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第十八章 分式
18.5 分式方程
课时1 分式方程及其解法
1.能够识别分式方程，了解解分式方程的整体思想及检验的意义；
2. 能够准确的求出分式方程的解；
2x+5=7；
9x–5；
(3) 6y+1>2y；
(4) 7–2=5；
(5) 4x+3y=3；
；
.
分母中含有未知数的方程在生活中很常见
下列哪些是方程？方程之间又有什么不同？
是方程的有：(1)(5)(6)(7).
等号两边都是整式
整式方程
等号两边含分式
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
解：如果设江水的流速为v km/h，
速度(km/h) 路程(km/h) 时间(h)
顺流 逆流 30+v
30 – v
90
60
等号两边含分式
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
方程 ， 的分母中分别含未知数x和v.
分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)
(1) 是方程(含有未知数的等式)；
(2) 含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
下列式子，哪些是关于x的分式方程？
分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如方程 （a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程.
整式方程.
下列式子，哪些是分式方程？
①
②
③
④
⑤
π不是未知量，即分母没有未知数.
没有等号，不是方程.
判断是否为分式方程，看原式，不化简.
分母没有未知数.
如何解出v
解一元一次方程
去分母
含分母
去分母
分式方程
整式方程
转化
如何解分式方程 ？
合作完成
解：方程两边乘各分母的最简公分母(30+v)(30 – v)，得
90(30 – v)= 60(30+v).
解得
v=6.
检验：将v=6代入原方程中，
左边= =右边，
因此v= 6是分式方程的解.
由上可知，江水的流速为6 km/h.
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
具体做法：
是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
去分母
分式方程
整式方程
转化
如何解分式方程 ？
解：方程两边乘各分母的最简公分母(x – 5)(x + 5)，得
x + 5 = 10.
解得
x=5.
将x=5代入原分式方程检验，发现分母x – 5和x2 – 25的值都为0，相应的分式无意义.
x=5是原方程的解吗？
因此，x=5虽是整式方程x + 5 = 10的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
思考
为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
思考
等号两边同乘(30+v)(30 – v)
假设：(30+v)(30 – v)≠0
90(30 – v)= 60(30+v)
代入
v= 6
(30+v)(30 – v)≠0
假设成立
x= 5
等号两边同乘(x+5)(x – 5)
假设：(x+5)(x – 5) ≠0
x + 5 = 10
代入
(x+5)(x – 5) =0
假设不成立
(是原方程的解)
(不是原方程的解)
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x=m
检验
最简公分母为0
m不是分式方程的解
m是分式方程的解
最简公分母不为0
例1 解方程：
解：方程两边乘各分母的最简公分母x(x – 3)，得
2x =3x – 9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x – 3)
所以，原分式方程的解为x=9.
≠0.
去分母
解整式方程
检验
写原分式方程的解
例2 解方程：
解：方程两边乘各分母的最简公分母(x – 1) (x + 2)，得
x(x + 2) – (x – 1) (x + 2) =3.
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x – 1) (x + 2)＝0.
因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项.
分式方程
分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)
(1) 是方程(含有未知数的等式)；
(2) 含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
解分式方程的一般步骤
一去
二解
三验
四写
1.下列方程是分式方程的是（ ）
A. B.
C. D. 2x+1=3x
B
2.解方程：
解：方程两边乘各分母的最简公分母2x(x + 3)，得
x + 3 =4x.
解得
x=1.
检验：当x=1时，2x(x + 2)
≠0.
因此x=1是原分式方程的解.
3.解方程：
解：方程两边乘各分母的最简公分母x (x – 1)(x + 1)，得
5(x – 1) – (x + 1) =0.
解得
≠0.
检验：当 时，2x(x + 2)
因此 是原分式方程的解.

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