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辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．20，28，35 C．1.5，5，2.5 D．5，12，13
2．实数，0，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．不带根号的数都是有理数 B．两个无理数的和还是无理数
C．无理数就是开方开不尽的数 D．立方根等于本身的数是，，
5．沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．沈阳还是以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．能够准确表示沈阳这个地点的是（ ）
A．北纬，东经 B．北纬
C．东经 D．本溪的西北方向
6．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ）
A．圆的周长C随半径r的变化而变化
B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化
C．正方形的面积S随边长a的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化
7．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ）
… 0 1 2 3 …
… …

A． B． C． D．
8．已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（ ）
A． B． C．4 D．5
9．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
10．大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．当k= 时，关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数．
13．张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，根据这个图象求出y与t之间的函数关系式为y=﹣7.5t+25，那么函数y=﹣7.5t+25中的常数﹣7.5表示的实际意义是 ．
14．如图，数轴上点表示的数为 ．
15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且．
(1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)画出关于y轴对称的；
(3)的面积为 ；
(4)已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ．
18．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离；
(2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭．
19．“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
20．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，…
(1)按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______；
(2)计算：的值．
21．已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，则点的坐标为______；
(2)若点，且轴，则点的坐标为_____；
(3)若点在第二象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的值．
22．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点，，与的“直角距离”记为．例如，点与的“直角距离”．
(1)已知点．
①点与点的“直角距离” ；
②若点与整点的“直角距离”，则的值为 ；
(2)小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和．

①若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到， 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站的位置共有 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站的坐标为 ．
23．【问题背景】
在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？
【探究结论】
（1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程：
如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ．
其中，①是 ；②是 ．
（2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D A A D C D C
1．D
【详解】解：A、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
B、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
C、1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
D、，能构成勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．C
【详解】为无理数，0为有理数，
为无理数，为有理数，
为无理数，
无理数有个，
故选：C．
3．A
【详解】A. ，正确，符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，错误，不符合题意；
故选A．
4．D
【详解】解：A．不带根号的数不一定是有理数，例如 ，故此选项不符合题意；
B．两个无理数的和不一定是无理数，例如，故此选项不符合题意；
C．无理数不一定是开方开不尽的数，例如 ，故此选项不符合题意；
D．立方根等于本身的数是，，，故此选项符合题意．
故选：D．
5．A
【详解】解：根据确定一个位置至少需要2个数据，
所以，选项A符合条件，
故选：A
6．A
【详解】解：A. ，C与r成正比，故选项符合题意；
B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
C. ，S与a不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意．
故选：A．
7．D
【详解】解：设水位与时间的关系式，
把和代入表中数据得
，
解得：，
∴水位与时间的关系式．
把代入中，得，
故选：D．
8．C
【详解】解：直线轴，
、两点的横坐标相等，
，
，
或6，
点位于第二象限，
，
．
故选：C
9．D
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
（米），（米），
（米），
（米），
（米）
这只蚂蚁的最短行程应该是米，
故选：D．
10．C
【详解】解：∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成大正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴；
故选：C.

11．x≥－1且x≠1
【详解】根据题意得：x+1≥0且x-1≠0，
解得：x≥-1且x≠1．
故答案为：x≥-1且x≠1
12．-2
【详解】解：∵关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数，
∴k-2≠0，-4+k2=0．
解得：k=-2．
故答案为k=-2．
13．表示每小时耗油7.5升
【详解】由图象可知，t=0时，y=25，所以汽车出发时油箱原有油25，
又经过2小时，汽车油箱剩余油量10升，即2小时耗油25-10=15升，
15÷ 2=7.5升，
故答案为表示每小时耗油7.5升
14．/
【详解】解：如图，
由勾股定理得：，，
∴，
∴数轴上点表示的数为，
故答案为：．
15．或3.
【详解】“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；
若“有趣中线”BD=AC=3；
若“有趣中线”为BD，如图所示，
BC=3，
设BD=2x，则CD=x，
在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=32+x2，
解得：x=，
则△ABC的“有趣中线”的长等于或3．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
17．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【详解】（1）解：由图可得，，
故答案为：．
（2）如图，即为所求．
（3）的面积=．
故答案为：．
（4）∵使的周长最小，
∴最小，
∵，为定值，
∴使最小，
连接，交y轴于点P，连接，
此时满足最小，最小值为的长，
∵，
∴的周长最小值为．
故答案为：．
18．(1)
(2)着火点C能被扑灭，理由见解析．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，，
所以着火点受洒水影响；
（2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点，
，
在中，，
所以．
因为飞机的速度为，
所以，
20秒秒，
答：着火点能被扑灭．
19．(1)，
(2)方案一
【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
20．(1)；
(2)
【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
∴；
；
故答案为：；；
（2）解：
21．(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：∵点在轴上，
∴，解得：
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵点，轴，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵点在第二象限，
∴，
∵点到轴的距离是到轴的距离的倍，
∴，解得：，
∴．
22．(1)①6；②2或
(2)①，10；②
【详解】（1）解：①∵，，
直角距离；
②根据题意可得，即，
或，
解得：或；
故答案为：①6；②2或；
（2）解：①，，
直角距离，
点到，两个点的“直角距离”之和最小值为8，
点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，
或，
点的坐标可以是；
满足条件的消防站点的位置如图所示，且点的位置共有8个；

故答案为；；
②如图，
，，，
则在最左的点为，在最右的点为，则
则在最上的点为，在最下的点为，则，
满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为，
消防站的坐标为，
故答案为：．
23．（1）①；②；（2）证明过程见详解；（3）9
【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为，设，
在中，，
在中，，
，
化简得，，
，，
，
，
；
故答案为：；；
（2）；
证明如下：过点作交延长线于，设，
在中，，
在中，，
，
化简得，，
，
，
，
；
（3）延长到，使，连接，，
如图：
，，
是的垂直平分线，
，
为中点，
，
又，，
，
，
为锐角，
，
即为钝角，
由（2）的结论得：，
，
，
长的最大整数值为9．

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