穿越磁场所
用的时间之比tA∶tB为（　　）
A. 1∶1 B. 1∶2
C. 1∶4 D. 2∶1
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解析： 　根据T＝可知质子和α粒子的周期之比为TH∶Tα＝
∶＝1∶2；质子和α粒子在磁场中运动的时间之比tA∶tB＝
TH∶Tα＝TH∶2Tα＝1∶4，故选C。
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5. 如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子
在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y
轴射出磁场。已知带电粒子质量为m，电荷量为q，OP＝a。不计
重力，根据上述信息可以得出（　　）
A. 带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B. 带电粒子在磁场中运动的速率
C. 带电粒子在磁场中运动的时间
D. 该匀强磁场的磁感应强度
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解析： 　粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作两
速度的垂线，其交点为圆心O1，轨迹如图所示，
由几何关系可知OO1＝atan 30°＝a，R＝
＝a，圆心的坐标为，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为x2＋＝a2，故A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得v＝，因轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故B、D错
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误；带电粒子运动轨迹的圆心角为π，而周期为T＝，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，因磁感应强度B未知，则运动时间无法求得，故C错误。
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6. （多选）如图所示，在正方形abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感
应强度为B的匀强磁场，a处有比荷相等的甲、乙两种粒子，甲粒
子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场，经时间t1从d点射出磁场，乙粒
子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场，经时间t2垂直cd
射出磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则下列说法中正
确的是（　　）
B. v1∶v2＝1∶2
C. t1∶t2＝2∶1 D. t1∶t2＝3∶1
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解析： 　由题意作出甲、乙两种粒子做匀速
圆周运动的轨迹，如图所示。若正方形边长为
L，由几何关系可求出两种粒子做匀速圆周运动
的半径分别为R1＝L，R2＝＝L，偏转
角分别为α1＝π，α2＝；由洛伦兹力提供向心力可得qBv＝m，所以＝＝，选项A正确，B错误；设α为粒子运动轨迹对应的圆心角，粒子在磁场中的运动时间t＝T＝，所以两种粒子的运动时间之比＝＝，选项C错误，D正确。
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题组二　带电粒子在磁场中运动的临界问题和多解问题
7. （2024·四川乐山高二期末）如图所示，在边长为a的正三角形区域
内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。
一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（重力不计）从AB边的中
点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁
场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在
磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为（　　）
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解析： 　从AB边以v射出的粒子符合题意的运动
轨迹如图所示。由图知2R＝OB·cos 30°，OB＝
，又有Bqv＝，解得v＝，故选C。
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8. （多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁
场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面
向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速
度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比
荷＝k，则质子的速度可能为（　　）
A. BkL
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解析： 　质子带正电，且经过C点，其轨
迹有多种可能，如图所示，所有圆弧所对圆心
角均为60°，所以质子运行半径为R＝（n＝
1，2，3，…），质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝＝（n＝1，2，3，…），故A、B、D正确，C错误。
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9. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的
直径。一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速
度方向与ab边成30°角时，粒子在磁场中运动的时间最长，且为
t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁
场，则其速度大小为（　　）
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解析： 　带电粒子以速度v从a点
进入磁场，当粒子从b点飞出磁场
时，在磁场中运动时间最长，其运
动轨迹如图甲所示，入射速度和出
射速度与ab的夹角相等，所以速度
的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°，设磁场的半径为r，根据几何知识得知轨迹半径R1＝2r。根据公式T＝，R＝可得T＝，与速度无关。当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，其运动轨迹如图乙所示，经过磁场的时间也是t，说明轨迹对应的圆心角与第一种情况相等，也是60°，根据几何知识得此时粒子的轨迹半径R2＝r。所以＝＝，解得v1＝v，D正确。
