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18.5 分式方程
课时2 分式方程的实际应用
第十八章 分式
1.会列分式方程解决实际问题.
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理.
你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？
行程问题
路程 = 速度×时间
工作量=工作效率×工作时间，
合作效率=各自单独完成任务的效率和.
工程问题
利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率，
销售额 = 销售量×单价.
销售问题
【探究】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
【探究】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
工作时间/月 工作效率 工作总量
甲队
乙队
分析：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为1.
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘6得
解得
检验，当时，.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的可知乙队的施工速度快.
【探究】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1”
本题的等量关系还可以怎么找？
同学们尝试列出等式.
【探究】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1”
工作时间/月 工作效率 工作总量
甲队单独
甲乙合作
1
工程问题中的基本关系：
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1
常从工作量和工作时间上考虑相等关系.
工作总量 = 工作效率×工作时间
合作效率 = 各自单独完成任务的效率和
总工作量 = 各部分工作量之和
例4 某次列车平均提速.用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少
这里的字母 v，s 表示已知数据.
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)
问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
时间/m 速度/(km/h) 路程/km
提速前
提速后
s
s + 50
x
v + x
分析：设提速前这次列车的平均速度为，
相等
例4 某次列车平均提速.用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少
解：设提速前这次列车的平均速度为，则提速前它行驶所用时间为 h；提速后列车的平均速度为()，提速后它行驶() 所用时间为 .
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘得
解得
检验：因为v，s都是正数，所以当.
所以，原分式方程的解为.
答：提速前列车的平均速度为.
行程问题中的注意事项：
注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
把两个“主人公”行程问题中的三个量用代数式表示出来；
行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量；
设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；
列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程；
解：解所列分式方程；
验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求；
答：写出答案.
列分式方程解决实际问题的一般步骤
1. 数学活动课上,甲、乙两名同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做的盒子数量是乙每小时做的盒子数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程为 (　　)
A. -=10 B. -=10
C. -= D. -=
C
2. 某学校篮球社团准备用720元去商店购买x个篮球.甲、乙两个商店销售同种品牌篮球,标价都为每个y元,但有不同的促销活动.甲商店:购买篮球,消费满688元,送两个篮球;乙商店:篮球打七折销售.小明通过计算发现,如果去甲商店购买,经费正好用完;如果去乙商店购买,还能剩余48元.有下列四个方程：
① ×0.7=；② =×0.7；③ =；④ =. 其中，正确的是(　　)
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
A
3. 某服装厂接到一份加工3000件服装的订单.应满足客服要求，需提前供货，该服装厂决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工.原计划每天加工多少件服装？
解：该服装厂原计划每天加工件服装，则实际每天加工1.5件服装，根据题意，得.解得.
经检验，是所列方程的根.
4.某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为3000米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务.
(1) 求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米.
根据题意，得+15=，解得x=40.
经检验x=40是分式方程的解，且符合题意. ∴ 1.25x=50.
∴ 原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米　
(2) 负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过18万元.原计划最多应安排多少名工人施工
解：设该公司原计划应安排y名工人施工.
3000÷40=75(天)
根据题意,得300×75y≤180000，解得y≤8.
∴ 该公司原计划最多应安排8名工人施工.

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