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第四章 指数函数与对数函数--函数的零点与方程的解 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：根据零点求函数解析式中的参数
已知是函数的零点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
若，，则（ ）
A． B． C． D．
3. 二次函数有零点的充要条件的是（ ）．
A． B． C． D．
4. 已知函数，若，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
二：求函数零点或方程根的个数
函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
4. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．18
三：零点存在性定理的应用
已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2. 冷水坑皇家学院某同学用二分法求函数. 零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为，那么实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3. 函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
4. 函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
四：根据函数零点的个数求参数范围
已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知函数，，若曲线与恰有三个交点，则（ ）
A． B．或1 C．1 D．2
3. 设函数有两个不同零点，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
4. 已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
五：根据二次函数零点的分布求参数的范围
已知函数的两个零点分别落在区间和上，则点构成的图形的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2. 若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
综合练
一、单选题
1．已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．若是的零点，是的零点，那么的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
3．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A． B．， C．， D．
6．已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（ ）
A． B． C． D．11
二、填空题
7．已知关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是-3，则此函数的另一个零点是 ．
8．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
9．方程有两根，，且，则的取值范围为 .
10．已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 .
11．若函数的图象上存在两点A，B关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”若恰好有两个“基点对”，则实数a的取值范围是 .
12．若函数的零点，则整数的取值为 ．
13．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
14．设函数，若函数有三个零点，则 .
三、解答题
15．已知二次函数（，，）满足：有两个实数根，.
(1)若，，，求实数的取值范围；
(2)若，，求关于的不等式的解集（结果用表示）；
(3)若，，，与都是整数且，求，的值.
16．已知函数.
(1)若该函数恰有一个零点，求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)若关于的不等式的解集为，且存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围.
17．已知关于的二次函数
(1)若实数满足，求关于的不等式的解集．
(2)已知二次函数有两个正实数零点，且满足，求的最大值．
18．已知函数，．
(1)当时，求的解集；
(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
(3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
19．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点．
(1)求二次函数的不动点；
(2)对于二次函数
①当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围；
②若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．
答案
一：根据零点求函数解析式中的参数
由题意可得，，则，
则，所以.
故选：D.
由题易知，当时，；
由对数函数的性质可知，当时，；当时，；
显然函数有两个根，不妨令，则
由二次函数的图像可知，时，；时，
故要使恒成立，则
所以有，解得
故选：D
由二次函数有零点，即方程在上有实数根，
则满足，解得，
即二次函数有零点的充要条件为.
故答案为：B.
，又，
所以成立等价于，
又在定义域上单调递增且零点为，
在定义域上单调递减且零点为，
所以函数与函数在定义域内函数值相反且零点重合，
则应满足，即.
故选：B
二：求函数零点或方程根的个数
任取，
因为，所以 ，又，
因此 ，所以函数 在R上单调递增，
所以 在R上至多一个零点.
又因为，
，
所以由零点存在定理知函数在区间 内存在零点，
又因为函数 在R上单调递增，
所以函数 在R上的零点个数为 1.
故选：B
解：由 和 都在 上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数 最多有1个零点．
因为 ,,所以函数有且只有一个零点.
故选：B.
解法一：
当函数只有一个零点且在区间内时，
；
当函数有两个零点时，，解得或，
当时，显然在上恒成立，此时无内的零点，
当时，又在内只有一个零点，则或或，
即或或，
解得或或．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：C.
解法二：
由，得，又，所以，
所以，
令，，，要使在区间内只有一个零点，
只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示，
由图可知或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C.
由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示：
显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点，
由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点．
故选：B
三：零点存在性定理的应用
，，
由条件可知，，解得：，
所以选项中满足条件的只有.
故选：B
函数在定义域上单调递增，
又零点所处的初始区间为，所以，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B
由可知，该函数在上减函数，
又，而，
由,利用零点存在定理，可得函数的零点所在区间是.
故选：C.
由题意知，，
，
所以，而函数为上的增函数，
由零点的存在性定理知函数的零点在区间.
故选：C
四：根据函数零点的个数求参数范围
解法一：由，即，
函数存在2个零点等价于函数与的图象有2个交点，作出图象如图1，
当直线同时过点和时，，
此时直线与的图象有2个交点，
结合图象可知，解得．
解法二：由，即，设，
则，
因为函数都为增函数，
所以在上都单调递增，
画出函数和的大致图像，如图2所示，
可知当直线过点时，，此时直线与函数的图象有2个交点，
结合图像可知，解得．
故选：C.