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10. （多选）如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两
个质量和电荷量均相同的正、负离子，从O点以相同的速度射入
磁场中，射入方向均与边界成θ角。若不计重力，关于正、负离子
在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　）
A. 运动的时间相同
B. 运动的轨道半径相同
C. 重新回到边界的速度大小和方向都相同
D. 重新回到边界的位置与O点距离相同
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解析： 粒子在磁场中运动周期T＝，可知两个离子做匀
速圆周运动的周期相等。根据左手定则可知，正离子逆时针偏
转，负离子顺时针偏转。重新回到边界时正离子的速度偏向角为
2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T；同理，
负离子运动时间t2＝T，显然时间不等，故A错误。根据洛伦兹
力提供向心力得qvB＝m，则R＝，由m、q、v、B大小均相同
知，R相同，故B正确。
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正、负离子在匀强磁场中均做匀速圆周运动，速度方向沿轨迹的切线
方向，根据运动的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，
故C正确。根据几何知识得知重新回到边界的位置与O点距离x＝2Rsin
θ，R、θ相同，则x相同，故D正确。
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11. 如图，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，重力
不计、电荷量一定的带电粒子以速度v正对着圆心O射入磁场。若
粒子射入、射出磁场点间的距离为1.6r，则粒子在该磁场中做圆
周运动的周期为（　　）
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解析： 　粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨
迹，如图所示。由几何关系得θ＝53°，则粒子运动
的轨道半径R＝r，故在磁场中的运动周期T＝＝
，故D正确。
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12. （2024·四川眉山高二期末）如图所示，一足够长的矩形区域abcd
内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩
形区域ad边的中点O处垂直磁场
射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已
知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重
力不计。
（1）求粒子能从ab边上射出磁场的速度v0大
小范围；
答案： ＜v0≤　
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解析： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛
伦兹力提供向心力得qv0B＝m，即R＝。
若粒子轨迹恰好与ab边相切，其轨迹如图中Ⅰ
所示，设圆心为O1，相应速度为v01，轨道半径为R1，由几何知识得R1＋R1sin θ＝，解得R1＝，v01＝。若粒子轨迹恰好与cd边相切，轨迹如图中Ⅱ所示，设圆心为O2，相应速度为v02，轨道半径为R2，由几何知识得R2－R2sin θ＝，解得R2＝L，v02＝。所
以粒子能从ab边上射出磁场的速度v0应满足＜v0≤。
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（2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒
子速度v0大小范围。
答案： 　v0≤
解析： 粒子在磁场中运动的半
径R≤R1时，运动时间最长，此
时，粒子从ad边射出，射出时速度与ad边夹角为θ，圆弧所对圆心角α为（360°－2θ），粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，则运动时间t＝T＝·＝，粒子速度v0≤v01＝。
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谢谢观看!4.洛伦兹力的应用
第1课时　利用磁场控制带电粒子运动
题组一　利用磁场控制带电粒子运动
1.电荷量为q的带电粒子以垂直于匀强磁场的速度v，从M点进入磁场区域，经偏转后，沿初速度方向运动距离为d，偏转距离为L，从N点离开磁场，如图所示，若磁场的磁感应强度为B，重力可忽略不计，那么（　　）
A.该粒子带正电
B.带电粒子在磁场中的运动时间t＝
C.洛伦兹力对带电粒子做的功是W＝BqvL
D.带电粒子在N点的速度大小也为v
2.（多选）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力，下列说法正确的有（　　）
A.a、b均带正电
B.a在磁场中飞行的时间比b的短
C.a在磁场中飞行的路程比b的短
D.a在P上的落点与O点的距离比b的近
3.（2024·四川内江高二期末）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（　　）
A.　　　B.2 C.　　　D.3
4.如图所示，在圆形区域内充满匀强磁场，从圆形磁场最高点P以垂直磁场且正对圆心O方向先后射入两个带正电的粒子A、B。粒子A为质子H），粒子B为α粒子He），A、B射出磁场时速度的偏转角分别为30°和60°，不考虑粒子重力，则两粒子穿越磁场所用的时间之比tA∶tB为（　　）
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶4 D.2∶1
5.如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m，电荷量为q，OP＝a。不计重力，根据上述信息可以得出（　　）
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
6.（多选）如图所示，在正方形abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，a处有比荷相等的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场，经时间t1从d点射出磁场，乙粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场，经时间t2垂直cd射出磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则下列说法中正确的是（　　）
A.v1∶v2＝∶4 B.v1∶v2＝1∶2
C.t1∶t2＝2∶1 D.t1∶t2＝3∶1
题组二　带电粒子在磁场中运动的临界问题和多解问题
7.（2024·四川乐山高二期末）如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（重力不计）从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为（　　）
