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17.1 用提公因式法分解因式
课时1 用提公因式法分解简单的因式
第十七章 因式分解
了解因式分解与整式乘法之间的关系.
理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
3. 能确定简单多项式各项的公因式，并能用提公因式法进行因式分解.
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的. 某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，会剩下3个分数a，b， c，请你用不同的方法计算选手的得分，你有什么发现？
① pa+pb+pc
② p(a+b+c)
=
？
整式乘法
多项式
整式相乘
探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2+ x = ；
（2）x2 1= ；
（3）x2+2x+1= .
x( x+1)
( x+1)( x 1)
( x+1)2
（1）x( x+1) = ；
（2）( x+1)( x 1) = ；
（3）( x+1)2 = .
x2+ x
x2 1
x2+2x+1
x2+ x = x( x+1)
x2+ x的因式
分解因式
整式乘法
多项式
整式相乘
33=3×11
33的因数
分解因数
数的乘法
数字
数字相乘
知识点1
因式分解的概念
因 式 分 解
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
思考 整式乘法与因式分解有什么关系？
是方向相反的变形.
因式分解的等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
pa pb pc
pa pb pc
因式分解
整式乘法
1.下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2 y2 1=(x+y)(x y) 1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x y)2=x2 2xy+y2；
④x2 9y2=(x+3y)(x 3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
pa+pb+pc = p (a+b+c) .
知识点 2
用提公因式法分解因式
【观察】多项式pa+pb+pc的各项有什么共同特征？
它的各项都有一个公共的因式p.
我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.
pa+pb+pc除以p所得的商
各项的公因式
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
pa+pb+pc = p (a+b+c) .
pa+pb+pc除以p所得的商
各项的公因式
例1 分解因式：
(1)mx2 +my2； (2)3x2- 4xy2 + x.
mx2 +my2
m
解：(1) 公因式为m，
mx2 +my2 = m(x2 +y2 )；
3x2- 4xy2 + x.
x
解：(2) 公因式为x，
3x2 - 4xy2 + x = x(3x -4y2 +1).
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
2. 分解因式：
(1) ax ay ； (2) a2 2a ； (3) a2+ab ； (4) xy y2+yz .
解 （1）原式=a(x y). （2）原式=a(a 2).
（3）原式=a(a+b). （4）原式=y(x y+z).
知识点 3
用提公因式法简便运算
例3 利用因式分解计算：
解：原式＝3.14×(21＋62＋17 )
＝3.14×100
＝314.
21×3.14＋62×3.14＋17×3.14.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
3. 利用因式分解计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ； (2) 5×34+4×34+9×32 .
解 （1）原式=1.99×(1.99+0.01)=1.99×2=3.98.
（2）原式=5×34+4×34+34 =34×(5+4+1)=34×10=810.
提公因式法
提公因式法：将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法.
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
公因式：公共的因式叫作这个多项式各项的公因式.
1.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2 x 1=x(x 1) 1 B. x2 1=(x 1)2
C. x2 x 6=(x 3)(x+2) D. x(x 1)=x2 x.
C
2.对于①x 3xy=x(1 3y)，②(x+3)(x 1)=x2+2x 3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A.都是因式分解 B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解
C
3. 因式分解：
（1）x - x2； （2）4abc + a；
（3）abc - b2 + 2ab； （4）a2 + ax2.
解：(1) x - x2＝x(1－x)；
(2) 4abc + a＝a(4bc + 1)；
(3) abc - b2 + 2ab＝b(ac - b + 2a)；
(4) a2 + ax2＝a(a + x2).
4. 简便计算：
(1) 20242 + 2024 - 20252； (2) (-2)101 + (-2)100；
解：(1) 原式 = 2024×(2024 + 1) - 20252
= 2024×2025 - 20252 = 2025×(2024 - 2025)
= - 2025．
(2) 原式 = (-2)100×(-2+1) = 2100×(-1) = -2100.

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