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18.4 整数指数幂
课时1 整数指数幂的运算性质
第十八章 分式
1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.
2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.
你还记得正整数指数幂的意义吗
(n是正整数)
回顾正整数指数幂的运算性质：
(1) am·an=am+n
（m，n是正整数）；
(2) (am)n=amn
（ m，n是正整数）；
(3) ( ab) n =a n b n
（n是正整数）；
(4) am÷an=am – n
（a≠0，m，n是正整数，m>n）；
(5)
(6) a0=1
（a≠0）.
随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广.例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围.同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？
【溯源】幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示：
1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa，…，写成a2，a3，a4 …，所以我将 ， ， ，…，写成a-1，a-2，a-3 ….”
【思考】你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？
合理，我们可以通过计算验证可得.
计算：a3÷a5
解法①：a3÷a5=
解法②：把正整数指数幂的运算性质am ÷an=am-n (a≠0，m，n都是正整数， m＞n )中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 的情形也能使用，则有：
a3÷a5 =a3－5 = a－2
由上面两式，如果规定a－2 ，就能使am÷an=am – n这条性质也适用于像 a3÷a5 这样的情形.
am÷an=am – n
（a≠0，m，n是正整数）.
①：a3÷a5= ②： a3÷a5 =a3－5 = a－2
负整数指数幂的意义
一般地，当 n 是正整数时，
这就是说，a-n (a≠0) 是 an 的倒数.
a–n =
(a≠0).
a-n (a≠0) 属于分式
为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
【思考】引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质
am·an=am + n (m，n是正整数)
这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
我们从特殊情形人手进行研究.例如：
总结：一般地，am an = am+n 这条性质对于m、n是任意整数的情形仍然适用.
即=
即=
即=
am·an=am + n (m，n可以是正整数、负整数、0).
【探究】类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质
（n是整数）；
(am)n=amn
（ m，n是整数）；
(ab)n= anbn
（n是整数）；
am÷an=am – n （a≠0，m，n是整数）；
整数指数幂的运算性质
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂.
解：(1)
(2)
(3)
(4)
例1 计算：
（1）a-2÷a5 （2） （3）(a-1b2)3 （4）
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
am ÷ an = am-n ，am a-n = am+(-n) = am-n ，
因此 am ÷ an = am a-n
即同底数幂的除法am ÷ an可以转化为同底数幂的乘法am a-n.
特别地， ，所以 ，
即商的乘方 可以转化为积的乘方 .
整数指数幂
规定：
一般地，当n是正整数时，a–n =
(a≠0).
这就是说，a – n是an的倒数.
(1) am·an=am+n
(2) (am)n=amn
(3) (ab) n =a n b n
(4) am÷an=am – n
（a≠0 ）
(5)
整数指数幂的运算性质(m，n是整数)
(6) a0=1
（a≠0）
1.下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
A
2.已知， 6n=3，则（ ）
A．-1 B． C．6 D．5
B
3．已知+=0，则的值是( )
A．-6 B． C．9 D．-8
B
4．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
D
5.计算：
解：原式

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