A. B.
C. D.
8.（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为（　　）
A.BkL B.
C. D.
9.如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速度方向与ab边成30°角时，粒子在磁场中运动的时间最长，且为t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为（　　）
A.v B.v
C.v D.v
10.（多选）如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正、负离子，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成θ角。若不计重力，关于正、负离子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　）
A.运动的时间相同
B.运动的轨道半径相同
C.重新回到边界的速度大小和方向都相同
D.重新回到边界的位置与O点距离相同
11.如图，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，重力不计、电荷量一定的带电粒子以速度v正对着圆心O射入磁场。若粒子射入、射出磁场点间的距离为1.6r，则粒子在该磁场中做圆周运动的周期为（　　）
A. B.
C. D.
12.（2024·四川眉山高二期末）如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。
（1）求粒子能从ab边上射出磁场的速度v0大小范围；
（2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子速度v0大小范围。
第1课时　利用磁场控制带电粒子运动
1.D　由左手定则判断可知该粒子带负电；带电粒子在磁场中运动时间t＝≠；洛伦兹力对带电粒子一定不做功；洛伦兹力不改变速度大小，带电粒子在N点时速度大小仍为v。故选项D正确。
2.AD　离子要打在屏P上，都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则判断，离子都带正电，选项A正确；由于是同种离子，质量、电荷量相同，初速度大小也相同，由qvB＝m得R＝，可知它们做圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，选项C错误；由t＝可知，a在磁场中运动的时间比b的长，选项B错误；从图上可以看出，选项D正确。
3.D　电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意作出电子1、2的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射入磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，轨迹圆心为O，根据半径公式R＝可知，电子1和电子2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间为t1＝＝，电子2运动的时间为t2＝＝，所以＝3。故选D。
4.C　根据T＝可知质子和α粒子的周期之比为TH∶Tα＝∶＝1∶2；质子和α粒子在磁场中运动的时间之比tA∶tB＝TH∶Tα＝TH∶2Tα＝1∶4，故选C。
5.A　粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作两速度的垂线，其交点为圆心O1，轨迹如图所示，由几何关系可知OO1＝atan 30°＝a，R＝＝a，圆心的坐标为，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为x2＋＝a2，故A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得v＝，因轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故B、D错误；带电粒子运动轨迹的圆心角为π，而周期为T＝，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，因磁感应强度B未知，则运动时间无法求得，故C错误。
6.AD　由题意作出甲、乙两种粒子做匀速圆周运动的轨迹，如图所示。若正方形边长为L，由几何关系可求出两种粒子做匀速圆周运动的半径分别为R1＝L，R2＝＝L，偏转角分别为α1＝π，α2＝；由洛伦兹力提供向心力可得qBv＝m，所以＝＝，选项A正确，B错误；设α为粒子运动轨迹对应的圆心角，粒子在磁场中的运动时间t＝T＝，所以两种粒子的运动时间之比＝＝，选项C错误，D正确。
7.C　从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知2R＝OB·cos 30°，OB＝，又有Bqv＝，解得v＝，故选C。
8.ABD　质子带正电，且经过C点，其轨迹有多种可能，如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径为R＝（n＝1，2，3，…），质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝＝（n＝1，2，3，…），故A、B、D正确，C错误。
9.D　带电粒子以速度v从a点进入磁场，当粒子从b点飞出磁场时，在磁场中运动时间最长，其运动轨迹如图甲所示，入射速度和出射速度与ab的夹角相等，所以速度的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°，设磁场的半径为r，根据几何知识得知轨迹半径R1＝2r。根据公式T＝，R＝可得T＝，与速度无关。当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，其运动轨迹如图乙所示，经过磁场的时间也是t，说明轨迹对应的圆心角与第一种情况相等，也是60°，根据几何知识得此时粒子的轨迹半径R2＝r。所以＝＝，解得v1＝v，D正确。
