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18.3 分式的加法与减法
课时2 分式的混合运算
第十八章 分式
1.类比数的混合运算顺序明确分式的混合运算顺序.
2.能熟练地进行分式的混合运算，会灵活地运用运算律使运算简便．
下面有七张写着不同整式的卡牌，如图所示：
-1
2
-3
x
x + 2
x - 2
x2 - 4
游戏：从七张卡牌中选择六张，分别放在分子和分母的位置上，拼成三个“分式”. 设计一道混合运算的计算题，并求出其结果.
要求：①题目中需涉及三种运算：一种加法或减法，一种乘法或除法，可考虑使用小括号，一种乘方运算；
②运算过程中既涉及约分又涉及通分.
思考：在分数的混合运算过程中，运算顺序是什么？
分数的混合运算的运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
　　类比分数的混合运算的运算顺序，你能得出分式的混合运算的运算顺序吗？
计算 ．
解：
＝
＝
＝ ．
算乘方，除法变乘法．
约分，做乘法
观察运算类型：乘方、加法、除法
异分母分式相加减
式与数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减．
有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内的运算，再做括号外的运算．
在运算的过程中，我们也可以适当地运用一些运算律，从而达到简化运算的目的．
注：计算结果要化为最简分式或整式.
分式的混合运算顺序
先________，再________，然后______.
乘方
乘除
加减
例1 计算： (1)(2????????)2·1??????????????????÷????4；
?
解:(1) (2????????)2·1??????????????????÷????4=4????2????2·1??????????????????·4????
=4????2????2(?????????)?4????????2 =4????2????2(?????????)?4?????????????????2?????????
=4????2?4????2+4????????????2(?????????)
=4????????????2(?????????)=4?????????????????2.
?
(2)(????+2????2?2??????????1????2?4????+4)÷?????4???? .
?
解:(2) (????+2????2?2??????????1????2?4????+4)÷?????4????= [????+2????(?????2)??????1(?????2)2]·?????????4
= (????+2)(?????2)?(?????1)????????(?????2)2·?????????4
= ????2?4?????2+????(?????2)2(?????4)
= 1(?????2)2.
?
注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体.
先算括号里的加法，再算括号外的除法
(1)顺序意识：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
(2)转化意识：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减；
(3)因式分解意识：若分子、分母中有多项式，应先因式分解；
(4)约分意识：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式．
分式混合运算，四种意识要强化
1.计算：????+2+52??????2?????43?????；
?
解：????+2+52??????2?????43????? =????+22?????2?????+52??????2?????23?????
=9?????22??????2?????23?????
=3+????3?????2??????2?????23?????
=-2·(3+m)
=-6-2m.
?
＝a(a + 2)
∵ a2 + 2a - 1= 0，
∴ a2 + 2a = 1.
例2 已知 a2 + 2a - 1= 0，求代数式
的值.
解：原式
分析：先按照分式的混合运算顺序化简，然后根据条件代入求值.
∴原式＝a2 + 2a＝1.
　　分式的化简与求值的一般思路是先化简，再将已知数代入求值，化简与求值的重点是化简，要注意分式混合运算的顺序，有时也会用到整体代入的思想．
分式化简求值的“真相”
例3 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是????+????2 km/h，如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？
?
解：设从甲地到乙地的路程为 s km，张华从甲地到乙地的时间(单位：h)为
????2?????????2????=????+????????2????????
?
李明从甲地到乙地的时间(单位：h)为
????????+????2=????+????????????+????
?
例3 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是????+????2 km/h，如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？
?
两人的时间差为
????+????????2?????????2????????+????=????+????2?????4????????????2????????????+????=(????2?2????????+?????)????2????????????+????=(?????????)?????2????????????+????
?
因为s，a，b均大于0，且 a ≠ b，所以(?????????)?????2????????????+????>0，即????+????????2????????>2????????+????
?
因此，李明先到达乙地.
分式混合运算
混合运算
应用
关键是明确运算种类及运算顺序
明确运算顺序
1. 同级运算自左向右进行；
2. 运算律可简化运算
运算方法及技巧
技巧
注意
1.计算：?1????2????2?????2?????????????2÷2????2????； 21??????????????+2????÷????2?????2????2+4????????+4????2.
?
解：1????2????2?????2?????????????2÷2????2????
=????24????2?????2?????????????2?????2????2
=????8?????????22????4=????????3?4????28????4.
?
21??????????????+2????÷????2?????2????2+4????????+4????2
=1??????????????+2?????????+2????2????+?????????????
=1?????+2????????+????
=????+??????????2????????+????=?????????+????.
?
当 b = 3，-2 < a < 2 时，a 可取的整数为 -1，1.
2. 先化简： ，当 b = 3 时，再从-2 < a < 2 的范围内选取一个合适的整数 a 代入求值.
解：原式 =
当 a 取 -1 时，原式的值是 ；
当 a 取 1 时，原式的值是 .
3.前年、去年、今年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
解：????3?????2????2?????2?????1????1
=????1????3?????2????1????2?????2????2?????1????1????2
=????1????3?????1????2?????22+????1????2????1????2
=????1????3?????22????1????2
所以今年与去年相比，森林面积增长率提高了????1????3?????22????1????2.

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