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人教版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮阳期中）已知和关于原点对称，则的值为（　　）
A．6 B． C．2 D．
2．（2024九上·五华期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
3．（2024九上·邻水期中）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·广州期中）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·广州期中）若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x－m）2+1的顶点必在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024九上·温州期中）二次函数的对称轴为（　　）
A．直线x=6 B．直线x=5 C．直线x=4 D．直线x=3
7．（2023九上·阳新期中）关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≥－1且a≠1
C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1
8．（2023九上·宝安期中）如图， 某小区有一块长为 18 米、宽为 6 米的矩形空地， 计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分)， 它们的面积之和为 60 平方米， 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行通道的宽度为 米， 则下列所列方程正确的是 ( )
A． B．
C． D．
9．（2024九上·昌平期中）抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023九上·宜州期中）如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M，那么图中点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·北京市期中）已知一元二次方程的两个根为，则　 　．
12．（2024九上·恩施期中）抛物线的部分图象如图所示，则的解集是　 　；
13．（2024九上·拜城期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．将绕点顺时针旋转，得到，连接，则　 　．
14．（2024九上·拜城期中）如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为　 　．
15．（2023九上·梁子湖期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
16．（2024九上·浙江期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当02，则m的取值范围是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·金沙期中）解方程：
（1）
（2）
18．（2024九上·北京市期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
19．（2024九上·永州期中）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动．
（1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率；
（2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？
20．（2024九上·余杭期中）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为．
（1）求点D的坐标；
（2）将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________．
21．（2024九上·金牛期中）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
22．（2024九上·深圳期中）重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
23．（2024九上·新丰期中）已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．．
（1）旋转中心是_________，旋转角为_________度；
（2）请你判断的形状，并说明理由．
24．（2024九上·绍兴期中）已知抛物线经过点，请解决下列问题：
（1）抛物线的对称轴为直线时，分别求出m和k的值；
（2）当时，
①求k的最大值和最小值：
②若，，求m的值．
25．（2023九上·丰台期中） 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．
现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线表示的二次函数解析式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
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人教版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮阳期中）已知和关于原点对称，则的值为（　　）
A．6 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵和关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为选：B．
【分析】根据和关于原点对称得ａ与4互为相反数，-2与ｂ互为相反数，便可得a、b的值，代入计算即可．
2．（2024九上·五华期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根
所以，
解得：
因为，即
故的取值范围是且，
故选：．
【分析】结合一元二次方程的定义(二次项系数非零)与根的判别式(时有实数根)，联立求解k的范围.
3．（2024九上·邻水期中）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2
，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出第二个月的产量是560（1+x），第三月的产量是560（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1850吨列出方程即可作出判断.
4．（2024九上·广州期中）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.
根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.
∴平移后，新图象的顶点坐标是 .
∴所得抛物线的表达式为 .
故答案为：B.
【分析】先求出函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，再根据点的坐标平移规律找出平移后新图象的顶点坐标， 由于二次函数的平移不改变二次项系数，所以平移后的二次函数二次项系数a=1，将它们代入顶点式解析式即可。
5．（2024九上·广州期中）若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x－m）2+1的顶点必在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线y=3x+m经过第一，三，四象限，
∴m＜0，
∴抛物线y=（x-m）2+1的顶点（m，1）必在第二象限．
故答案为：B．
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系可得m＜0，再利用二次函数的顶点式可得其顶点为（m，1），最后利用点坐标与象限的关系分析求解即可.
6．（2024九上·温州期中）二次函数的对称轴为（　　）
A．直线x=6 B．直线x=5 C．直线x=4 D．直线x=3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 ，
∴a=-1，b=6，
∴ 对称轴为 直线.
故答案为：D.
【分析】本题考查二次函数对称轴的求法，根据对称轴公式写即可.
7．（2023九上·阳新期中）关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≥－1且a≠1
C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，a+1≥0，
解得：a≥-1，且a≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件可得a-1≠0，a+1≥0，再求出a的取值范围即可.
8．（2023九上·宝安期中）如图， 某小区有一块长为 18 米、宽为 6 米的矩形空地， 计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分)， 它们的面积之和为 60 平方米， 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行通道的宽度为 米， 则下列所列方程正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 设人行通道的宽度为 米
根据题意可得：
故选D.
