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18.4 整数指数幂
课时1 整数指数幂的运算性质
第十八章 分式
1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.
2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.
指数幂 正整数指数幂 零指数幂
记作
指数 m 的取值范围
底数 a 的取值范围
am
a0
m＞0
m＝0
a 任意数
a≠0
am 中指数 m 可以是负整数吗？
溯源
　　幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示．
　　an 这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将 ， ， ，… 写成a－1，a－2，a－3，…．”
你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
am÷an=am – n
（a≠0，m，n是正整数，m>n）
a5÷a3=a5 – 3=
a3÷a5=
a5÷a3=
a2
a3÷a5=
3＜5
分式的约分
？
知识点1：负整数指数幂
a – 2=
a1÷a4=
a1 – 4=
a– 3
a2÷a7=
a2 –7=
a– 5
a – n=
(a2 的倒数)
(n是正整数)
a3÷a5=
a3 – 5=
a– 2
a3÷a5=
am÷an=am – n
（a≠0，m，n是正整数，m>n）
假设
规定：
一般地，当n是正整数时，
a – n=
(a≠0).
这就是说，a – n是an的倒数.
am÷an=am – n
（a≠0，m，n是正整数，m>n）.
（a≠0，m，n是正整数）.
可以m＞n；
可以m=n；
可以m＜n.
负整数指数幂
(1) 2-3 =__________; 3-2 =__________;
(2) (-3)-2 =__________; -3-2 =__________.
1. 填空：
知识点2：整数指数幂
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.
那么前面提到的正整数指数幂运算性质是否可以推广到整数指数幂？
am·an=am + n
m，n可以是正整数、
负整数、0.
am · an = am + n (m，n 都是正整数)这条性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？
am·an=am + n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
(1) am·an=am+n
(2) (am)n=amn
(3) ( ab) n =a n b n
(4) am÷an=am – n
（a≠0 ）
(5)
(m，n是整数)
整数指数幂运算性质
例1 计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
对于(1) (2)问还有其他的解法吗？
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
即商的乘方可以转化为积的乘方.
am÷an = am · a-n (a≠0).
(1) am · an = am+n ( m，n 都是整数)；
(2) (am)n = amn ( m，n 都是整数)；
(3) (ab)n = anbn ( n 是整数).
整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算．
（2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式．
整数指数幂的计算方法
(3) 2－2 － ＋(π－2)0 － (－1)2023.
2. 计算：(1) (x3y－2)2； (2) x2y－2·(x－2y)3；
(2) 原式＝x－4y
(3) 原式＝
解：(1) 原式＝x6y－4.
整数指数幂运算
零指
数幂
a0=1 (a≠0)
负整数指数幂
整数指数幂
am·an=am+n ( m、n是整数，a≠0) ；
(am)n=amn ( m、n是整数，a≠0)
(ab)n=anbn ( n是整数，a≠0，b≠0).
1. 2－3可以表示为(　　)
A．22÷25　　　　 B．25÷22
C．22×25 D．(－2)×(－2)×(－2)
A
2. (－2)－2等于(　　)
A．－4　　 B．4　　 C．　　　 D.
D
3. 计算a·a－1的结果为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．－a
C
4.下列运算正确的是(　　)
A. B.6 ×107=6000000
C. (2a)2 =2a2 D.a3 ·a2=a5
D
5.若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
B
6.计算：
(1)0.1÷0.13； (2)(-5)2018÷(-5)2020；
(3)100×10-1÷10-2； (4)x-2·x-3÷x2.
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式

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