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18.1.2 分式的基本性质
课时2 分式的约分和通分
第十八章 分式
通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念.
能够准确确定分式的公因式和最简公分母，再运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.
学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.
请同学们计算下列式子：并说出你在运算中运用了什么方法？
（1）；
（2）.
约分
通分
分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用.类似地，在分式的运算中，分式如何进行约分和通分？
思考：联想分数的约分，由例3(1)(2)，你能想出如何对分式进行约分吗？
约去分子分母的公因式.
知识点一：约分及最简分式
÷x2
÷x2
÷3x
÷3x
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.　
经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.
例如：.
分式的约分
例4 约分：
分析：约分要先找出分子和分母的公因式：_______
①找系数：最大公约数：___
②找相同的最低次幂因式：___
abc
5abc
5
分析：分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分.
原式
原式
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式.
讨论1：结合上面的例题，你认为约分有哪些基本步骤？
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.
讨论2：由例题中约分后的结果，你认为约分要达到怎样的程度？
1. 下列分式是最简分式的个数为( ).
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
知识点二：分式的最简公分母与通分
问题1：你能确定分数的公分母吗？
公分母为 23×3 ×5 .
问题2：若把问题1 中分数分母中的 3，5 用 x，y 来代替，即，则分式的公分母如何确定呢？
公分母为 23x y .
思考：联想分数的通分，由例3(3)(4)，你能想出如何对分式进行通分吗？
将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把两个分式化成分母相同的分式.
×a
×a
×b
×b
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.　
分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.
分式的通分
2
z
最简公分母
思考：如何确定最简公分母呢？
x3
y2
例5 通分：
解：(1)最简公分母是 6a2b2c.
(x + 5)·(x - 5)
2·(x + 5)
解：(2) 最简公分母是 2(x－5)(x＋5).
2. (1) 分式的最简公分母是 ；
(2)的最简公分母是 ；
(3) 分式的最简公分母是 .
a2b2
x2－y2
abc
想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中：
约分 通分
分数
分式
依据 找分子与分母的最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的最小公倍数
找所有分母的最简公分母
分数/分式的基本性质
最简分式
最简公分母
约分
分式的约分和通分
通分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
1. 下列分式， ，， 中，最简分式有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列分式与分式相等的是( )
B
A. B. C. D.
3. 分式，， 的最简公分母是( )
D
A. B.
C. D.
(1) ；
解：(3)原式＝ .
(2) ；
解：原式＝ .
(3) .
解：原式＝ .
解：(1)原式＝ .
(2)原式＝ .
(3)原式＝ .
4. 分式的约分.
5. 分式的通分
(1) ， ；
解：(1)最简公分母是10a2b2c， ＝ ，
＝ .
(2) ， .
(2)最简公分母是2(x＋3)(x－3)， ＝ ，
＝ .
6. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请推测*部分的式子.
解：∵ ，
∴ 部分的式子应该是 .

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