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17.2 用公式法分解因式
课时3 较复杂的因式分解问题
第十七章 因式分解
1.理解因式分解各个方法之间的联系和区别，能够综合运用提公因式法和公式法分解因式；
2.了解十字相乘法对二次三项式的因式分解.
我们已经学过了哪些分解因式的方法
1.提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.平方差公式法：两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
a2-b2=(a+b)(a-b)
3.完全平方公式法：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
(a±b)2 = a2±2ab+b2
知识点 1
较复杂的因式分解问题
例5 分解因式:
(1) x4-y4； 2 a3b-ab
分析：在(1)中， x4-y4可以写成(x ) - (y ) 的形式，可用公式法分解因式；对于 2 a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.
(1)x4- y4
解：
=(x2)2 - (y2)2
= (x2+y2) (x2-y2)
= (x2+y2) (x+y) (x-y)
一定要分解彻底
(2) a3b-ab
=ab (a2-1)
= ab(a+1) (a-1)
先提公因式
例5 分解因式:
(1) x4-y4； 2 a3b-ab
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
1.将下列各式分解因式：
(1) 4x2-25y2 ； (2) (a+2)2-1 .
解：(1) 4x2-25y2
=(2x)2-(5y)2
=(2x+5y)(2x-5y) ;
(2) (a+2)2-1
=(a+2+1)(a+2-1)
=(a+3)(a+1) ;
检查是否分解彻底，若没有则继续分解
一提
考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式
二套
看多有无公因式，若有应先提取公因式
因式分解的一般步骤：
三查
不能直接套公式时可适当变形整理
例6　分解因式：　
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2；
(2) – ax2 + 2a2x – a3 .
解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2
= 3a(x2 + 2xy + y2)
分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式
(2) – ax2 + 2a2x – a3
= –a(x – a)2
= 3a(x + y)2
知识点 2
十字相乘法分解因式
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块边长为x m的正方形绿地，向两邻边分别加宽p m和q m，扩大后的绿地面积是多少？
S=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq
x
x
p
q
这种式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？
【思考】绿地的面积还可以怎样表示？
S=x2+(p+q)x+pq
S=(x+p)(x+q)
x2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)
这样就把x2+(p+q)x+pq分解成两个因式乘积的形式.
x
x
p
q
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可以得出：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用这个式子，我们可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.
整式的乘法
因式分解
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
一次项系数
1
p
1
q
1×q+1×p=q+p
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例 分解因式：
(1) x2-3x+2； (2) x2+3x-10.
分析：(1)
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2
=(x-1)(x-2)；
(2) x2+3x-10
=(x-2)(x+5).
2.分解因式：x3+5x2+6x=___________.
x(x+2)(x+3)
1
2
1
3
1×3+1×2=5
分析：x3+5x2+6x
=x(x2+5x+6)
=x(x+2)(x+3).
方法 核心识别特征 分解结果形式 易错警示
提公因式法 多项式各项含公因式 单项式×多项式 漏提整体公因式（如(a+b)）
平方差公式 两项、异号、均为平方 (和)(差) 与完全平方混淆（如x -4≠(x-2) ）
完全平方公式 三项、首尾平方、中间±2倍积 (二项式) 中间项系数验证错误
十字相乘法 二次三项式x2+(p+q)x+pq (x+p)(x+q) 未优先提公因式导致拆分复杂
因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
十字相乘法
一提二套三查
因式分解的一般步骤
1.把下列各式分解因式：
3ax2+6axy+3ay2 ； (2) 3y·(a+b)2-27y.
(3) 16(a-b)2-25(a+b)2 ； (4) x5-16x .
解: (1) 3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2) 3y·(a+b)2-27y.
=3y·(a+b)2- 3y·32
= 3y[(a+b)2- 32]
=3y(a+b-3)(a+b +3)
(3) 16(a-b)2-25(a+b)2
=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2
=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]
=(9a+b)(-a-9b)
=-(9a+b)(a+9b) ;
(4) x5-16x
=x(x4-16)
=x[(x2)2-42]
=x(x2+4)(x2-4)
=x(x2+4)(x+2)(x-2) .
1.把下列各式分解因式：
3ax2+6axy+3ay2 ； (2) 3y·(a+b)2-27y.
(3) 16(a-b)2-25(a+b)2 ； (4) x5-16x .
2.分解因式：
(1) b4-b2-12 (2) 2x2-6x+4
1
-4
1
3
1×3+1×(-4)=-1
1
-2
1
-1
1×(-1)+1×(-2)=5
2x2-6x+4
=2(x2-3x+2)
=2(x-1)(x-2)．
b4-b2-12
=(b2-4)(b2+3)
=(b+2)(b-2)(b2+3).
解：

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