10.BCD　粒子在磁场中运动周期T＝，可知两个离子做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定则可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转。重新回到边界时正离子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T；同理，负离子运动时间t2＝T，显然时间不等，故A错误。根据洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，则R＝，由m、q、v、B大小均相同知，R相同，故B正确。正、负离子在匀强磁场中均做匀速圆周运动，速度方向沿轨迹的切线方向，根据运动的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。根据几何知识得知重新回到边界的位置与O点距离x＝2Rsin θ，R、θ相同，则x相同，故D正确。
11.D　粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，如图所示。由几何关系得θ＝53°，则粒子运动的轨道半径R＝r，故在磁场中的运动周期T＝＝，故D正确。
12.（1）＜v0≤　（2）　v0≤
解析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，即R＝。若粒子轨迹恰好与ab边相切，其轨迹如图中Ⅰ所示，设圆心为O1，相应速度为v01，轨道半径为R1，由几何知识得R1＋R1sin θ＝，解得R1＝，v01＝。若粒子轨迹恰好与cd边相切，轨迹如图中Ⅱ所示，设圆心为O2，相应速度为v02，轨道半径为R2，由几何知识得R2－R2sin θ＝，解得R2＝L，v02＝。所以粒子能从ab边上射出磁场的速度v0应满足＜v0≤。
（2）粒子在磁场中运动的半径R≤R1时，运动时间最长，此时，粒子从ad边射出，射出时速度与ad边夹角为θ，圆弧所对圆心角α为（360°－2θ），粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，则运动时间t＝T＝·＝，粒子速度v0≤v01＝。
4 / 44.洛伦兹力的应用
第1课时　利用磁场控制带电粒子运动
核心素 养目标 1.了解带电粒子在磁场中的偏转及其应用。 2.会分析带电粒子在有界磁场中的运动问题。 3.会处理带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题
知识点一　利用磁场控制带电粒子运动
　带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，如图所示，由几何关系得tan＝，因此对于一定的带电粒子（m、q一定），可以通过调节B和v0的大小来控制粒子的偏转角度θ。
知识点二　利用磁场控制粒子的运动方向的特点
　只改变带电粒子的运动　　　　，不改变带电粒子的速度　　　　。
【情景思辨】
　早期电视机使用的显像管，是利用随电视信号变化的磁场控制电子束的运动路径，如图所示。
判断下列说法正误。
（1）磁场和电场都可以控制带电粒子的运动方向。（　　）
（2）显像管中的线圈产生的磁场是不变化的。（　　）
（3）电子束撞击荧光屏时荧光屏会发光。（　　）
（4）利用磁场控制带电粒子，既能改变粒子的运动方向，又能改变粒子的动能。（　　）
要点一　利用磁场控制带电粒子运动
1.研究带电粒子在匀强磁场中运动问题的三个关键点
关键 点1： 定圆 心 方法①圆心一定在速度的垂线上：作两点（通常选入射点和出射点）速度的垂线，两条垂线的交点即为圆心，如图甲
方法②圆心一定在弦的中垂线上：作弦PM的中垂线，与其中一点速度的垂线的交点即为圆心，如图乙
关键 点2： 求半 径 公式法：由qvB＝m可得R＝
几何法 若已知出射点相对于入射点侧移距离x，则满足R2＝d2＋（R－x）2
若已知出射速度方向与水平方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有R＝
关键 点3： 明确 几个 角度 关系 速度的偏转角φ等于圆心角θ，等于弦切角α的2倍
进、出同一直线边界时速度方向与该边界的夹角相等
2.带电粒子在磁场中的运动时间的两种计算方法
（1）利用弧长求解，t＝。
（2）利用圆心角求解，t＝T。
3.带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点
（1）直线边界：进出磁场具有对称性。
（2）平行边界：存在临界条件。
（3）圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【典例1】　如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，在直线上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上另一点P。
（1）求粒子做圆周运动的周期；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大？
尝试解答
【典例2】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
尝试解答
1.（多选）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，关于它们在磁场中运动过程，下列结论正确的是（　　）
A.轨迹半径之比为1∶2　 B.速度之比为2∶1
C.时间之比为3∶2 D.周期之比为2∶1
2.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的匀强磁场区，对于从ab边离开磁场的电子，下列判断正确的是（　　）
A.从a点离开的电子速度最小
B.从a点离开的电子在磁场中运动时间最长
C.从b点离开的电子运动半径最小
D.从b点离开的电子速度偏转角最小
要点二　带电粒子在磁场中运动的临界问题和多解问题
