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17.2 用公式法分解因式
课时2 用完全平方公式分解因式
第十七章 因式分解
1.能够理解完全平方公式的逆用与因式分解的关系；
2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法.
求下面4个图形的面积和，你能把它们拼成一个正方形并求出你拼成的正方形的面积吗？你有什么发现？
a
b
a
a
a
a
b
b
b
ab
ab
b
a 2ab b
知识点1
用完全平方公式分解因式
同学们拼出的图形为：
a
b
a
a
a
a
b
b
b
ab
ab
b
(a+b)
结论：a 2ab b =(a+b)
思考 完全平方式 a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？根据前面的探究，你能将它们分解因式吗？
整式的乘法
因式分解
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b2
整式的乘法
因式分解
我们把a 2ab b 和a 2ab b 这样的式子叫做完全平方式.
特点：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍
完全平方式特点：
(1)必须有三项；
(2)每个多项式的第一项和第三项都是数或式的平方，并且符号相同；
(3)中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍.
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央
a2+2ab+b2与a2-2ab+b2
（1）a2- 4a + 4
下列多项式是不是完全平方式
（2）1 + 4a
（3）4b2 + 4b - 1
（4）a2 + ab + b2
a2 - 4a + 4 (a-2)2
不是，只有两项
不是，平方项符号不一致
不是，ab项没有系数2
×
√
×
×
整式的乘法
因式分解
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
例3 分解因式:
(1)x2+4x+4； (2) 16x2-24x+9；
解：(1)x2+4x+4
(2)16x2-24x 9
= (x+2)2
x2 + 2· x · 2 22
=a2 + 2· a · b b2
= (a+b)2
= (4x)2 - 2· 4x·3 + 32
=a2 + 2· a · b b2
= (a+b)2
= (4x-3)2.
例4 分解因式:
(1) (a+b)2-12(a+b)+36； 2 -x2+4xy-4y2
分析：(1)中将 a+b 看成一个整体，设 a+b = m，则原式化为m2-12m+36；对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式.
解： (1) (a+b)2-12(a+b)+36
= (a+b)2-2·(a+b) ·6+62
= (a+b-6)2
(2) -x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2·x·2y+(2y)2]
= -(x-2y)2
将负号提出来，是解决此题的关键
已知：a +b +2a 4b+5=0，求2a +4b 3的值.
解：由已知可得(a +2a+1)+(b 4b+4)=0
即(a+1) +(b 2) =0
a= 1，b=2
∴2a +4b 3=2×( 1) 4×2 3 7
遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，经常通过变形为完全平方公式的形式，然后利用非负性来解答.
方法总结
知识点2
用完全平方公式分解因式解题
计算 ：(1)100 2 100 99 99 (2)34 +34 32+16
解：(1)原式 (100 99)
=1
(2)原式 (34 16)
2500
公式法
完全平方式：
a 2ab b
a 2ab b
用完全平方公式分解因式：a ±2ab b =(a±b)
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的2倍.
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A.a +1 B. a 6a 9 C. x 5y D. x 5y
2.把多项式-4xy+4y +x2分解因式的结果是( )
A.(x+2y) B. (x 2y)
C.(x-4y) D. (x+4y)
B
B
3.若m=2n+1，则m 4mn+4n 的值是______
4.若关于x的多项式x 8x m 是完全平方式，则m的值为_____
1
4
1 (x－y)2＋6(y－x)＋9
5.分解因式：
(x－y－3)2.
121+79
=200
=40000
2 1212＋121×158＋792
(2)原式 121 +2×121×79 79
解：(1)原式 (x－y)2－6(x－y)＋9

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