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18.1.2 分式的基本性质
课时2 分式的约分和通分
第十八章 分式
1.了解分式的约分、通分的意义，理解最简分式、最简公分母的概念.
2.通过类比、观察的方法来探索分式的约分、通分过程，理解分式约分、通分的依据，掌握分式的约分、通分的方法和步骤.
问题一 什么叫做分数的约分与通分？
1.约分
约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
问题二 如果把分数换为分式，又会如何呢？
2.通分
先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.
=14
?
给下列的分数约分.
312
?
924
?
=38
?
最大公因数
最大公因数
????3????????=（??????）???? 3????2+3????????6????2=????+????（??????）
?
类比分数约分，尝试对分式约分：
知识点 1
约分
我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着重要的作用.类似地，分式的约分和通分在分式的运算中也有重要的作用．下面讨论分式的约分和通分.
【思考】联想分数的约分，由上面的变形你能想出如何对分式进行约分吗？
　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式如上例????+????2????，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　
?
分式的分子、分母约去公因式，值不变.
????3????????=（??????）???? 3????2+3????????6????2=????+????（??????）
?
例4 约分：
（1）?25????2????????315????????2????； （2）????2?9????2+6????+9； （3）6????2?12????????+6????23?????3????.
?
找公因式方法:（1）找系数的最大公因数；
（2）找分子、分母相同字母的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
解：（1）
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式.
例4 约分：
（1）?25????2????????315????????2????； （2）????2?9????2+6????+9； （3）6????2?12????????+6????23?????3????.
?
①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式；
②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.
③约分结果为最简分式或整式.
约分的方法：
（1）????33????；????? （2）????+????2????；???? （3）????????2+7????；（4）????+????????2+????2；（5）????+????????2?????2．
?
下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号).
(2)
(4)
知识点 2
通分
填空：
（1）13????????=（?????????）6????2????????；
（2）2?????????2????2????=（?????????????????????????????）6????2????????（????≠0）.
?
分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac.
分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
1. 通分的依据是什么？
2. 通分的关键是什么？
3. 如何确定n个分式的公分母？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
确定各分式的最简公分母.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.
例5 通分：
（1）32????2????与?????????3????????2????； （2）2????????2?25与3????2????+10
?
分析：通分，要先确定最简公分母．
对于（1)，因为分母系数的最小公倍数是6，字母?????，b，c的最高次幂分别是??????，b?，c，所以最简公分母是6a?b?c；
对于（2），分母是多项式，要先分解因式，再通分.
?
解：（1）最简公分母是6a2b2c.
32????2????=3·3????????2????2????·3????????=9????????6????2????2????
?????????3????????2????=(?????????)·2????3????????2????·2????=2????2?2????????6????2????2????
?
（2）最简公分母是2(????-5)(????+5).
2????????2?25=2????·2(????2?25)·2=4????2????2?50
3????2????+10=3????(?????5)2(????+5)(?????5)=3????2?15????2????2?50
?
例5 通分：
（1）32????2????与?????????3????????2????； （2）2????????2?25与3????2????+10
?
1. 通分的步骤
①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式.
(1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.
(2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.
2.确定最简公分母的方法
约分和通分的联系与区别
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}
约分
通分
区别
分式的个数
目的
联系
依据
分式的值
将分式化为最简分式或整式
使几个异分母的分式化为同分母的分式
分式的基本性质
不变
1个
2个及2个以上
分式的约分与通分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.
分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式.
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫分式的通分.　
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫最简公分母.
约分
通分
1.化简????2–6????+92?????6的结果是( )
A. ????+32 B. ????2+92
C.????2–92 D. ????–32
?
D
2.下列说法中，错误的是( )
A. 13????与????6????2通分后为2????6????2,????6????2
B. 13????2????3与13????2????2????通分后为????3????2????3????,????3????2????3????
C.1????+????与1????–????的最简公分母为m2-n2
D.1????(?????????)与1????(?????????)的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
?
D
3. 已知1?????1????=12,则?????????????????的值是( )
A.12 B. ?12 C.2 D. –2
?
D
4.化简：????2?9?????3= ．
?
x+3
5.化简：????2?2????????+????2?1??????????1=__________.
?
x-y+1
6.已知1?????1????=3，则代数式2????+3?????????2?????????????????????? 的值是(　　)
A． ??72 B． ??112? C．92? D. ?34
?
解析：∵ 1?????1?????=3，∴ ??????????????????=3，∴x﹣y=﹣3xy，
则原式= 2?????????+3???????????????????????????= ?6????????+3?????????3??????????????????= ?3?????????4???????? = 34 .
?
D

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