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17.2 用公式法分解因式
课时2 用完全平方公式分解因式
第十七章 因式分解
掌握完全平方公式的特点和形式，会运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想.
通过对用完全平方公式分解因式的探究学习，体会归纳的数学思想方法
张大爷为了方便机器收割，重新在承包商那里租借了一块完整的正方形耕地，你能帮他计算这个耕地的面积吗？(用两种方式)
①直接求出耕地的面积： (a+b)(a+b)= (a+b)
②四块图形的面积相加： a 2ab b
分析：①用整块耕地的边a+b直接求出耕地的面积；
②分别求四块图形的面积相加求出耕地的面积.
a米
a米
b米
b米
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2+2ab+b2=(a+b)2
思考1 由这个等式你联想到了什么已学公式？等式的左右两边分别有什么特点？
等式右边是形如(a+b)2的多项式相乘.
等式左边两项的平方和(a2+b2)加上两项乘积的二倍(2ab).
知识点 1
完全平方公式
把完全平方公式 (a+b) =a 2ab b 的等号两边互换了.
思考2 a 2ab b 与a -2ab b 有关系吗？
a 2ab b
a -2ab b
都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍
我们把a 2ab b 与a -2ab b 叫作完全平方式
完全平方式的特点：
(1)必须有三项；
(2)每个多项式的第一项和第三项都是数或式的平方，并且符号相同；
(3)中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍.
思考3 观察完全平方式，并说说它有什么特点？
a 2ab b
a -2ab b
1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2 4a+4 ；
(2) 1+4a2 ；
(3) 4b2+4b 1 ；
(4) a2+ab+b2 .
是
不是
不是
原式=(a 2)2.
不是
修改：1+4a+4a2.
修改：4b2+4b+1.
修改：a2+2ab+b2.
如何将 a 2ab b 与a -2ab b 因式分解？并用文字语言描述这个规律.
因式分解的完全平方公式
文字语言
两个数(式子)的平方和加上 (或减去)这两个数(式子)的积的2倍，等于这两个数(式子)的和(或差)的平方．
a2+2ab+b2=(a+b)2.
a2 2ab+b2=(a b)2.
例3 分解因式:
(1)x2+4x+4； (2) 16x2-24x+9；
知识点 2
用完全平方公式分解因式
2·x·2
x
2
x
2
( )2+( )+( )2=( + )2.
a 2 + 2ab + b 2 =( a + b )2.
例3 分解因式:
(1)x2+4x+4； (2) 16x2-24x+9；
解 (1)原式=x2+2·x·2+22
=(x+2)2 ；
(2)原式=(4x)2 2·4x·3+32
=(4x 3)2 .
例4 分解因式:
(1) (a+b)2-12(a+b)+36； 2 -x2+4xy-4y2
解 (1)原式=(a+b)2 2·(a+b)·6+62
=(a+b 6)2 .
把a+b看成一个整体
注：公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式.
例4 分解因式:
(1) (a+b)2-12(a+b)+36； 2 -x2+4xy-4y2
解 (2)原式= (x2 4xy+4y2)
添括号后出现完全平方式
注：添括号时要注意是否需要变号.
= [x2 2·x·2y+(2y)2]
= (x 2y)2 .
2. 分解因式：
(1)a2+2a+1 ； (2)4p2+12pq+9q2； (3) 2xy x2 y2；
解 （1）原式=a2+2·a·1+12=(a+1)2 .
（2）原式=(2p)2+2·(2p)·3q+(3q)2=(2p+3q)2.
（3）原式= (x2+2xy+y2)= (x+y)2 .
如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
知识点 3
用完全平方公式求字母的值
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
3.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
±8
公式法
完全平方式：a 2ab b ；a 2ab b .
完全平方式的特点
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的2倍.
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2；a2 2ab+b2=(a b)2.
1.下列各式：； ；； ，其中不能用完全平方公式因式分解的式子有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
4. 已知，为任意有理数，记，，则 与 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
3. 无论， 为何值， 的值都是( )
A
A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 非负数
5. 分解因式：
(1)x2 12x+36 ； (2)4x2 4x+1 ； (3)(x+y)2 10(x+y)+25
解 （1）原式=x2 2·x·6+62=(x 6)2 .
（2）原式=(2x)2 2·2x·1+12=(2x 1)2 .
（3）原式=(2p)2+2·(2p)·3q+(3q)2=(2p+3q)2

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