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18.5 分式方程
课时1 分式方程及其解法
第十八章 分式
1.了解分式方程的概念；掌握解分式方程的基本思路和解法；掌握分式方程验根的方法.
2.理解分式方程可能无解的原因.
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
这样的方程与以前学过的方程一样吗？
为要解决导入中的问题，我们得到了方程．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中都含有未知数．
这些方程与上面的方程有什么共同特征？
分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)
(1) 是方程(含有未知数的等式)；
(2) 含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
方程 ， 的分母中分别含未知数x和v.
分式方程和整式方程的区别与联系
分式方程 整式方程
区别
联系 分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
整式方程
整式方程
整式方程
分式方程
分式方程
分式方程
分析
问题 方法
如何把它转化为整式方程呢？
怎样去分母？
在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
把方程的两边乘各分母的最简公分母
去分母
(30+v)(30-v)
解分式方程最关键的问题.
如何解分式方程 ？
思考
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得
90(30-v)=60(30+v).
解得 v=6.
检验：将v=6代入原分式方程中，左边=右边，因此v=6是原分式方程的解.
如何解分式方程 ？
思考
下面我们再讨论一个分式方程
运用上述“去分母化为整式方程”的方法解方程，你发现了什么问题？
为去分母，在方程两边乘最简公分母（，得整式方程
解得
将代入原分式方程检验，这时发现分母和的值都为0，相应的分式无意义。
因此，x=5虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解. 实际上，这个分式方程无解.
思考
比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
x=6
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
x=5
x+5=10
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
例1 解方程
解：方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
拓展点：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根.
x=1是该分式方程的增根.
常数项“1”也要乘以最简公分母.
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x=a
检验
最简公分母为0
a不是分式方程的解
a是分式方程的解
最简公分母不为0
分式方程及其解法
定义
解分式方程的步骤
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
一去：去分母，将分式方程转化为整式方程；二解：解整式方程；
三检验：将结果代入最简公分母看是否为零.
注意
事项
（1）能分解因式（约分）的要先分解因式（约分）；（2）去分母时不要漏乘不含分母的项；（3）若分子是多项式，去分母时，要将分子加上括号；（4）不要忘记检验.
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
A.2x-4 B.3x
C.3 (2x-4) D.3x (2x-4)
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
D
3．(1)分式方程的解是 　 　；
(2)分式方程的解为 　 　．
x＝1
x＝3
检验：当时，2x(x +2)≠0.
4.解方程：
解：方程两边乘各分母的最简公分母x (x – 1)(x + 1)，得
5(x – 1) – (x + 1) =0.
解得
因此是原分式方程的解.
5.已知关于x的分式方程的解与方程的解相同，求a的值.
解：解分式方程，得x=2.
经检验，x=2是原方程的解.
因为关于x的分式方程的解与方程的解相同.
所以将x=2代入，可得. 解得a=-3.
经检验，a=-3是方程的解，所以a=-3.

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