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人教版2025—2026学年八年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·柯桥期中）以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·拱墅期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在△ABC (　　)
A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上
C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上
3．（2024八上·平凉期中）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm
4．（2024七下·成都期中）下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形
5．（2023八上·江津期中）如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2023八上·纳溪期中） 已知等腰三角形的一个外角等于110度，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（　　）度
A．40 B．55 C．70 D．55或70
7．（2024八上·乐清期中） 如图， 为了测出池塘两端 A， B 的距离， 小红在地面上选择了点 O， D， C， 使 ，且点 A， O， C 和点 B， O， D 分别都在一条直线上. 小红认为只要量出 D， C 的距离， 就能知道 A， B 的距离. 此方法的原理是全等三角形的判定定理，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．（2024八上·南昌期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD=BD
C．AD=2CD D．2S△ABD=3S△ACD
9．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝BC=10，AC=12，BD是∠ABC的角平分线，DE//BC，P，分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，P，A，给出下列结论：①△BDE是等腰三角形，②；③；④A的最小值是9.6；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．（2023八上·义乌期中）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝10，AC＝6，则AD的取值范围是（　　）
A．4＜AD＜16 B．2＜AD＜8 C．4＜AD＜10 D．8≤AD≤16
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·杭州期中）等边三角形是轴对称图形，它有　 　条对称轴．
12．（2023八上·衡阳期中）如图，，则　 　．
13．（2023八上·阳新期中）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是　 　．
14．（2023八上·东莞期中）如图，在中，，，是边上的中线，则是　 　三角形．
15．（2024八上·增城期中）如图，AO、BO分别平分∠CAB、∠CBA．点O到AB的距离OD=4，若△ABC的周长为28，则△ABC的面积为　 　
16．（2024八上·广州期中）如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·临海期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，点A，D在直线BC的侧，AB=DF，AC=DE，BE=CF
（1）证明： △ABC≌△DFE.
（2）若∠A=75°. ∠B=45°，求∠COE的度数
18．（2024八上·丽水期中）已知△ABC的三边长分别为m+2，2m-1，8．
（1）求m的取值范围．
（2）若△ABC是以8为底的等腰三角形，求底边上的高．
19．（2024八上·中山期中）如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的周长．
20．（2024八上·江门期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形．
21．（2023八上·合江期中）如图所示，已知，是的中点，平分.
求证：
（1）平分；
（2）.
22．（2023八上·怀远期中）如图，BE平分△ABC的内角∠ABC，CE平分△ABC 的外角.，BE，CE 相交于点 E.
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠E 的度数；
（2）若∠ABC+∠ACB=100°，求∠E的度数.
23．（2023八上·诸暨期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．
（1）求证：EC⊥BC；
（2）若∠BAC＝120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．
24．（2025八上·温州期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
25．（2023八上·广州期中）如图1，已知线段轴，点B在第一象限，且AO平分，AB交y轴于点D，连接OB、OC.
（1）可以判断的形状为　 　三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分且，证明：；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，，点M为OA上一点，且，点B的坐标为，求点M的坐标.
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人教版2025—2026学年八年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·柯桥期中）以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形”逐项判断即可.
2．（2024八上·拱墅期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在△ABC (　　)
A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上
C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上
【答案】B
【解析】【解答】解：A、三边中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离为到对边中点的两倍，则本项不符合题意；
B、三内角平分线的交点为三角形的内心，到三边的距离相等，则本项符合题意；
C、三条边高的交点为三角形的垂心，则本项不符合题意；
D、三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】题目要求它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可求解.
3．（2024八上·平凉期中）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，
∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，
∴它的第三边长不可能为：17cm．
故选：D．
【分析】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．
4．（2024七下·成都期中）下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【解析】【解答】解：A.形状相同、大小相等的两个图形一定全等，A不符合题意；
B.长方形不一定是全等图形，B不符合题意；
C.两个全等图形面积一定相等，C符合题意；
D.两个正方形不一定是全等图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案.
