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17.2 用公式法分解因式
课时3 较复杂的因式分解问题
第十七章 因式分解
理解因式分解各个方法之间的联系和区别.
能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项式进行因式分解.
了解十字相乘法对二次三项式的因式分解.
问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？
提公因式法，公式法
????2?????2=(????+????)(?????????)
(????±????)2 = ????2±2????????+????2
?
问题2：当我们遇到较复杂的因式分解时该如何进行计算？
知识点 1
较复杂的因式分解问题
例5 分解因式:
(1) x4-y4； ?2? a3b-ab
分析：在(1)中， x4-y4可以写成(x?) ?- (y? ) ?的形式，可用公式法分解因式；
解 (1)原式=(x2)2?(y2)2
还能继续分解因式吗？
=(x2+y2)(x2?y2)
=(x2+y2)(x+y)(x?y)．
例5 分解因式:
(1) x4-y4； ?2? a3b-ab
分析：对于?2? a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.
(2)原式=ab(a2?1)
=ab(a+1)(a?1)．
注：对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
1.因式分解的步骤：
(1)先提取公因式；
(2)再用公式法因式分解.
2.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 ．
不能直接使用公式时可适当变形整理
例6 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)?ax2+2a2x?a3.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中有公因式-a，提出负号添括号，记得变号.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2)原式=?a(x2?2ax+a2)
=?a(x?a)2.
分解因式：
(1) x2y?4y ； (2) a3?2a2+a ； (3) ax2+2a2x+a3 ；
解 (1)原式=y(x2?4)
=y(x+2)(x?2)．
(2)原式=a(a2?2a+1)
=a(a?1)2．
(3)原式=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2．
知识点 2
十字相乘法
(1)(????+3)(????+4) (2)(????-3)(????-4)
(3)(????+5)(????+6) (4)(????-5)(????-6)
1.计算下列各式
解：原式=????2+4????+3????+12
=????2+7????+12
原式=????2-4????-3????+12
=????2-7????+12
原式=????2+5????+6????+30
=????2+11????+30
原式=????2-5????-6????+30
=????2-11????+30
思考：你有什么快速计算类似的多项式的方法吗?
(????+3)(????+4)=????2+7????+12
(????-3)(????-4)=????2-7????+12
【观察】这两个等式有什么规律？
可以发现，如果二次三项式?????+????????+???? 中常数项????能分解成两个因数????、b的积，而且一次项系数????又恰好是????+b，那么
?
????? + ???????? +???? =????? +(????+????)???? +????????
=(???? +????)(???? +????)
?
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
一次项系数
1
????
?
1
????
?
1×????+1×????=????+????
?
当遇到这种二次三项式时我们可以运用这种十字相乘法来分解因式
对二次三项式????? + ???????? +????进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1.基本思路: 拆常数项，凑一次项.
2.常数项拆为两数之积，一次项系数是常数项的拆为数的和.
即:????=???????? ????=????+????
3.符号规律:
当????>0时，????、????同号，且????、????的符号与????的符号相同;
当????<0时，????、????异号，且绝对值较大的因数与????的符号相同.
分解因式：(1) x2-3x+2； (2) x2+3x-10.
分析：(1)
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2
=(x-1)(x-2)；
(2) x2+3x-10
=(x-2)(x+5).
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}方法
特点
分解结果
易错点
提公因式法
多项式各项含公因式
单项式×多项式
漏提整体公因式（如(a+b)）
平方差公式
两项、异号、均为平方
(和)(差)
与完全平方混淆（如x?-4≠(x-2)?）
完全平方公式
三项、首尾平方、中间±2倍积
(二项式)?
中间项系数验证错误
十字相乘法
二次三项式x2+(p+q)x+pq
(x+p)(x+q)
未优先提公因式导致拆分复杂
因式分解的方法
因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
十字相乘法
一提二套三查
因式分解的一般步骤
1.下列因式分解正确的是（　　）
A．????3-????=????2（????-1）
B．????????2-c2=（????????+c）（????????-c）
C．????2????-????????2=????（????+????）（????-????）
D．????3+6????2????+9????????2=????（????+3????）2
2.多项式15????x2-15????与10x2+20x+10的公因式是(　　)
A．5(x+1) B．5????(x+1) C．5????(x-1) D．5(x-1)
D
A
3.分解因式：
(1) ????4-????2-12 (2) 2x2-6x+4
1
-4
1
3
1×3+1×(-4)=-1
解：
原式=(????2-4)(????2+3)
=(????+2)(????- 2)(????2+3).
1
-2
1
-1
1×(-1)+1×(-2)=5
原式=2(x2-3x+2)
=2(x-1)(x-2)．
4.先因式分解，再求值：（9x2+12xy+4y2）-（2x-3y）2，其中x=1，y=-1．
解：（9x2+12xy+4y2）-（2x-3y）2
=（3x+2y）2-（2x-3y）2
=（3x+2y+2x-3y）（3x+2y-2x+3y）
=（5x-y）（x+5y）.
当x=1，y=-1时，
原式=（5+1）×（1-5）=6×（-4）=-24．

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