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17.1 用提公因式法分解因式
课时2 用提公因式法分解稍复杂的因式
第十七章 因式分解
1.能用整体法准确地找出各项因式中的多项式公因式，并进行因式分解；
2.掌握因式首项为负时的符号解决方法，检验分解结果是否彻底.
1.提公因式的方法是什么？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.如何确定公因式？
公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
最大公约数
相同的字母
最低次幂
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2(2a2+3bc).
思考：如果提出公因式 4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？
(8a3b2 + 12ab3c)÷(4ab)
= 2a2b+ 3b2c
还能提出公因式 b
例2 把8a3b2+12ab3c分解因式.
思考 （1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
因式分解：
（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
分析：设，则原式变形为，
∴ ，
可将看做整体.
知识点 1
公因式为多项式的因式分解
解：
因式分解
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
因式分解：
例3 把下列多项式分解因式：
(1)2a(b+c)-3(b+c) (2)4(a-b)3+8(b-a)2.
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
解：(1)2a(b+c)-3(b+c)
= (b+c)(2a-3)
(2) 4(a-b)3+8(b-a)2
= 4(a-b)2·(a-b)+4(a-b)2·2
= 4(a-b)2(a-b+2)
在(1)中，b+c是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式
在(2)中，因为(b-a)2=(a-b)2，所以各项含有公因式4(a-b)2
例3 把下列多项式分解因式：
(1)2a(b+c)-3(b+c) (2)4(a-b)3+8(b-a)2.
1.将分解因式，应提出的公因式是（ ）
A. B.
C. D.
B
知识点 2
因式首项符号不同时的处理方法
请在下列各等号右边的括号前填入“”或“”，使等式成立.
(1) ； (2)
(3) (4) ；
；(6)-s2+t2= （s2-t2）.
【观察】以上各多项式有什么特点？
对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下：
（1）与互为相反数：
（2）与互为相反数：
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数)
例4 把下列各式因式分解：
解：(1)
；
(1)； (2)
(2)
；
【思考】如何检查因式分解是否正确？
①乘法验证：将原多项式与分解后的因式相乘，若结果相等，则分解正确.
②检查公因式：确保分解后的因式中没有漏提的公因式.
③检查幂次：确认分解后的因式中的幂次是否正确.
④彻底性检查：确保所有因式无法继续分解.
检查因式分解是否正确的方法
12x2y+18xy2.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
2.检查下列分解因式是否错误，如果错误请写出正确答案.
公因式没有提尽，还可以提出公因式2.
正解：原式=6xy(2x+3y).
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
解：原式 =x(3x–6y).
3x2 – 6xy+x.
正解：原式=3x·x–6y·x+1·x
=x(3x–6y+1)
提出负号时括号里的项没变号.
把 – x2+xy–xz分解因式.
解：原式= – x(x+y–z).
正解：原式= – (x2–xy+xz)
= – x(x–y+z)
知识点 3
利用因式分解求整式的值
已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
提公因式法
公因式为多项式的因式分解
提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形
检验方法
①乘法验证②检查公因式
③检查幂次④彻底性检查
底数相反时，提取“-”号要变号.
1. 下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
A
2. 把多项式分解因式结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
3.观察下列各组中的两个多项式，其中有公因式的是 .
①；②；
③；④；
⑤.
②
③
④
⑤
4.分解因式
解：

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