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18.3 分式的加法与减法
课时2 分式的混合运算
第十八章 分式
类比数的混合运算顺序明确分式的混合运算顺序；
能正确、合理、灵活地进行分式的混合运算，提高运算能力.
同学们，目前我们已经学完了分式的加、减、乘、除、乘方法则，我们先来复习一下：
乘法：
除法：
乘方：
加减法：
????????±????????=????±????????，????????±????????=????????????????±????????????????=????????±????????????????.
?
????????????=????????????????.
?
????????÷????????=?????????????????=??????????????????.
?
?????????????????=??????????????????.
?
问题 分数的混合运算的顺序是什么？
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2.同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；
3.如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的.
你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
例3 计算：(1) (2????????)2·1??????????????????÷????4；
?
分式与分数有类似的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减. 除法可以转化为乘法来计算.
思考 这道题里面有哪几种运算？运算顺序是怎样的？对于除法运算应该怎么处理呢？
例3 计算：(1) (2????????)2·1??????????????????÷????4；
?
解:(1) (2????????)2·1??????????????????÷????4=4????2????2·1??????????????????·4????
=4????2????2(?????????)?4????????2=4????2????2(?????????)?4?????????????????2?????????
=4????2?4????2+4????????????2(?????????)
=4????????????2(?????????)=4?????????????????2.
?
先乘方，化乘为除
再乘除
后加减，异分母 通分化为同分母
例3 计算：(2) (????+2????2?2??????????1????2?4????+4 )÷?????4???? .
?
解：(2) (????+2????2?2??????????1????2?4????+4)÷?????4????= [????+2????(?????2)??????1(?????2)2]·?????????4
= (????+2)(?????2)?(?????1)????????(?????2)2·?????????4
= ????2?4?????2+????(?????2)2(?????4)
= 1(?????2)2.
?
注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体.
通过对上面例题的解答，同学们有何收获？
对于不带括号的分式混合运算：
(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；
(2)计算结果要化为最简分式．
对于带括号的分式混合运算：
(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；
(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的；
(3)计算结果要化为最简分式或整式．
计算：(1)????+2+52??????2?????43?????； (2) (3?????????2?????????+2)?????2?4????.
?
解：原式=????+22?????2?????+52??????2?????23?????
=9?????22??????2?????23?????
=3+????3?????2??????2?????23?????
=-2·(3+m)
=-6-2m.
?
原式=3????(????+2)????2?4?????(?????2)????2?4?????2?4????
=3????2+6?????????2+2????????2?4 · ????2?4????
= 2????2+8????????2?4?????2?4????
=2????2+8????????
=2x+8.
?
例4 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是a km/h，在后半段路程的平均行走速度是b km/h；李明全程的平均行走速度是????+????2 km/h，如果a≠b，两人谁先到达乙地？
?
张华和李明各自行走的路程.
问题1 要解决谁先到达乙地的问题，需要比较的量是什么？
张华和李明各自从甲地到乙地的时间.
问题2 本题已知两人行走的速度，还需知道的量是什么？
例4 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是a km/h，在后半段路程的平均行走速度是b km/h；李明全程的平均行走速度是????+????2 km/h，如果a≠b，两人谁先到达乙地？
?
问题4 如何比较张华和李明从甲地到乙地的时间的大小？
张华从甲地到乙地的时间(单位:h)为????2????+????2????=(????+????)????2????????.
?
问题3 若设从甲地到乙地的路程为s km,则张华和李明从甲地到乙地的时间(单位：h)分别为多少？
李明从甲地到乙地的时间(单位:h)为????????+????2=2????????+????.
?
张华从甲地到乙地的时间(单位:h)为????2????+????2????=(????+????)????2????????.
?
李明从甲地到乙地的时间(单位:h)为????????+????2=2????????+????.
?
解：设从甲地到乙地的路程为s km，
两人的时间差为(????+????)????2?????????2????????+????=(????+????)2?????4????????????2????????(????+????)=(????2?2????????+????2)????2????????(????+????)=(?????????)2????2????????(????+????)，
因为s，a，b均大于0，且a≠b，
所以(?????????)2????2????????(????+????)>0
即 (????+????)????2????????>2????????+????，
因此，李明先到达乙地.
?
小晨和小阳同时从学校出发，沿同一路线跑步前往公园.小晨在前一半时间的跑步速度是2x km/h，后一半时间的跑步速度是y km/h；小阳全程的平均跑步速度是2????+????2 km/h，如果2x≠y，若学校到公园的距离为s千米，请问小晨和小阳谁先到达公园？
?
解：小晨从学校到公园所用的时间(单位：h)为 ????????+????2=2????2????+????.
小阳从学校到公园所用的时间(单位：h)为 ????2????+????2=2????2????+????.
两人的时间差为 2????2????+?????2????2????+????=0.
所以，小晨和小阳同时到达公园.
?
运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号，则先算括号里面的；
同级运算，按从左到右的顺序进行计算.
运算律
交换律、结合律、分配律
分式的应用
用作差法比较大小
分式的
混合运算
1. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示）， 表示破损的部分，则破损部分的式子可能是( )
A
A. ?????3?????1 B. ????+3?????1
C. ????2?????+1????2????? D. ????2+5????+1????2?????
?
2.计算：
?1????2????2?????2?????????????2÷2????2????； 2?????+1?????2????????+12?1?????1?1????+1
?
?解：1????2????2?????2?????????????2÷2????2????
=????24????2?????2?????????????2?????2????2
=????8?????????22????4=????????3?4????28????4.
?
2?????+1?????2????????+12?1?????1?1????+1
= ????+1?????4????2????+12?1?????1+1????+1
=4????????+1?1?????1+1????+1=4????+1????+1?1?????1
=4????+1?????1?????+1????+1?????1
=4????2?4?????2????2?1.
?
3.先化简，再求值：????2+3????????2+4????+4÷????+3????+2?2????+2 , 其中m=2.
?
解：????2+3????????2+4????+4÷????+3????+2?2????+2=????????+3????+22?????+2????+3?2????+2
=????????+2?2????+2
=?????2????+2.
当m=2时，原式=2?22+2=0. 　　
?
4.前年、去年、今年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
解：????3?????2????2?????2?????1????1=????1????3?????2????1????2?????2????2?????1????1????2
=????1????3?????1????2?????22+????1????2????1????2
=????1????3?????22????1????2
所以今年与去年相比，森林面积增长率提高了????1????3?????22????1????2.

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