【分析】 设人行通道的宽度为 米， 根据等量关系：图中阴影部分的面积=两个长方形面积之和，列出方程即可.
9．（2024九上·昌平期中）抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线过点，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的两根为，故④正确；
，
∵，
∴当时，函数有最大值，
∵直线经过点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，函数有最大值，故⑤错误；
∴正确的有3个．
故答案为：B
【分析】抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解．
10．（2023九上·宜州期中）如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M，那么图中点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是边长为的正方形，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D'，
∴ AB=BC'= ，
∠BAM = ∠BC'M = 90°，
在Rt△ABM和Rt△C'BM中，
∴ Rt△ABM≌Rt△C'BM(HL)，
∴ ∠1=∠2，
∵ 将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，
∴ ∠CBC'= 30°，
∴ ∠1 =∠2 =30°，
在Rt△ABM中，AB =，∠1=30°
∴
∴ AM = 1，
∴ 点M的坐标为
故选： B.
【分析】由正方形和旋转的性质得出，证出
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·北京市期中）已知一元二次方程的两个根为，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
，
，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．（2024九上·恩施期中）抛物线的部分图象如图所示，则的解集是　 　；
【答案】或
【解析】【解答】解：根据图像知抛物线的对称轴为，
∵抛物线和轴的一个交点为1，
∴另一个交点为，
∴的解集是或．
【分析】先利用二次函数的对称轴求出二次函数与x轴的两个交点，再结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
13．（2024九上·拜城期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．将绕点顺时针旋转，得到，连接，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据旋转可得，，，
∵四边形是正方形，边长为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用等腰直角三角形的性质可得.
14．（2024九上·拜城期中）如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵与关于点A成中心对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出即可.
15．（2023九上·梁子湖期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】根据题意得到，变形为，将变形为，再整体代入即可求出答案.
16．（2024九上·浙江期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当02，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：①当m>0时，如图所示，抛物线与x轴有2个交点，且都在x轴正半轴；当 02不是总成立，故m>0不符合题意；
②当m<0时，如图所示，过点C作CM||x轴交抛物线于点M，易知抛物线的对称轴为直线x=，由对称性知点M的坐标为(2m+6，2)
而 02 ，则
m+2≤2m+6，且m+2>0，
得m≥-，故
综上所述，
故答案为：.
【分析】分类讨论m>0和m<0的两种情形，结合二次函数的草图，当m>0时，明显不符合题意；而当m<0时，则m+2≤2m+6即符合题意.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·金沙期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
∴，
∴，，
解得：，.
【解析】【分析】（1）根据移项、配方即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解即可求解.
18．（2024九上·北京市期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
【答案】（1）解：依题意得
；
（2）解：为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数，
当时，方程为的根，都是整数，
故．
【解析】【分析】(1) 元二次方程有两个不相等的实数根，可得出根的判别式＞0.解不等式即可求得m的取值范围；
（2）根据（1）结论，可得出m的正整数解为1和2，分别代入原方程，求方程的解，当时，不是整数，当时，，都是整数，即可得出m=2.
