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17.2 用公式法分解因式
课时1 用平方差公式分解因式
第十七章 因式分解
掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.
经历利用平方差公式进行因式分解的过程，体会逆向思维，转化思想和整体思想.
有一位张大爷向承包商租借了一块耕地（如图）.为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种，请你计算张大爷交换前后的耕地面积，你发现了什么？
a米
b米


交换前： a2–b2
a米
b米


交换后： (a-b)2–(a+b)2
a2?b2=(a+b)(a?b).
知识点 1
用平方差公式分解因式
a2?b2=(a+b)(a?b).
问题1　由这个等式你联想到了什么已学公式？
把平方差公式 (a+b)(a?b)=a2?b2 的等号两边互换了.
问题2　这个等式的左右两边分别有什么特点？
左边是两个数的平方差的形式；右边是形如a+b的多项式与形如a?b的多项式相乘.
思考 下面两个等式有什么关系？
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
整式的乘法
因式分解
平方差公式
平方差公式的逆用
因式分解的平方差公式
文字语言
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数(式子)的差的积．
“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式.
a2?b2=(a+b)(a?b).
例1 分解因式:
(1)4x2-9； (2)a2-25b2
2x
3
2x
3
2x
3
( )2?( )2=( + )( ? ).
a 2? b 2 =( a + b )( a ? b )
解 (1)原式=(2x)2?32=(2x+3)(2x?3) ；
例1 分解因式:
(1)4x2-9； (2)a2-25b2
(2)原式=a2?(5b)2=(a+5b)(a?5b) .
例2 分解因式:
(1)x2-y4 ； ?2? ?x+p?2-?x+q?2
注意：1.看成整体的部分需要添括号；
2.去括号时要注意是否需要变号.
解 (1)原式=x2?(y2)2

(2)原式=[(x+p)+(x+q)] [(x+p)?(x+q)]
把y2看成一个整体
把x+p和x+q各看成一个整体
=(x+y2 )(x?y2) ；
=(2x+p+q)(p?q) .
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
两数是平方
减号在中央
即能写成下面形式:
( )2–( )2
1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2+y2 ；
(2) x2?y2 ；
(3) ?x2+y2 ；
(4) ?x2?y2 .
不能
能
不能
原式=(x+y)(x?y).
能
原式=y2?x2=(y+x)(y?x).
知识点 2
用平方差公式分解因式简便计算
计算下列各题：
(1)101??99?
(2)53.5?×4?46.5?×4
解：原式=(101+99) (101?99)
=400
原式=4?(53.5??46.5?)
=4× (53.5+46.5)×(53.5?46.5)
=4×100×7
=2800
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}因式分解——平方差公式法
符号语言
a2?b2= .
文字语言
两个数(式子)的 ，等于这两个数(式子)的 与这两个数(式子)的 的 ．
注意事项
1.看成整体的部分需要 ；
2.去括号时要注意是否需要 .
平方差
和
差
添括号
积
(a+b)(a?b)
变号
1.分解因式:4a2?1=( )
A.(2a?1)(2a+1) B.(a?2)(a+2)
C.(a?4)(a+1) D.(4a?1)(a+1)
A
2. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目：
用平方差公式分解因式：
（1）?????2+????2；（2）?????2?????2 ；（3）36????2?????2????2；（4）16????2????2?25 .
?
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
3. 因式分解:m2?16= .
4.分解因式:a2?4= .
5.分解因式:x2?9= .
(m+4)(m?4)
(a+2)(a?2)
(x+3)(x?3)
6.若k为任意整数，则(2k+3)2?4k2的值总能( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
B
解：原式=(2k+3+2k)(2k+3?2k)=3(4k+3)，
∵3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3)2?4k2的值总能被3整除.
7. 有四个式子：4????2，????+????2，????+???? ，9????2 ，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果.
?
（1）利用提公因式法；
解：选取x+y2与x+y ，
(x+y)2?x+y=x+yx+y?1 .
?
（2）利用平方差公式法.
（答案不唯一）选取4a2与9b2 ，4a2?9b2=2a+3b2a?3b .

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