5．（2023八上·江津期中）如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：D．
【分析】在上截取，连接，根据SAS证明，得，，证出．根据等腰三角形的性质得出，即可得出，代换求解即可．
6．（2023八上·纳溪期中） 已知等腰三角形的一个外角等于110度，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（　　）度
A．40 B．55 C．70 D．55或70
【答案】D
【解析】【解答】
解：如下图所示：△ABC为等腰三角形，∠ACD=110°
∵△ABC为等腰三角形
∴当AB=AC时，∠B=∠ACB
∵∠ACD=110°
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°
即∠B=∠ACB=70°
即底角为70°
当AC=BC时，∠B=∠A
∵∠ACD=110°
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°
∴∠B=∠A=（180°－∠ACB）=55°
即底角为55°
当AB=BC时，∠A=∠ACB
∵∠ACD=110°
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°
即∠A=∠ACB=70°
即底角为70°
综上所述，底角为55°或70°
故答案为：D.
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由题意可知：∠ACD=110°，等腰三角形ABC，分三种情况讨论：当AB=AC时，∠B=∠ACB=70°，即底角为70°；当AC=BC时，∠B=∠A=（180°－∠ACB）=55°，即底角为55°；当AB=BC时，∠A=∠ACB=70°，即底角为70°，即可得出答案.
7．（2024八上·乐清期中） 如图， 为了测出池塘两端 A， B 的距离， 小红在地面上选择了点 O， D， C， 使 ，且点 A， O， C 和点 B， O， D 分别都在一条直线上. 小红认为只要量出 D， C 的距离， 就能知道 A， B 的距离. 此方法的原理是全等三角形的判定定理，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解析】【解答】解：在和中，
.
故答案为：B.
【分析】两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
8．（2024八上·南昌期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD=BD
C．AD=2CD D．2S△ABD=3S△ACD
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线，
∴原结论正确，此选项不符合题意；
B、∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD
∴原结论正确，此选项不符合题意；
C、在Rt△ACD中，∠C＝90°，∠CAD=30°
∴CD=AD，
∴AD=2CD，
∴原结论正确，此选项不符合题意；
D、由C得：AD=BD=2CD
∴S△ABD=2S△ACD.
∴原结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线；
B、由A的结论并结合直角三角形的两锐角互余可得∠BAD=∠CAD=∠B =30°，然后由等角对等边可求解；
C、由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD；
D、由C的结论可得AD=BD=2CD，再根据三角形的内角和定理可求解．
9．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝BC=10，AC=12，BD是∠ABC的角平分线，DE//BC，P，分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，P，A，给出下列结论：①△BDE是等腰三角形，②；③；④A的最小值是9.6；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵ BD是∠ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠CBD，
∵ DE//BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
∴ △BDE是等腰三角形；故①正确；
②∵BA=BC=10，BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，AD=CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AP=PC
∴PC+PO=AP+PO，
∵AP+PO>AO，
∴PC+PO≥AO，故②正确；
③∵DE//BC
∴∠EDB=∠DBC，∠ADE=∠ACB，
∵BD是AABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴EA=ED，
∴，
∴AE+DE=BC，故③正确；
④根据解析②可知，PC+PO=AP+PQ=AQ，
当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴，
∵，
∴，
即PC+PQ=AQ的最小值是9.6 ，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④.
故答案选：D.
【分析】①根据BD是∠ABC的角平分线，DE//BC，即可得出结论；
②根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP=PC，根据三角形三边关系即可得出结论；
③根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明∠EDB=∠EBD，∠ADE=∠BAD，得出EB=ED，EA=ED，即可得出结论；
④过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ=AM=AQ，此时AP+PQ最小，且最小值为AQ，根据等积法求出AQ即可.
10．（2023八上·义乌期中）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝10，AC＝6，则AD的取值范围是（　　）
A．4＜AD＜16 B．2＜AD＜8 C．4＜AD＜10 D．8≤AD≤16
【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示：延长AD至点E，使因为AD是△ABC中BC边上的中线 ，所以在和中则则在中即又故
【分析】本题主要考查了倍长中线法、三角形全等的判定及性质、三角形三边的关系.
