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（时间120分钟，满分120分）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母填入括号内。
用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为（ ）
A. B. C. D.
若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A. 2015 B. 2022 C. -2015 D. 4010
关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线
C. 图象顶点坐标为（3，-1） D. 当 时， 随 的增大而减小
已知二次函数 （ ）的图象如图所示，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ 。其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
如图，把 绕点 顺时针旋转，得到， 交 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
点 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
一元二次方程 的根是（ ）
A. B. C. D.
若 是方程 的一个根，则代数式 的值是（ ）
A. 2022 B. 2020 C. 2018 D. 2016
下列说法正确的是（ ）
A. 直径是弦，但弦不一定是直径B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧是等弧D. 三点确定一个圆
如图，半径为1的半圆 上有两个动点 ，若 ，则四边形 的面积最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
已知 ，则 的值是 ______。
已知二次函数 （ ）的图象上有四点A(1,y1 ），B(3,y1) C（2，y2），D（-2，y3）则 的大小关系是 ______。（从小到大排列）
若点A（a-1,3）与点B（-2,3b）关于原点成中心对称，则 ______。
一条排水管的截面为圆形，半径 ，下雨前水面宽 ，下雨后水面宽度变为 8，则水面上升了 ______。
将四边形 绕顶点 顺时针旋转 至，若，则图中阴影部分的面积为 ______。
为 的内切圆， ，点 分别为 上的点，且为 的切线，切点为，则 的周长为 ______。
如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）
在直角 中， ，斜边 ， ，分别在 上取点 ，使 为正三角形，则边长的最小值是 ______。
三、解答题（共10小题，共66分）
（6分） 解方程：
（1） （2）
（6分） 已知关于 的方程 有实数根，求的取值范围。
（6分） 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值。
（6分） 如图， 中， ， ，点 在 上，且 ，将 沿 折叠得到 ，连接 ，求 的长度。
（8分） 已知二次函数 的图象经过点 ，对称轴为直线 ，且最小值为 1。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点 在图象上，比较 与 的大小。
（8分） 如图， 绕点逆时针旋转得到，连接，若，求的度数。
（8分） 某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个。若这两天的销量相对于前一天的增长率均为，求的值。
（8分） 如图，以为直径的圆经过原点，点分别在轴、轴上（）， 是弧的中点，连接 。
判断下列结论是否正确，并说明理由：
① ；
② 若，则 面积为5。
（10分） 已知关于 的方程 。
（1）当该方程的一个根为 1 时，求 的值及另一根；
（2）求证：不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
（10分） 如图，直角 中， ， ， ，在 上分别取点，使得为正三角形。
（1）求 的度数；
（2）求 边长的最小值。九年级数学答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 答案 解析
1 A 配方： ，即 。故选 A。
2 B 由韦达定理： ， 。则 。更优解： ，代入得 。故选 B。
3 D ，开口向上；对称轴 ；顶点 ；当 时， 随 增大而增大。故 A、B、C 错，D 正确。
4 C 由图象：开口向上 ；对称轴 ；与 轴交于正半轴 ，故 ，①错；过 ，②对；由对称轴 ，结合 ，可推 不成立，实际 不一定，但由顶点纵坐标可判断 成立； 错（ ）。故②④正确，选 C。
5 D 旋转 ，则 ， ，在 中， 。故选 D。
6 D 圆周角 ，所对圆心角 。故选 D。
7 C ，解得 或 。故选 C。
8 B ，代入： 。故选 B。
9 A A 正确；B 错（平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径）；C 错（等弧需同圆或等圆中）；D 错（不共线三点确定一个圆）。故选 A。
10 B 当 ，半圆半径为1， 为等边三角形时面积最大，四边形面积最大为 。故选 B。
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.2
解析：令 ，则 ，解得 （ 舍去，因平方和非负）。
12.
解析： ，开口向下； 对称，对称轴 ； 更近对称轴，故 ； 离对称轴最远，故最小。
13.-1
解析：关于原点对称，则 ， ，解得 ， ，故 。
14.1
解析：半径5，弦长6 → 弦心距 ；弦长8 → 弦心距 ；水面上升 。
15.
解析：旋转 ，扇形面积 。
16.11
解析：由切线长定理， 切内切圆， 周长 ，结合 ，对称性得周长 。
17. π
过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO=S弓形CO。
在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°。
∴∠AOC=60°。
。
18.
解析：几何极值问题，通过坐标法或旋转法可得最小边长为 。
三、解答题（共66分）
19.（6分）
（1） =0
，........................（2分）
解得 。...................（1分）
（2） ，
配方： ，......................（2分）
解得 。........................（1分）
20.（6分）
判别式 .....................................（1分）
...................................................（1分）
，.......................（1分）
解得 。............................（1分）
又
，..............................（1分）
故 且 。....................（1分）
（6分）
.......................................................（1分）
，..........................（1分）
.......................................（1分）
..............................................（1分）
。................................（2分）
（6分）
为等边三角形
， ，................................（2分）
折叠后 为 关于 的对称点， 为中线，
计算得 ....................................................（2分）
.
.
......................................................................................（2分）
（8分）
（1）设 ，................（2分）
过（0,3）：
，................（1分）
故
。...................（1分）
（2） ，对称轴 ，......（1分）
若 ，则 ；....................（1分）
若 ，则 ；....................（1）
若 ，则 ..................................................（1分）
（8分）
旋转得 ，.....................（2分）
，.................（2分）
又 ，
则 ，...............（2分）
结合等腰三角形，
得 。...................（2分）
（8分）
设增长率为 ，.................................（1分）
则： ..............................（2分）
令 ，.................................（1分）
则 ..........................................................（2分）
，
解得 或 （舍），.....................（1分）
故 。...................................（1分）
（8分）
（1） 为直径，
，
为弧中点，
则 ，正确。
（2） ，
则 ， 中点 ，
在垂直平分线上，
计算面积为 5，正确。
27.（10分）
（1）代入 ：.........................（1分）
.....................................................（2分）
.
，...............................（1分）
方程为 ，
另一根为 。.....................（2分）
（2）判别式 .....................................（2分）
.
，....................................................（1分）
恒成立，故总有两个不等实根。..............（1分）
（10分）
（1） ..............................（3分）
。...............（3分）
（2）通过几何构造或坐标法......（2分）
，最小边长为 。..............（2分）

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