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初二年级第一学期数学期中模拟试卷
班级 姓名 学号 .
一、选择题：本题共 10 小题，共 30 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列运算正确的是( )
A. 6 ÷ 2 = 3 B. ( 2 3)3 = 6 6 C. 3 + 3 = 6 D. 2 3 = 5
2.汉字是中华文明的标志，从公元前 16 世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生
了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征.下面的小篆体
字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.计算 3 2 4 43 的结果是( )
A. 5 63
2 B. 4 8 C. 4 6 2 D. 6 2
4.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. ( 3) = 2 3 B. 2 5 + 6 = ( 5) + 6
C. 2 + 3 + 2 = ( + 1)( + 2) D. 2 + = 2(1 + 1 )
5.如图，在△ 中，线段 表示△ ABC 的边 上的高的图是( )
A. B. C. D.
6.已知等腰三角形有一个角是 20°，则其顶角的度数为( )
A. 20° B. 140° C. 36° D. 20°或 140°
7.如图，△ 是等边三角形， 是 边上一点， ⊥ 于点 .若 = 3，则 的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第 7题图 第 8题图 第 10题图
8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知线段 是等腰三角形△ 的一边，△ 的三
个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为( )
A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个
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9.如图，小华同学用四个边长为 的正方形，两个长和宽分别为 2 和 的长方形拼成图 1 和图 2.则下列四个
关系式中，能利用图 1 和图 2 验证的是( )
①a = 2b；
②4 ( + ) = (2 + )2 2；
③(2 )2 = 4 2 4 + 2；
④(2 + )2 > 4 ( + )．
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
10.如图，在△ 中， = = 8，∠ = 4∠ ， 平分∠ 交 于点 ，点 ， 分别是线段 ，
上的动点，则 + 的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本题共 6 小题，共 18 分.
11.因式分解： ① 3 4 2 =
②2 3 + 12 2 + 18 = ．
12.已知等腰三角形的周长为 20，其中一边的长为 6，则底边的长为 ．
13.如图所示的网格为正方形网格，则∠2 ∠1 = °.
第 13题图 第 14题图 第 16题图
14.如图，直线 // ，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，点 在直线 上，且 = .若∠1 = 32 ，则∠2
的大小为 ．
15.已知 + = 5， 2 + 2 = 13，则( )2 = ．
16.如图，△ 中，∠ = 45°， 平分∠ ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，且与 交于点 ， ⊥
于点 ，且与 交于点 .则下面的结论：① = ；② = ；③ = 2 ；④ = + .其中
正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 10 小题，共 52 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（每题 3分，共 6分）
计算：①( 2 2) (4 12 + 1)． ②(
2 )3 + (2 7 4 + ) ÷ ．
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18.(本小题 5 分)
如图，点 ， 分别在四边形 的边 ， 的的延长线上，连接 ，分别交 ， 于点 ， ， // , =
, = ．
(1)求证：△ ≌△ ；
(2)判断线段 与 的位置关系，并证明．
19.(本小题 4 分)
已知：2 2 + 3 6 = 0，求代数式 3 (2 + 1) (2 + 1)(2 1)的值．
20.(本小题 4 分)
已知：在平面直角坐标系 中，△ 的三个顶点的坐标分别是 (2,3)， (1,0)， (1,2)．
(1)在坐标系中，描出△ ；
(2)在图中作出△ 关于 轴对称的△ 1 1 1；
(3)如果要使以 、 、 为顶点的三角形与△ 全等，直接写出所有符合条件的点 坐标．
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21.(本小题 5 分)
小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在△ 中，∠ = 90°．
求作：线段 ，使得线段 将△ 分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边 的垂直平分线 ，与斜边 相交于点 ；②连接 .则线段 为所求．
(1)请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线 是线段 的垂直平分线，点 在直线 上，
∴ = . (____①__)(填推理的依据)
∴ ∠ = ∠ ____②__．
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90° ∠ ．
∠ = 90° ∠ ___③___．
∴ ∠ = ∠ ．
∴ = . (____④__)(填推理的依据)
∴△ 和△ 都是等腰三角形．
22.(本小题 5 分)
如图，在四边形 中， // ， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，点 在边 上，
且∠ = ∠ ．
(1)求证：△ 是等腰三角形；
(2)连接 ，若 = 2，∠ = 60°，求 的长．
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23. (本小题 4 分)
数学与生活如图①，在某住房小区的建设中，为了业主的宜居环境，小区准备在一个长为(4 + 3 ) ，宽
为(2 + 3 ) 的长方形草坪上修建一横一竖、宽度均为 的通道．
(1)通道的面积为多少平方米
(2)若修建一横两竖、宽度均为 的通道(如图②)，求剩余草坪的面积．
24.(本小题 6 分)
我们规定：若实数 与 的平方差等于 80，则称实数对( , )在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”；若
实数 与 的平方差等于 0，则称实数对( , )在平面直角坐标系中对应的点为“十字点”．
(1)若 ( , )为“双曲点”，则 ， 应满足的等量关系为______；
(2)在点 (8,4)， ( 12,8)， (21,19)， (40,4)中，是“双曲点”的有______；
(3)若点 (9, )是“双曲点”，求 的值；
(4)若点 ( , )为“十字点”，点 ( + 5 , 5 )是“双曲点”，求 ， 的值．
25.(本小题 7 分)
△ 为等边三角形，射线 经过点 ，∠ = 0 < < 90 ，作点 头于射线 的对称点 ，连接 、
交直线 于点 ．
(1)如图，当 0 < < 60 时
①依题意补全图形，并直接写出此时∠ADC =______(用含α的式子表示)；
②用等式表示线段 EA、ED、EC 的数量关系，并证明；
（2）若△ 为等腰三角形，直接写出 的度数．
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26.(本小题 6 分)
在平面直角坐标系 中，已知点 , ，将经过点 , 0 垂直于 轴的直线记为直线 = ，将经过点 0,
且垂直于 轴的直线记为直线 = .对于点 给出如下定义：将点 关于直线 = 对称得到点 1，则称点 1
为点 关于直线 = 的“一次对应点”，再将点 1关于直线 = 对称得到点 ，称点 为点 关于 的“二
次对应点”．
已知 顶点坐标为 2,0 , 4,0 , 3, 3 ．
(1)如图 1，若点 1,1 ．
①将点 2,0 关于直线 = 1 对称得到点 0,0 ，再将点 0,0 关于直线 = 1 对称得到点 0,2 ，则点 2,0 关
于点 “二次对应点”为 0,2 .请直接写出点 4,0 关于直线 = 1 的“一次对应点”：_________；点 3,
3 关于点 的“二次对应点”：___________；
②若点 1 1, 和点 2 1, + 1 关于 的“二次对应点”分别为点 1和点 2，且线段 1 2与 的边
没有公共点，求 的取值范围；
(2)若点 关于点 的“二次对应点”为点 3，且以 、 、 3为顶点的三角形恰与 全等，请直接写出
所有满足条件的点 的坐标：___________．
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