延长AD至点E，使结合已知条件可证得，得到再根据三角形三边的关系得到：进而得到：.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·杭州期中）等边三角形是轴对称图形，它有　 　条对称轴．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵等边三角形三条边上的中线所在直线均为对称轴，
∴等边三角形有3条对称轴，
故答案为：3．
【分析】根据轴对称图形的定义以及等边三角形的性质直接得到答案.
12．（2023八上·衡阳期中）如图，，则　 　．
【答案】80
【解析】【解答】解：∵∠CED=100°，
∴∠DEB=80°，
由题意得△ADB≌△EDB（SSS），
∴∠A=80°，
故答案为：80
【分析】先根据题意得到∠DEB=80°，进而运用三角形全等的判定（SSS）与性质即可求解。
13．（2023八上·阳新期中）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点E，
∴，
由三角形的外角性质得，，
，
∴，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
过点E作交延长线于F，作于G，作于H，如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用三角形外角的性质及角的运算求出，再过点E作交延长线于F，作于G，作于H，证出是的平分线，最后利用角的运算求出即可．
14．（2023八上·东莞期中）如图，在中，，，是边上的中线，则是　 　三角形．
【答案】等边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是等边三角形，
故答案为：等边．
【分析】本题考查等边三角形的判定，直角三角形的性质. 根据直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余可以求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，再利用等腰三角形的判定定理可得：是等腰三角形，再根据有一个角的式60°的等腰三角形是等边三角形，据此可判断三角形的形状.
15．（2024八上·增城期中）如图，AO、BO分别平分∠CAB、∠CBA．点O到AB的距离OD=4，若△ABC的周长为28，则△ABC的面积为　 　
【答案】56
【解析】【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，连接OC， 如图.
∵AO平分∠CAB 且OE⊥AC，OD⊥AB.
∴OD=OE.
同理可得：OD=OF.
∴OD=OE=OF.
∴ S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=×AB×OD+×AC×OE+×BC×OF=×(AB+AC+BC)×OD=×C△AOB×OD=×28×4=56.
故答案为：56.
【分析】根据角平分线的性质可得OD=OE=OF，再通过变形发现S△ABC=×C△AOB×OD即为所求。
16．（2024八上·广州期中）如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：作于，作于，连接，
，，
平分，
即平分，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质.作于，作于，连接，根据等腰三角形的性质可得：平分， 再根据，，利用角平分线的性质可得：，， 利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，当时有最小值，即有最小值，再根据直角三角形得到，代入数据可求出答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·临海期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，点A，D在直线BC的侧，AB=DF，AC=DE，BE=CF
（1）证明： △ABC≌△DFE.
（2）若∠A=75°. ∠B=45°，求∠COE的度数
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BC=EF.
∵在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SSS）.
（2）解：∵∠A=75°， ∠B=45°
∴∠ACB=60°
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DEF=∠ACB=60°
∴∠COE-180°-60°-60°=60°
【解析】【分析】（1）由BE=CF，得出BC=EF，利用SSS证明△ABC≌△DFE；
（2）由（1）可知，∠DEF=∠ACB，进而求解.
18．（2024八上·丽水期中）已知△ABC的三边长分别为m+2，2m-1，8．
（1）求m的取值范围．
（2）若△ABC是以8为底的等腰三角形，求底边上的高．
【答案】（1）解：∵△ABC 的三边长分别为 m+2，2m-1，8．
解得
（2）解：∵△ABC 是以 8 为底的等腰三角形
∴m+2=2m 1，
∴m=3，
∴2m-1=2×3-1=6-1=5，
∴△ABC的三边长分别为5，5，8，
如图：AB=AC=5，BC=8，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴，
∴，
∴底边上的高为3.
【解析】【分析】(1)根据三角形的三边关系可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答；
(2)根据等腰三角形的性质可得2m-1=m+2，从而可得m=3，进而可得△ABC的三边长分别为5，5，8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD=CD=4，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即可解答.