1.带电粒子在磁场中运动的临界问题
分析带电粒子在磁场中运动的临界问题，注意应用以下结论：
（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
（3）当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。
2.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的分析思路
（1）带电粒子在匀强磁场中运动造成多解的常见情况如下：
①带电粒子的电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，导致多解。如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场。若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②磁场方向的不确定形成多解
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度的大小，而未说明磁感应强度的方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图乙所示，带正电的粒子以速率v垂直进入匀强磁场。若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
③临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，于是形成了多解。如图丙所示为带负电的粒子的运动轨迹。
④运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示。
（2）解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程。画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。
【典例3】　如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子（不计重力）沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
尝试解答
1.（多选）如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°，则所加磁场的磁感应强度B应满足（　　）
A.垂直纸面向里，B＞
B.垂直纸面向里，B＞
C.垂直纸面向外，B＞
D.垂直纸面向外，B＞
2.（多选）长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）
A.使粒子速度v＜
B.使粒子速度v＞
C.使粒子速度v＞
D.使粒子速度＜v＜
1.如图，在正方形abcd范围内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个相同电子以不同的速率，从a点沿ab方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从c点射出，乙电子从d点射出。不计重力，则甲、乙电子（　　）
A.速率之比为1∶2
B.在磁场中运行的周期之比为1∶2
C.速度偏转角之比为1∶2
D.在磁场中运动时，动能和动量均不变
2.（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）
A. B.
C. D.
3.（多选）如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电荷量为q、质量为m的带正电粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角，（不计粒子的重力）则（　　）
A.该粒子做圆周运动的半径为r
B.该粒子的入射速度为
C.该粒子在磁场中运动的时间为
D.该粒子在磁场中运动的时间为
4.如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与电子原来的入射方向成30°夹角，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？
5.如图所示，矩形有界磁场MNPQ的NP边长为2L，MN边长为4L，在该区域中存在垂直MNPQ平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子从P点垂直磁场边界NP以初速度v0进入磁场，带电粒子从MN的中点离开磁场，不计粒子的重力。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的时间；
（2）若该粒子从M点离开磁场，粒子从P点进入磁场的速度为多大？
第1课时　利用磁场控制带电粒子运动
【基础知识·准落实】
知识点二
方向　大小
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）1.8×10－6 s　（2）0.314 T　（3）3.49×105 m/s
解析：（1）作出粒子轨迹，可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，则＝
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
（2）粒子做圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供，则Bqv＝，又T＝
所以B＝＝T＝0.314 T。
（3）由几何知识可知，半径R＝lOP＝0.1 m
故粒子的速度v＝＝m/s≈3.49×105 m/s。
【典例2】　（1）负电荷　　（2）B　
解析：（1）粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
（2）设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R'＝＝r，
