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第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第1节　集　合
知识点梳理：
1.集合与元素
元素的特性 确定性、互异性、无序性
元素与集 合的关系 若a属于集合A,记作 a∈A ; 若b不属于集合A,记作 b A
集合的表示法 列举法、描述法、图示法
2.常见的数集
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N+) Z Q R
3.集合间的基本关系
文字语言 记法
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B 或 B A
真子集 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A A B 或 B A
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,集合B的任何一个元素也都是集合A的元素 A B且B A A=B
空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集
4.集合的基本运算
语言表示 图形表示 符号语言
并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
补集 若全集为U,则集合A的补集为 UA UA={x|x∈U,且x A}
5.集合的运算性质
交集 A∩B= B∩A ,A∩A=A,A∩ = ,A B A∩B= A
并集 A∪B= B∪A ,A∪B A,A∪B B,A∪A= A ,A∪ = A ,A B A∪B= B
补集 U( UA)= A , U = U , UU= ,A∩( UA)= ,A∪( UA)= U
常用结论：
(1)子集的传递性:A B，B C A C.
(2)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
(3)等价关系:A B A∩B=A A∪B=B UA UB.
(4) 德·摩根定律： U(A∩B)=( UA)∪( UB)， U(A∪B)=( UA)∩( UB).
考点突破：
题型一 集合的含义及表示
例1．（2025·全国·模拟预测）已知集合满足，且当时，，则中元素的个数至多为 .
【变式1】．（2025·陕西·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】．（2025·四川广安·模拟预测）设集合，，则等于（ ）
A． B．或
C． D．
题型二 集合的基本关系
例2．（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．当时，集合含有2个元素
B．集合中的元素个数可能为5
C．当时，
D．当时，
【变式3】．（2025·河南·模拟预测）已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式4】．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（ ）．
A． B． C． D．
题型三 集合的运算
方向1 集合的运算
例3．（2025·广西来宾·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】．（2021·重庆·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6】．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
方向二 根据集合的运算求参数
例4．（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．5 D．1
【变式7】．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围．
【变式8】．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段练习）设，
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
题型四 集合新定义问题
例5．（25-26高一上·上海·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为 个.
①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集；
②集合是“和谐集”；
③若都是“和谐集”，则；
④对任意两个不同的“和谐集”，总有.
【变式9】．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知有限实数集，定义集合.
(1)若集合，求集合；
(2)是否存在有限实数集，使得，说明理由；
(3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值.
【变式10】．（25-26高一上·江西九江·阶段练习）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则为闭集合
课后作业：
一、单选题
1．（2025·湖南·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2015·宁夏固原·一模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
6.已知全集U＝R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　)
A.A＝B B.B A
C.( UA)∩B＝ D.A∩( UB)＝
7．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．（2025·江西南昌·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·重庆·三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
11．（19-20高二下·山东临沂·期中）给定数集M，若对于任意，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则为闭集合
三、填空题
12．（2011·上海·高考真题）若全集，集合，则 ．
13．（2020·江苏·模拟预测）已知集合，，则集合 = ．
14．（2019·湖南·三模）已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合中元素个数的最大值为 .
四、解答题
15．（2019·河北·模拟预测）若集合，且，求m的取值范围.
16．（2014·辽宁沈阳·一模）已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围.
17．（15-16高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2（1）求A∩B，( RB)∪A；
（2）已知C＝{x|a18．（2020·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式；
(2)已知，若对任意R，都存在R，使得成立，求实数a的取值范围.
19．（23-24高一上·重庆荣昌·阶段练习）设集合，.
(1)若为空集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.

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