19．（2024八上·中山期中）如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：∵，，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∴的周长为．
答：的周长为．
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，三角形的外角性质.（1）根据，，垂直平分，利用线段垂直平分线和等腰三角形性质可得，根据等边对等角可得：，利用三角形内角和定理可求出，再根据，可得，代入数据可求出答案；
（2）根据，结合，可推出，利用三角形的周长计算公式和等量代换可得：的周长为，代入数据可求出答案．
（1）解：∵，，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∴的周长为．
答：的周长为．
20．（2024八上·江门期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形．
【答案】（1）解：在中，，，
，
在中，，
（2）证明：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
在中，，，是边上的中线，
，
，
是等边三角形．
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定.
（1）根据在中，，，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据，利用三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出的度数；
（2）根据的垂直平分线交于，交于，利用线段垂直平分线性质可得：，根据等边对等角可得：，利用角的运算可得：，再根据等腰三角形性质可推出，则，利用等边三角形的判定定理可证明结论．
（1）解：在中，，，
，
在中，，
；
（2）证明：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
在中，，，是边上的中线，
，
，
是等边三角形．
21．（2023八上·合江期中）如图所示，已知，是的中点，平分.
求证：
（1）平分；
（2）.
【答案】（1）证明：过点M作，垂足为E，
平分，
又，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
是的中点，
，
，
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
（2）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
【解析】【分析】（1） 过点M作，垂足为E， 首先根据角平分线的性质，得出ME=MC，根据中点定义，得出MC=MB。故而得出ME=MB，根据角平分线的判定定理，即可得出结论；
（2）首先根据HL可证得 ，得出DC=DE，同理可证，可得AB=AE，即可得出AD=AB+CD。
22．（2023八上·怀远期中）如图，BE平分△ABC的内角∠ABC，CE平分△ABC 的外角.，BE，CE 相交于点 E.
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠E 的度数；
（2）若∠ABC+∠ACB=100°，求∠E的度数.
【答案】（1）解：∵BE 平分
∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-80°=100°，
∵CE 平分.
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°.
（2）解：∵∠ABC+∠ACB=100°，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD-∠ABC=80°，
∵BE 平分
∵CE 平分
【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质，结合角平分线的定义求解。由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差解答；
（2）根据三角形外角的性质，结合角平分线的定义求解。先说明，再根据角平分线的定义可得、，最后根据角的和差解答．
23．（2023八上·诸暨期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．
（1）求证：EC⊥BC；
（2）若∠BAC＝120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又∵CE∥AD，
∴∠BCE＝∠BDA＝90°，
∴EC⊥BC；
（2）解：△ACE是等边三角形，理由如下：
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAC＝60°，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（180°-120°）＝30°，
又∵EC⊥BC，
∴∠ACE＝60°，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠E＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得AD⊥BC，再根据平行得到 EC⊥BC；
（2）由邻补角得到∠EAC＝60°，由等边对等角及三角形的内角和可得∠B＝∠ACB＝30°，结合垂直的定义得到∠ACE＝60°，进而证明△ACE是等边三角形．
24．（2025八上·温州期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
25．（2023八上·广州期中）如图1，已知线段轴，点B在第一象限，且AO平分，AB交y轴于点D，连接OB、OC.
（1）可以判断的形状为　 　三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分且，证明：；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，，点M为OA上一点，且，点B的坐标为，求点M的坐标.
【答案】（1）等腰
（2）证明：延长OB到F，使得，
∴，，
∴
∵，∴.
∵OE平分，∴.
∵，∴，
∴
∴
（3）解：连接BC，作轴于G，作轴于H，
∵，
∴
∵，
∴CM平分，AM平分，BM平分.
∴设，
，，
则，，∴，
∵，，
∴，
∴.
∵，，，
∴
∴，，
∴
【解析】【解答】解：(1)由题意知AC//OD，所以又因为 AO平分，所以所以即DA=DO，三角形AOD为等腰三角形；
【分析】(1)由平行内错角相等和角平分线的性质即可得DA=DO，即三角形AOD为等腰三角形；
（2）延长OB到F，使得，通过等量代换可得，推出 ，对应边AO=OF，即可得证；
（3）要求点M的坐标，首先连接BC，作轴于G，作轴于H，再结合已知设，，，根据x，y，z直间的关系推出OM=MB，进而证明，得到，，即可得点M的坐标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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