易知，均为偶函数，若曲线与恰有三个交点，
由，均为偶函数可知两函数在轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点，
则需在处也相交.所以，即，解得.
当时，，，此时只有一个交点，不符题意；
当时，，，此时有，，三个交点，故.
故选：C.
条件等价于“V”字形函数与的图象有两个交点，
如答图15-14，易知“V”字形函数图象的顶点在直线上，
因此当图象的右支与的图象相切时为临界情况，
此时，因此原函数有两个零点应满足．
故选：A．

因为，所以，
令，则，
又因为，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
则有唯一零点，所以，解得.
故选：D.
五：根据二次函数零点的分布求参数的范围
由于函数的两个零点分别落在区间和上，
所以令得
由得画出图象，得面积为2．
故选：C
令，方程的一个根小于1，另一个根大于1，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：D.
因为函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，
所以该零点两侧函数值的符号相同，
则有两个相同的解，
则，解得.
故选：D.
由题意可得，为函数的两个零点．
因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即，所以．
所以，解得：．
故选：C．
综合练
1．C
由已知条件求出，则，判断函数的单调性及的正负，结合零点存在性定理得出结果.
由于点在幂函数的图象上，所以，
所以，则.
又因为函数在上都单调递增，
则函数在定义域上单调递增，
，
因为，即，所以，
，
因为，即，所以，
因为在上单调递增，，
所以在上只有一个零点，且在内.
故选：C.
2．C
解法1：根据函数零点，可得①，②，整理①可得，令，代入可得，与②对比，可得，即，可求.
解法2：由题意得，，令，则，，利用与的图象关于直线对称，即可求解.
解法1：
根据题意，可得①，②，
所以，，即，
令，代入上式得，
所以，即，
而在上为增函数，
故与②式比较得，于是，即.
故选：C．
解法2：
令，化简得，
令，化简得，
令，则，，
故为的解，为方程的解，
由于与的图象关于直线对称，故，所以．
故选：C．
3．B
根据题意分别作出函数及的图象，即可求解.
在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．

由图象可知．故B正确.
故选:B．
4．B
由题，问题转化为方程有两个不等实根，等价于函数与函数的图象在区间上有两个交点，根据函数的单调性求解.
因为在区间上，方程有两个不等实根，可转化为方程有两个不等实根，
等价于函数与函数的图象在区间上有两个交点，
又在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
5．B
先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到关系式，最终求出答案.
对任意恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
函数在上，则上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意恒成立，
则函数与的零点相同，即，
，
故选：B
6．D
由题意知，1为方程的一个根，可求得，进而解出方程的实数根，进而求解即可.
由题意知，1为方程的一个根，
所以，即，
此时，
令，得，
即为，
即为，
即为，
即为，解得，，，
则的解为或，满足题意，
所以方程的实根为，即所有实根的和为11．
故选：D
7．
由题知一元二次方程的一个根为，由韦达定理得出另一个根，即此函数的另一个零点．
关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是，
即一元二次方程的一个根是，
设另一个根为，则，所以，此函数的另一个零点是．
故答案为:．
8．
分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围.
当时，由可得，
依题意， 时， 有1个零点，
即方程在上有一个实根，
也即直线与在上有一个交点.
如图作出函数的图象.
因在上单调递增，由图可知，此时.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
9．
令，易得，依题意可得，解之即得.
令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：.
10．
首先根据函数的单调性和零点存在性定理，确定实数的值，并根据，确定实数的取值范围，并根据函数零点的取值范围，采用参变分离的方法，转化为求函数的值域问题.
对于函数，
明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以函数在定义域上单调递增，
又，所以，
所以，即，
即函数在上存在零点，
令，得，
令，，
对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以的值域为，
所以实数的取值范围是.
11．
问题转化为，即在上恰有两个实根，再根据二次函数的图象列式即可解得结果.
因为与的图象关于原点对称，
所以问题等价于与的图象恰有两个交点，
等价于，即在上恰有两个实根，
结合二次函数的图象可知，
且且，即，
解得.
故答案为：
12．或2
先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可.
由题意得的定义域为，
令，则，
可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标，
如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．

而函数的零点，解得，
而，，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
因为该零点满足，且为整数，所以，
综上，或2.
故答案为：或2
13．
由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得.
由可得，
则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点，
因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示.
由图知，需使，即，解得.
故答案为：.
14．3
画出的图象，利用函数的图象判断函数零点个数，求出的值即可求解.
