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2025-2026学年高三第一学期阶段调研
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为全集，，可得，
且集合，所以.
故选：A.
2．若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 对应的点在第一象限 B.
C. 的虚部为 D.
【解析】由两边乘以得，，所以对应点在第四象限，
的虚部为，，，
所以B选项正确，ACD选项错误.
故选：B
3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在方向上的投影向量为，由已知可得，因为，所以，又，所以，又，所以与的夹角为.故选：D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，
当时，，当时，①，
当时，②，
①+②=，所以，
所以，
故选：C.
5. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【详解】圆台的侧面积为.
故选：B．
6.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】，则故选：B.
7. 函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
对于A选项，，
所以，函数的振幅为，函数的振幅为，
所以，这两个函数的振幅不相等，
故与的图象不能通过平移重合，A错；
对于B选项，，
，
函数的振幅为，函数的振幅为，
所以，与的图象不能通过平移重合，B错；
对于C选项，因为，，
将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C对；
对于D选项，，
函数与的图象不能通过平移重合，D错.
故选：C.
8.已知正实数满足，
则的大小关系是（ ）A
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的为（ ）BCD
A.命题“，”的否定是“，”
B.幂函数对于，都有，则
C.“，且”是“，且”的必要不充分条件
D.已知函数在上单调递增，则的取值范围是
【详解】对于命题“，”的否定是“，，所以命题A错误；
对于命题，由幂函数的定义知，，解得或，
又对于，都有，所以为偶函数，
当时，，偶函数，符合题意；
当时，，为奇函数，不符合题意，故，所以命题B正确；
对于命题，“，且”是“，且”的必要不充分条件，所以命题C正确；
对于命题，因为时，由指数函数和对数函数单调性可知单调递增，
所以上单调递增，则需满足，
即，解得，
则的取值范围是，所以命题D正确，
故选：BCD
10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(0＜ω＜6，ω∈N*，φ∈(0，))，满足：x∈R，f(x)－f()≤0成立，且f(x)在(0，)上有且仅有2个零点，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)在区间(，)上单调递减
C．函数f(x)的一个对称中心为(－，0) D．函数f(x－)是奇函数
【答案】BCD
【详解】因为，恒成立，所以的最大值为，
所以，即，
当时，，又，
因为在上有且仅有个零点，所以，
所以，即，得，
所以，
因为，所以，
所以；
对于A：函数的最小正周期，故A错误；
对于B：当时，，又在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故B正确；
对于C：因为，
所以函数的一个对称中心为，故C正确；
对于D：因为，为奇函数，故D正确.
故选：BCD
11．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ）ABD
A．平面平面
B．当时，直线与平面所成角的余弦值为
C．当二面角的大小为时，点P在三棱锥的表面上运动，且，则P点运动轨迹长度为
D．当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5，分，共15分．
12. 若直线是曲线的切线，则_________.
【答案】
【详解】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
13.数据x1，x2，…，x5的平均数为，数据x6，x7，…，x20的平均数为， 其中正数满足，则样本数据x1，x2，…，x20的平均数的最小值为________．
答案：
【详解】
14. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；
【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为，
其中：五次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，
故，
：恰好两种不同球被取出；
情况一：一种球出现1次、另一种球出现4次，选取出现1次的球有3种方式，选取出现4次的球有2种方式；
其中选取出现一次球的位置有5种可能，此时事件的可能情况有种，
情况二：一种球出现2次、另一种球出现3次，选取出现2次的球有3种方式，选取出现3次的球有2种方式；
其中选取出现2次球的位置有种可能，此时事件的可能情况有种，
故，
：三种不同球被取出，
情况一：一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现3次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现1次的球有2种方式，第三种出现3次的球有1种方式，
其中选取出现3次球的位置有5种可能，两种各出现1次的球的位置有种可能，
此时事件的可能情况有种，
情况二：一种球出现1次、另一种球出现2次、第三种球出现2次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现2次的球有2种方式，第三种出现2次的球有1种方式，
其中选取出现一次球的位置有5种可能，两种各出现2次的球的位置有种可能，第三种出现2次的球的位置只有1种方式，
此时事件的可能情况有种，
故，
所以
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了2025年城市足球联赛，简称“苏超”。随着 赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升.下表是比赛五个月来的某城市旅游人数( 百 万 ) 与 第x个月的数据：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 120 380
女性 80 420
x(月份) 1 2 3 4 5
y(人数) 2 3 5 7 8
(1)已知可用线性回归模型拟合y与 x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
(2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如上图列联表：请依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关.
16.在中，分别为角A，B，C的对边，且满足．
（1）求角C ；
（2）若为锐角三角形，设D为的中点，若，且，求的面积．
【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，
因为，所以，所以，即，所以或，
即或，①若，则，
②若，则，因为，所以，即，
综上，或.
