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(共24张PPT)
15 综合与实践 最短路径问题
----牧民饮马问题
复习旧知：
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
两个最短
两点之间，线段最短（点点之间）
点到直线的距离垂线段最短（点线之间）
情境引入：
牧民从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．牧民到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
牧民饮马问题
探究新知：
如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.
A
B
l
原理：两点之间，线段最短
P
解决问题之一：化抽象为数学问题
A
B
l
在l上求一点P，使得PA+PB最小．
解决问题之二：化未知为已知
A
B
l
说说下面两图的区别.
A
B
l
待解决
已解决
能转化吗？
怎么转化？
P
解决问题之二：化异侧为同侧
A
B
l
思考：怎样把点B移到直线 l 的另一侧呢？可利用什么知识？
A
B
l
待解决
已解决
B'
P
作轴对称
作法 ：
①作点B关于直线l的对称点B'
②连接AB'，与直线l相交与点P,点P即为所求.
P
解决问题之三：证明“最短”
思考：你能用所学的知识证明AP+BP最短吗？
A
B
l
B'
P
C
总结归纳：
在解决牧民饮马问题时，步骤如下：
实际问题
化抽象为数学问题
通过轴对称把同侧点转为异侧点
利用 “两点之间，线段最短” 确定所求位置
课堂练习：
1.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
Q
P
B
C
P'
E
2.如图，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．
（1）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？
B
A
E
F
3.A,B两地相距5km，A,B两地到河l的距离分别为3km,6km,欲在l上某点M处修建一个水泵站向A,B两地供水，现有以下四种铺设方案，红色实线表示铺设的管道，则所用管道最短的是（ ）
A
B
C
D
拓展提高:
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）.
造桥选址问题
l
B
A
A
B
N
M
抽象成
M
N
作图问题：在直线l上求作一点M，使AM+MN+NB最短问题
化数学问题为数学模型：
那么怎样确定AM+MN+BN在什么情况下最短呢？
l
A'
N
M
A
B
①平移A到A'，使AA'等于河宽，并且AA'⊥河岸.
②连接A'B交河岸于N
③作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
证明:
另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A'N１.
AM＝A'N，AA'＝MN＝M１N１，AM１＝A'N１
在△A'N１B中，∵A'N1+BN1＞A'B
∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN
为什么桥的位置建在M、N处，AM+MN+BN在这个位置时最短？
l
M1
N1
A'
N
M
A
B
由平移性质可知：
AM+MN+BN=
A'N+AA'+BN
=AA'+A'B
AM1+M1N1+BN1=
AN1+AA1+BN1
∴桥的位置建在MN 处，AM+MN+BN最短.
河
河
A
B
A
B
例1：A和B两地在二条河的两岸，现要在河上造二座桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
M
N
P
Q
抽象成
M
N
P
Q
河
河
M
N
P
Q
B
桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短
A1
A
A2
作法一
还可以怎么作呢？
作A点的两次平移
河
河
M
N
P
Q
B
A1
A
B1
作法二
作A点、B点各一次平移
例2：有三条河，修三座桥，桥修到哪个位置呢？
河
河
河
A1
A2
A3
M
N
P
Q
R
S
A
B
有什么规律呢？
规律有几条河，就平移几次
下 课
Thanks!
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