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18.1.2 分式的基本性质
课时2 分式的约分和通分
第十八章 分式
1.通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念.
2.能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式．
3.通过类比分数的约分与通分来探索分式的约分与通分，体会数式通性和类比的思想.
问题 回想一下，分式的基本性质是什么？请用符号表示分式的基本性质.
答 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
符号语言 ???????? = ?????????????????? ，???????? = ????÷????????÷???? ，
其中A，B，C(C≠0)是整式．
?
思考1 联想分数的约分，由例3（1）（2），你能想出如何对分式进行约分吗？
例3 （1）????3????2???? = ( )???? ； （2）3????2+3????????6????2 = ????+????( ) .
?
x
2x
分子分母同时除以公因式x2
分子分母同时除以公因式3x
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
思考1 联想分数的约分，由例3（1）（2），你能想出如何对分式进行约分吗？
例3 （1）????3????2???? = ( )???? ； （2）3????2+3????????6????2 = ????+????( ) .
?
x
2x
像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．
分析 为约分，要先找出分子和分母的公因式．
(1)定系数：系数取分子和分母系数的最大公约数；
(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的相同字母；
(3)定指数：相同字母的指数取分子和分母中的最低指数．
例4 约分：
（1）?25????2????????315????????2????； （2）????2?9????2+6????+9； （3）6????2?12????????+6????23?????3????.
?
公因式：5abc
解 （1）?????????????????????????????????????????????????????=???????????????????????????????????????????????????????????=?????????????????????????；
?
例4 约分：
（1）?25????2????????315????????2????； （2）????2?9????2+6????+9； （3）6????2?12????????+6????23?????3????.
?
例4 约分：
（1）?25????2????????315????????2????； （2）????2?9????2+6????+9； （3）6????2?12????????+6????23?????3????.
?
（2）?????????????????????+????????+????=(????+????)(?????????)(????+????)????=?????????????+????；
?
分式的分子或分母是多项式
因式分解
确定公因式
约分
（3）?????????????????????????????+?????????????????????????????=????(?????????)????????(?????????)= 2(x?y) .
?
1.约分：
（1）(????+????)????????????2； （2）????2?4????2(?????2????)2．
?
解 （1）(????+????)????????????????= (????+????)??????????????????=????+????????????；
（2）?????????????????????(?????????????)????=(????+????????)(?????????????)(?????????????)????=????+?????????????????????.
?
思考2 联想分数的通分，由例3 （3）（4），你能想出如何对分式进行通分吗？
例3 （3）1????????= ( )????2????； （4）2?????????????2=( )????2???? (b≠0).
?
分子分母同时乘以a
分子分母同时乘以b
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
a
2ab?b2
分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母.
思考2 联想分数的通分，由例3 （3）（4），你能想出如何对分式进行通分吗？
例3 （3）1????????= ( )????2????； （4）2?????????????2=( )????2???? (b≠0).
?
a
2ab?b2
例5 通分：
（1）32????2????与?????????3????????2????； （2）2????????2?25与3????2????+10.
?
分析 为通分，要先确定最简公分母．
(1)定系数：系数取各分母系数的最小公倍数；
(2)定字母：字母取各分母中含有的所有字母；
(3)定指数：相同字母的指数取各分母中的最高指数．
例5 通分：
（1）32????2????与?????????3????????2????； （2）2????????2?25与3????2????+10.
?
最简公分母：????????????????????????
?
解 （1）????????????????????=??????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????????；
?????????????????????????????=(?????????)??????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????????.
?
例5 通分：
（1）32????2????与?????????3????????2????； （2）2????????2?25与3????2????+10.
?
分母是多项式
因式分解
确定最简公分母
通分
（2）?????????????????????????=????????(????+????)(?????????)=?????????????(????+????)(?????????)?????=?????????????????????????????；
????????????????+????????=????????????(????+????)=?????????(?????????)????(????+????)?(?????????)=??????????????????????????????????????????????.
?
2.通分：
（1）2????????????与3????????4????2； （2）????????(????+2)与????????(????+2).
?
（1）????????????????=??????????????????????????????????=????????????????????????????；
????????????????????????= ??????????????????????????????????=???????????????????????????????? .
?
（2）????????(????+????)=?????????????(????+????)?????=????????????????(????+????)；
????????(????+????)=?????????????(????+????)?????=????????????????(????+????).
?
思考3 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
约分
通分
分数
分式
依据
找分子与分母的最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的最小公倍数
找所有分母的最简公分母
分数的基本性质
分式的基本性质
分式的基本性质
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
分子与分母没有公因式的分式,叫作最简分式.
定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
约分
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.
通分
1.计算：????2?5?????????5=（?? ??）
A．a?5 B．a+5
C．5 D．a
?
D
2.约分：????3????????????= ；
3.分式12????2????与1????????2的最简公分母是 ．
?
x2
2a2b2
4.先化简，再求值：????2+2????+1????+1，其中x=2?1．
?
解 ????2+2????+1????+1=(????+1)2????+1=x+1，
当x=2?1 时，原式= 2?1+1=2 .

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