（2）在中由余弦定理得，即①
在中由余弦定理得②
由①②消去c，得，即．
因为，所以，
所以．
17.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，是的中点，是的中点．
(1)求证：//平面；
(2)若平面平面，求证：；
(3)在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，
求四棱锥P-ABCD的体积.
【详解】（1）取PB的中点E，连接EA，EN，
在△PBC中，EN//BC且，又，AD//BC，AD＝BC
所以EN//AM，，EN＝AM. 所以四边形ENMA是平行四边形，
所以MN//AE. 又平面，平面，
所以MN//平面PAB.
（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，
因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，平面，
所以AH⊥平面PMC，又平面
所以AH⊥CM.
因为PA⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥CM.
因为PA∩AH＝A，平面，平面
所以CM⊥平面PAD.又平面，所以CM⊥AD.
方法1：设，过O点作，以O点为坐标原点，OB、OC、OZ为坐标轴建系，设平面的法向量，
取；
同理设的法向量，
取；
设平面与平面的夹角为,
所以，
方法1：在（2）的证明可以证得ABCD是的菱形（），可证，且，在中，过，连接，可证得，所以或其补角为平面与平面的夹角，
设，中，可以利用等积法中，可以利用余弦定理
所以，
18.某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球 足球 排球三类相关知识题量占比分别为.甲校友回答篮球 足球 排球这三类问题中每个题的正确率分别为.
（1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
（3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
小问1详解】
设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球 足球 排球相关知识的题目”，则，且两两互斥.
根据题意得
，则，
所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为.
【小问2详解】
的可能取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
-3 1 5 9
所以.
【小问3详解】
当时，为甲校友答对题目的数量，
由题意可知，其中，
故当时，甲校友获奖励的概率，
当时，甲校友获奖励的情况可以分为如下情况：
①前8题答对题目的数量大于等于5，
②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，
③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，
故当时，甲校友获奖励的概率，所以
，
因为，所以，即，
所以甲校友应选.
19. (17分)已知函数,其中e=2.718… 是自然对数的底.
(1)研究f(x)的极值；
(2)若对任意α∈[0,1],总存在β∈[0,1],使得f(α)+f(β)=1成立，求a 的值；
(3)已知,此时f(x)有两个不同的零点和一个极值点, 记，，.判断△ABC 是否可能为等腰三角形 请说明理由.
=
=2025-2026学年高三第一学期阶段调研
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 对应的点在第一象限 B. C. 的虚部为 D.
3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
8.已知正实数满足，
则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的为（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.幂函数对于，都有，则
C.“，且”是“，且”的必要不充分条件
D.已知函数在上单调递增，则的取值范围是
10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(0＜ω＜6，ω∈N*，φ∈(0，))，满足：x∈R，f(x)－f()≤0成立，且f(x)在(0，)上有且仅有2个零点，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)在区间(，)上单调递减
C．函数f(x)的一个对称中心为(－，0) D．函数f(x－)是奇函数
11．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面平面
B．当时，直线与平面所成角的余弦值为
C．当二面角的大小为时，点P在三棱锥的表面上运动，且，则P点运动轨迹长度为
D．当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5，分，共15分．
12. 若直线是曲线的切线，则_________.
13.数据x1，x2，…，x5的平均数为，数据x6，x7，…，x20的平均数为， 其中正数满足，则样本数据x1，x2，…，x20的平均数的最小值为________．
14. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 _________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了2025年城市足球联赛，简称“苏超”。随着 赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升.下表是比赛五个月来的某城市旅游人数( 百 万 ) 与 第x个月的数据：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 120 380
女性 80 420
x(月份) 1 2 3 4 5
y(人数) 2 3 5 7 8
(1)已知可用线性回归模型拟合y与 x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
(2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如上图列联表：请依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关.
16.在中，分别为角A，B，C的对边，且满足．
（1）求角C ；
（2）若为锐角三角形，设D为的中点，若，且，求的面积．
17.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，是的中点，是的中点．
(1)求证：//平面；
(2)若平面平面，求证：；
(3)在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.
18.某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球 足球 排球三类相关知识题量占比分别为.甲校友回答篮球 足球 排球这三类问题中每个题的正确率分别为.
（1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
（3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
19. 已知函数,其中e=2.718… 是自然对数的底.
(1)研究f(x)的极值；
(2)若对任意α∈[0,1],总存在β∈[0,1],使得f(α)+f(β)=1成立，求a 的值；
(3)已知,此时f(x)有两个不同的零点和一个极值点, 记，，.判断△ABC 是否可能为等腰三角形 请说明理由.

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