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17.1 用提公因式法分解因式
课时1 用提公因式法分解简单的因式
第十七章 因式分解
1.理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.能够确定多项式的公因式，并运用提公因式法将多项式分解因式.
3.会利用因式分解进行简便计算.
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？
p(a+b+c) = pa+pb+pc
整式的乘法
知识点 1
因式分解的概念
小学时，我们在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如：
6=_________
8=_________
12=_________
30=_________
2×3
2×2×2
2×2×3
2×3×5
类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式.
【探究】请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2+x = ； （2）x2-1 = ；
（3）x2+2x+1 = .
(x+1)(x-1)
x(x+1)
(x+1)2
（1）x(x+1) = ；（2）(a+1)(a-1) = ；
（3） (x+1)2 = .
反过来，根据等式的性质填空：
x2 + x
a2-1
x2+2x+1
比一比，这些式子有什么共同点？
都是多项式化为几
个整式的积的形式
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
pa+pb+pc=p(a+b+c)
整式的乘法
因式分解
整式的乘法和因式分解是互为相反的变形，即:
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个整式的乘积
注意
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
因式分解：
对象：一个多项式
结果：几个整式的乘积
程度：每个因式都不能再分解
注意
pa+pb+pc
相同因式p
【探究】观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
知识点 2
用提公因式法分解因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
pa+pb+pc=p a+b+c
公因式p与 a+b+c 的乘积
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公因式x与 x+1 的乘积
x2＋x =x x+1
例1 分解因式：(1)mx2 +my2; (2)3x2- 4xy2 + x.
m
解：(1) 公因式为m，
mx2 +my2 = m(x2 +y2 )；
x
解：(2) 公因式为x，
3x2 - 4xy2 + x = x(3x -4y2 +1)；
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
【思考】如何确定多项式的公因式？
系数的最大公因数
相同字母
字母的
最小指数
∴公因式是.
找出多项式的公因式的正确步骤：
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
②定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
(4)9 m 2n–6mn
(5) –6 x 2 y–8 xy 2
(1) 3x+6y
(2)ab–2ac
(3) a 2 – a 3
找出下列各多项式的公因式：
3
a
a2
3mn
–2xy
计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝2016.
＝13×20
＝260；
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
知识点 3
用提公因式法简便运算
提公因式法
3.将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法.
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
2.公共的因式叫作这个多项式各项的公因式.
1. 分解因式的结果是（ ）
A. B.
C. D.
A
2. 把进行因式分解，提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
D
3. 计算（ ）
A. B. C. D.
D
4. 肯定能被（ ）整除.
A. 79 B.80 C.82 D.83
B
5.把下列各式因式分解：
（1） （2）；
（3）； （4）；
解：（1）
（2）；
（3）；
（4）；
6.简便计算：
; .
解：

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