（1）解：依题意得
；
（2）解：为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数，
当时，方程为的根，都是整数，
故．
19．（2024九上·永州期中）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动．
（1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率；
（2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？
【答案】（1）解：设平均每月增长率为x，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
答：该增长率为；
（2）解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，
根据题意得：，
即，
解得：或（舍去），
答：每副乒乓球拍应降价元．
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题可列方程，其中分别为起始和终止数据，为平均增长率，再求解出正数解即可；
（2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用等量关系“ 盈利元 ”列关于y的一元二次方程并根据题意对解进行取舍即可．
（1）解：设平均每月增长率为x，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
答：该增长率为；
（2）解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，
根据题意得：，
即，
解得：或（舍去），
答：每副乒乓球拍应降价元．
20．（2024九上·余杭期中）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为．
（1）求点D的坐标；
（2）将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________．
【答案】（1）解：，四边形ABCD是正方形，
∴点A的横坐标为1，
将x=1代入y=x2得y=1，
∴A(1，1)，AB=1，
又四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=1，
；
（2）或
【解析】【解答】（2）解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得：
则
解得：，，
平移后抛物线解析式为：或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据点的坐标与图形性质可得点A的横坐标为1，将x=1代入y=x2得y=1，则A(1，1)，AB=1，进而根据正方形性质及点的坐标与图形性质可得点D的坐标；
（2）利用抛物线平移规律“左加右减”设平移后抛物线解析式为：，把点代入求出答案．
（1）解：，点在抛物线上，
，
又正方形中，，
；
（2）解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得：
则
解得：，，
平移后抛物线解析式为：或．
故答案为：或．
21．（2024九上·金牛期中）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：

（2）解：根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
【解析】【分析】（1）由题意，根据待定系数法即可求解；
（2）根据总利润=每千克的利润销量可列关于x的一元二次方程，解方程并检验x的值是否符合题意即可求解．
22．（2024九上·深圳期中）重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
【答案】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
【解析】【分析】（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为， 根据第二次所购数量与第一次购进数量相同．可得出方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设降价元，根据售价×销量=销售额，可得出，解方程，即可求解．
（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
23．（2024九上·新丰期中）已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．．
（1）旋转中心是_________，旋转角为_________度；
（2）请你判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）点；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
在正方形中有：，
∴即
根据旋转得性质得：，
，，
∴即，
又∵
是等腰直角三角形．
【解析】【解答】解：∵逆时针旋转后能够与重合，
∴旋转后A与A重合，B与D重合，E与F重合，
∴旋转中心是点，旋转角为.
∴旋转中心是点，旋转角为.
故答案为：点；
【分析】（1）根据旋转的性质和已知条件可得答案.
（2）根据旋转得，根据全等三角形的性质得出，，求出，即可得出答案．
（1）解：从图形和已知可知：旋转中心是点，旋转角的度数等于的度数，即，
故答案为：点，
（2）解：等腰直角三角形，
理由是：四边形是正方形，
，
逆时针旋转后能够与重合，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
24．（2024九上·绍兴期中）已知抛物线经过点，请解决下列问题：
（1）抛物线的对称轴为直线时，分别求出m和k的值；
（2）当时，
①求k的最大值和最小值：
②若，，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴；
（2）解：①∵抛物线经过点，
∴，
则二次函数对称轴为直线，开口向上，
∴当，随着的增大而减小，
∴当，，
当，；
②∵
而，，开口向上，
∴当时，有最小值，，
则若，即时，有最大值，
∴，
∴此时，
解得：或（舍）；
若，即时，有最大值，
∴
∴此时，
解得：或（舍），
综上所述：m的值为0或．
【解析】【分析】（1）由对称轴公式“”建立方程即可求出，从而求出抛物线的解析式，则代入点，即可求出k的值；
（2）①将点代入抛物线，得到k关于m的函数解析式，进而根据二次函数的性质求出-2≤m≤1时k的最大和最小值；
②抛物线 化为顶点式，则当时，有最小值，，再分类讨论表示出最大值，建立方程求解即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴；
（2）解：①∵抛物线经过点，
∴，
则二次函数对称轴为直线，开口向上，
∴当，随着的增大而减小，
∴当，，
当，；
②∵
而，，开口向上，
∴当时，有最小值，，
则若，即时，有最大值，
∴，
∴此时，
解得：或（舍）；
若，即时，有最大值，
∴
∴此时，
解得：或（舍），
综上所述：m的值为0或．
25．（2023九上·丰台期中） 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．
现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线表示的二次函数解析式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【答案】（1）解：∵8-6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x-2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝-，
∴抛物线的函数解析式为：y＝-（x-2）2+3；
（2）解：当x＝0时，y＝-×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（3）解：设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y＝-（x-2-m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝-（0-2-m）2+3，
解得 m＝-5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
故答案为：1．
【解析】【分析】（1）设抛物线为 y＝a（x-2）2+3，根据题意得A（8，0），将A（8，0）代入解得a的值即可求解；
（2）通过计算， 当x＝0时， y＝＞2.44，进而得出结论；
（3）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y＝-（x-2-m）2+3， 把点 （0，2.25）代入解得符合题意的m的值，进而得出结论.
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