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18.5 分式方程
课时1 分式方程及其解法
第十八章 分式
了解分式方程的概念；掌握解分式方程的基本思路和解法；掌握分式方程验根的方法.（重点）
理解分式方程可能无解的原因.（难点）
引言：为了探寻古迹，小明早上坐轮船从白帝城到江陵，晚上再坐轮船返回到白帝城. 已知轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km，与最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？
设江水的流速为 v 千米/时，根据题意可列方程为
.
知识点1：分式方程的概念
问题1：为了解决引言中的问题，我们得到了方程
分母中含有未知数．
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
①
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
动手写几个分式方程吧！
追问1：方程 与上面的方程有什么共同特征？
分式方程与整式方程的区别是什么？
未知数不在分母中
1. 下列式子中，属于分式方程的是________；属于整式方程的是_______.
想一想
练一练
②③
①
知识点2：分式方程的解法
类比解整式方程
如何转化？
动手解一解！
去分母
探究1：如何解分式方程
方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v).
解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得
90(30 - v) = 60(30 + v)，
解得 v = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
检验：将 v = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 v = 6 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：
整式方程
去分母
分式方程
(方程两边同乘最简公分母)
探究2：下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程
x + 5 = 10.
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
检验：
x = 5
代入
分式无意义
x - 5 = 0
x2 - 25 = 0
分母
分式方程无解
x = 5 是整式方程的解
不是分式方程的解
上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
想一想
x + 5 = 10
两边同乘(x + 5)(x - 5)
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
区别
？
①
②
分析
整式方程的解是否使最简公分母为0
用图框的方式总结为：
当 x = a 时
最简公分母是
否为零
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
否
x = a 不是
分式方程的解
是
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验.
例1 解方程：
解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得
2x = 3x - 9.
解得
x = 9.
检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
①将分式方程转化为整式方程
②求整式方程的解
③把解代入到最简公分母中，看是否为零
例2 解方程：
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得
4(x + 1) = 2x + 6.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
1.解方程： .
2.如果关于 x 的方程 的解是无解，则 a 的值为_______.
解：将方程两边同乘 (x－2) 得
ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2.
因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2，
所以 a＝1 或 2.
1 或 2
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程
x = a
解整式方程
x = a 是分式
方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
x = a 不是分式方程的解
检验
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( )
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　)
A. B.
C. D.
D
解：去分母，得
解得
所以原方程的解为
3. 解方程：
检验：把 代入最简公分母，得
4. 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
∵ 关于 x 的方程 的解是正数，
∴ x＞0 且 x≠1.
∴ -a -1＞0 且 -a -1≠1，解得 a＜-1 且 a≠-2.
∴ a 的取值范围是 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2

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