又R'＝，所以B'＝B，
粒子在磁场中运动所用时间
t＝T＝×＝。
素养训练
1.AC　设粒子的入射点到磁场下边界的磁场宽度为d，粒子轨迹如图所示。粒子1、2的轨迹圆心分别为O1、O2。由几何关系可知，第一个粒子轨道半径R1＝d，第二个粒子轨道半径R2满足R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，所以两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为R1∶R2＝1∶2，故A正确；由R＝可知v与R成正比，所以速度之比也为1∶2，故B错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，与粒子的速度大小无关，所以粒子周期之比为1∶1，故D错误；由于粒子1、2的偏转角分别为90°、60°，所以粒子1运动的时间为，粒子2运动的时间为，所以时间之比t1∶t2＝3∶2，故C正确。
2.C　根据带电粒子的运动轨迹可知，从a点离开的电子运动半径最大，偏转角最小；从b点离开的电子运动半径最小，偏转角最大。根据R＝可知，从a点离开的电子运动速度最大。根据t＝T可知，从a点离开的电子在磁场中运动时间最短。综上可知，选项C正确。
要点二
知识精研
【典例3】　（2＋）（q为正电荷）
或（2－）（q为负电荷）
解析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。
若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN'相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力知：qvB＝m
得轨道半径：R＝
又d＝R－
解得v＝（2＋）。
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN'相切的圆弧，则有：R'＝，d＝R'＋，
解得v'＝（2－）。
素养训练
1.BC　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图所示（大圆弧），由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，得B＞，选项A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图所示（小圆弧），由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以得B＞，选项C正确，D错误。
2.AB　欲使粒子不打在极板上，如图所示，带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中做圆周运动的半径R＜，粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径R＝，所以粒子不打到极板上且从左边射出时，＜，即v＜，若带正电的粒子恰好从右边射出，如图所示，设此时粒子的半径为R，由图可知R2＝L2＋，可得粒子此时做圆周运动的半径R＝，则粒子从右边射出不打在极板上须＞，即v＞，综上，欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜或v＞，选项A、B正确。
【教学效果·勤检测】
1.C　设磁场区域边长为l，电子在磁场中做匀速圆周运动，设电子电荷量为q，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，解得v＝，两个电子的运动轨迹如图所示。电子甲从c点离开，轨迹半径为l，电子乙从d离开，轨迹半径为l，则速率之比为＝＝＝，故A错误；电子的运行周期T＝，＝1，故B错误；由图可知，甲电子的偏转角是90°，乙电子的偏转角是180°，则速度偏转角之比为1∶2，故C正确；电子在磁场中运动时，速度的大小不变，方向发生变化，故其动能不变，动量变化，故D错误。
2.AD　由于带电粒子的电性不确定，其可能轨迹如图所示。由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为60°，则对应的运动时间分别为t1＝T＝，t2＝T＝。选项A、D正确。
3.ABC　设该带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，运动轨迹如图所示，由几何关系可知，∠OO'A＝30°，由图可知，粒子做圆周运动的半径为R＝O'A＝r，选项A正确；根据牛顿第二定律，有Bqv＝m，则v＝，故粒子的入射速度v＝，选项B正确；由几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝·＝，选项C正确，D错误。
4.　
解析：电子在匀强磁场中运动，只受洛伦兹力的作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，即过轨迹上两点作速度的垂线，其交点即为圆心O，如图所示。由几何关系可知，弧AC所对的圆心角θ＝30°，OC为半径，则R＝＝2d，
由evB＝m得R＝，所以m＝；
因为弧AC所对的圆心角是30°，故电子穿过磁场的时间t＝T＝×＝＝。
5.（1）　（2）2.5v0
解析：（1）由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为R1＝2L
粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝
粒子在磁场中运动的时间为
t＝T
联立解得t＝。
（2）该粒子从M点离开磁场，设粒子从P点进入磁场的速度为v，粒子在磁场中做圆周运动的半径为R2，如图所示由几何关系可得（R2－2L）2＋（4L）2＝
解得R2＝5L
由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B＝m，qvB＝m
联立解得v＝2.5v0。
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