作出的图象如图所示，

令，由图象可知当时有三个解，当时有两个解，
因为关于的方程有三个零点，所以只能有一个根，
所以由解得，，，
所以，
故答案为：3
15．(1)或
(2)答案见解析
(3)时，，，时，，
（1）由判别式大于0可得；
（2）由已知求得，先分，即可求得解集；
（3）求出方程的解，然后根据解是整数，得出或，代入求得．
（1）由已知有两个不等实根，
所以，解得或；
所以实数的取值范围为或；
（2）由，可知，
又，故，显然，
所以，
当时，令，解得：，，
所以关于的不等式的解集为：；
当时，令，解得：，，
当，即时，关于的不等式的解集为：；
当，即时，关于的不等式的解集为：或；
当，即时，关于的不等式的解集为：或；
综上：当时，关于的不等式的解集为：；
当时，关于的不等式的解集为：或；
当时，关于的不等式的解集为：；
当时，关于的不等式的解集为：或；
（3）由题意，，
由得，
又方程的解都是整数，则或2，
，即时，，，
，即时，，．
综上，时，，，时，，．
16．(1)或或
(2)当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
(3)
（1）根据二次项系数分为和讨论，当时，要使二次函数恰有一个零点，令即可求解.
（2）当时，原不等式可化为，即可求解；当时，原不等式可化为.根据三个“二次”之间的关系分当和讨论，当时，根据两根大小分类讨论即可求解；
（3）由不等式的解集为可得和是的两个根，且，结合韦达定理即可解得.故由题可得存在，使关于的不等式有解，分离参数可得在上有解，故.根据函数在上的单调性求最值即可求解.
（1）当时，函数，令，解得，此时函数恰有一个零点；
当时，要使二次函数恰有一个零点，即方程只有一个解，则，解得或.
综上，或或.
（2）当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，即.
当时，解得；
当时，
①当即时，解得；
②当即时，解得或；
③当即时，解得或.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）∵关于的不等式的解集为，
∴和是的两个根，且，
∴由韦达定理可得，解得.
∴存在，使关于的不等式有解，
即在上有解，∴在上有解，∴，
∵在上单调递增，∴当时，取得最小值，
∴.
17．(1)答案见解析；
(2).
（1）由题设不等式，因式分解后求出两根，分情况讨论即可
（2）由韦达定理，结合得出以及的取值范围，带入利用均值不等式可得答案
（1）由函数为二次函数，则，又，
则化为，因式分解为．
①当时，化为，则解集为；
②当时，，解得，不等式的解集为；
③当时，，解得，不等式的解集为；
④当时，，解得或，不等式的解集为．
综上所述，
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）因为二次函数有两个正实数零点，
所以，又，得，
也即，即，结合，得， 解得，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为
18．(1)
(2)
(3)
（1）将参数代入，分类讨论去掉绝对值后解不等式即可；
（2）将函数改写为分段函数形式，并根据二次函数单调性解不等式可得实数的取值范围；
（3）利用函数与方程的思想，将问题转化为方程有三个不相等的实数根，利用二次函数单调性可得不等式，再由对勾函数性质求出，可得实数的取值范围．
（1）当时，可得，
不等式可得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，可得；
综上可知，的解集为；
（2）依题意可知；
当时，图象的对称轴为，
当时，图象的对称轴为，
若函数在上是增函数，可得，解得；
因此实数的取值范围为.
（3）依题意可知方程有三个不相等的实数根，
又因为，由（2）中结论可得当时，函数在上是增函数，
此时方程不可能有三个不相等的实数根，不合题意；
当时，可知；
所以可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，关于方程可能有三个不相等的实数根，
即可得，
因为，所以，
设，
因为存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，；
又在上单调递增，所以；
因此可知时，满足题意，
所以实数的取值范围为.
19．(1)和1
(2)①或或; ②6
（1）解一元二次方程可得函数的不动点.
（2）①根据一元二次方程根的分布可求实数的取值范围；
②先根据一元二次方程根的分布确定实数的取值范围，并结合韦达定理表示，，再结合基本不等式可求的最小值.
（1）令，可得，
可得，解得.
所以二次函数的不动点为和1.
（2）对于①，由题知
令
解得或，由题可得或或
解得或或.
对于②，二次函数有两个不相等的不动点，且，
令.
由题可得有两个不相等的正实数根，
则必有.，解得，得到，
而
，
当且仅当，即时等号成立．
的最小值为6.
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